概率论实验报告.docx

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概率论实验报告

概率论数学实验报告

.实验目的

1.初步了解蒙特卡洛算法及其用途

2.利用蒙特卡洛算法计算积分值并与其真实之进行比较

.实验原理：

MonteCarlo步骤：

1．依据概率分布ψ（x）不断生成随机数x,并计算f（x）

由于随机数性质，每次生成的x的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x赋予下标。

如xi表示生成的第i个x。

生成了多少个x，就可以计算出多少个f（x）的值

2．误差分析

MonteCarlo方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。

严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。

．实验内容

1.估计以下积分值，并与真值比较

（1）

MATLAB语言如下：

>>x=rand（1000,1）+2;

y=x.^2;

i=ones（1,1000）;

z=i*y./1000

z=

6.3921

其真值为19/3≈6.3333，相对百分误差为0.92%

求的图像；

随机数截图；

X随机数

Y随机数

>>

I

（2）

>>x=rand（1000,1）.*3.1415/2;

y=x.*sin（x）;

i=3.14/2*ones（1,1000）;

z=i*y./1000

z=

0.9976

真值为1，求的相对百分误差为0.19%

>>

X随机数

Y随机数

（3）

，

所以满足正态分布，期望为0，方差为0.5，概率密度为f（x）=

clear;clf;

ans=0;

j=0;

form=1:

1000

i=randn（1,1）;

j=sqrt（pi/2）*exp（-i*i/2）;

ans=ans+j;

holdon

plot（i,j,'r+'）

fprintf（'j=%.4f\n',j）

end

fprintf（'ans=%.4f\n',ans/1000）;

ans=0.9280

>>

截图如下

真值为

/2≈0.886,误差为4.1%

2.估计以下积分值，并对误差进行估计

（1）

clear;clf;

x=0;

y=0;

j=0;

k=1;

a=1:

1000

d=0;

form=1:

1000

i=randn（1,1）;

if（i<=1&i>=-1）

j=sqrt（pi/2）*exp（i*i*3/2）;

a（k）=j;

k=k+1;

y=x+j;

end

holdon

plot（i,j,'r+'）

fprintf（'j=%.8f\n',j）

end

k=k-1;

key=y/10000;

fprintf（'y=%.4f\n',key）;

form=1:

k

y=y+（a（k）-key）*（a（k）-key）;

end

d=y/（k-1）;

fprintf（'d=%.4f\n',d）;

ans=0.1442

d=1.4112

>>

截图如下

求的真值为1.4627，所以误差为3.6%；

方差为0.1442;

（2）

x=0;

y=0;

j=0;

k=1;

a=1:

1000

d=0;

form=1:

1000

i=2*rand（1,1）;

j=2/sqrt（1+i*i）;

a（k）=j;

k=k+1;

x=x+j;

holdon

plot（i,j,'r+'）

fprintf（'j=%.8f\n',j）

end

k=k-1;

key=x/1000;

fprintf（'ans=%.4f\n',key）;

form=1:

k

y=y+（a（k）-key）*（a（k）-key）;

end

d=y/（k-1）;

fprintf（'d=%.4f\n',d）;

>>

ans=1.4387

d=0.1244

截图为：

求的真值为1.44,所以误差为0.71%；

方差为0.1244；

.实验总结：

在对实验中问题的求解中，我们发现计算机每次的运行结果都是不一样的，但是结果往往与理论值偏差不大。

这也是计算机产生随机数的一个特点：

每次都在一定范围内波动，每次都不完全一样