考研高数概率公式汇总.docx
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考研高数概率公式汇总
高等数学公式
导数公式：
（tgx）secx
（ctgx）
2
cscx
（secx）
secxtgx
（cscx）
cscxctgx
（ax）a
xIna
（gx）
1
xIna
（arcsinx）（arccosx）（arctgx）
（arcctgx）
_1_
Jx2
1
1x2
基本积分表：
tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx
~22
ax
dx
~22
xa
dx
~22
ax
dx
22
ax
IncosxC
InsinxC
InsecxtgxC
IncscxctgxC
1
x
-arctg-
C
a
a
1
xa
——In
C
2a
xa
1
ax
——In
C
2a
ax
arcsin°Ca
2~2
lnsinnxdxcosnxdx
oo
、x2a2dx
x■x2
2
\a2x2dx
三角函数的有理式积分：
xa2
2
x2
2u
sinx2,cosx
1u2
dx2
—secxdxtgxCcosx
csc2xdxctgxC
sinx
secxtgxdxsecxC
cscxctgxdxcscxC
x
xaaxdxC
Ina
shxdxchxC
chxdxshxC
dx’/22、
In（x\xa）C22
xa
In
2
a22、In（xxa）C
2
2q
a.；22-
——Inx\xaC
2
2
a.xarcsinC
2a
2du
dx2
一些初等函数:
两个重要极限:
双曲正弦：
shx
双曲余弦：
chx
xx
ee
2
xx
ee
2
sinx.
Iim1
x0x
lim（1-）xe2.718281828459045…
x
双曲正切:
thx
shx
chx
xx
ee
xx
ee
arshxln（xx21）
archxIn（xx21）
arthx
llnlx
21
三角函数公式:
•诱导公式：
、\函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
90°-a
cosa
sina
ctga
tga
90°+a
cosa
-sina
-ctga
-tga
180°a
sina
-cosa
-tga
-ctga
180-a
-sina
-cosa
tga
ctga
270°-a
-cosa
-sina
ctga
tga
270°+a
-cosa
sina
-ctga
-tga
360°-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
360°+a
sina
cosa
tga
ctga
-和差化积公式:
sin（
）sin
cos
cos
sin
cos（
）cos
cos
sin
sin
tg（
）J
tg
1tg
tg
ctg（
）ctg
ctg
1
ctg
ctg
-和差角公式:
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
2sin
cos
22
2cossin
2
2coscos—
22
2sin
—sin
2
sin2
2sin
cos2
2cos2
ctg2
ctg2
2ctg
tg2
2tg
2
•倍角公式:
1
cos
112sin2
2cos
2sin
sin3
3sin
cos3
4cos3
tg3
3tg
4sin3
3cos
.3
tg
2
sin—
1cos
2
2
2，
-半角公式:
2
1cos
sin
1cos
tg2岳
sin
1cos
ctg-
1cos
1cos
1cos
sin
-正弦定理：
sinA
sinB
c2RsinC
-余弦定理:
sin
1cos
2
b2abcosC
-反三角函数性质：
arcsinx一arccosx
2
arctgx—arcctgx
2
高阶导数公式
来布尼兹
（Leibniz
n
（n）
（uv）
k（nk）（k）
Cnuv
k0
（n）
（n1）n（n
1）M（n2）
uvnu
v
uv
2!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）f（a）柯西中值定理：
丄也一型口
F（b）F（a）F（
）公式:
n（n1）（nk1）屮k）v（k）k!
f（）（ba）
）
UV
（n）
当F（x）x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理
曲率:
s：
MM弧长。
弧微分公式：
ds1y2dx,其中ytg
平均曲率：
K.:
从M点到M点，切线斜率的倾角变化量;
y1）]
M点的曲率：
K
lim
ss|
d
ds
直线：
K0;
半径为a的圆：
K
1
a
定积分的近似计算：
bb矩形法：
f（x）
（y。
y1
a
n
bb梯形法：
f（x）
a1
[C（y0
yn）
a
n2
b
抛物线法：
f（x）
ba“
c[（Yo
yn）
a
3n
定积分应用相关公式:
..（1y2）3
yn1）
yiyn1]
2（y2y4Yn2）4（y1y3
功：
WFs水压力：
FpA
引力：
F为引力系数
均方根:
2
f（t）dt
函数的平均值：
y
f（x）dx
r
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离：
d
MiM2
向量在轴上的投影：
PrjuAB
22
（y2yj（Z2z）
..（X2X1）2
AB|cos,是AB与u轴的夹角。
cab
ax
bx
ay
by
az
bz
absin
.例:
线速度:
向量的混合积:
[abc]（a
b）c
ax
bx
Cx
ay
by
Cy
az
bz
Cz
b|ccos,为锐角时,
Prju（aia?
）PrjaiPrja2
代表平行六面体的体积。
平面的方程：
1、点法式：
A（xX。
）B（yy°）C（zz0）0,其中n{代B,C},Mo（x°,y°,Zo）
2、一般方程：
AxByCzD0
3、截距世方程：
--1
abc
平面外任意一点到该平面的距离：
dlAx0By0Cz^D.
Ja2b2c2
xx0mt
空间直线的方程：
丄呂三旦t,其中s{m,n,p};参数方程：
yy0nt
mnp
zz°pt
二次曲面:
1、椭球面：
2
x
2
2y
.2
2
务1
a
b
c
2
2
2、抛物面：
x
y
z,（p,q同号）
2p
2q
3、双曲面：
2
2
2
单叶双曲面
x
2
y
2
令1
a
b
c
2
2
2
双叶双曲面
x
:
2a
y
b2
吕1（马鞍面）
c
多元函数微分法及应用
全微分：
dz—dx—dyxy
全微分的近似计算：
zdz
多元复合函数的求导法：
du—udx—dy—dzxyz
fx（x,y）xfy（x,y）y
上dz
zuzv
zf[u（t）,v（t）]
dt
utvt
zzuzv
zf[u（x,y）,v（x,y）]
XuXvX
F
F
隐函数方程组：
F（x，y，u，v）0
G（x,y,u,v）0
J（F，G）
（u,v）
uG
二
G
u
v
u
1
（F,G）
v
1
（F,G）
X
j
（x,v）
X
j
（u,x）
u
1
（F,G）
v
1
（F,G）
y
j
（y,v）
y
j
（u,y）
微分法在几何上的应用:
当uu（x,y）,vv（x,y）时,
du—dx—dyxy
dv
—dxX
vdy
y
隐函数的求导公式：
隐函数F（x,y）0,
dy
Fx
密（
¥）+（
Fx）dy
dx
Fy
dxx
Fyy
Fydx
隐函数F（x,y,z）0,
z
Fx
zFy
X
Fz
yFz
Fv
Gv
Fu
Gu
x（t）
空间曲线y（t）在点M（x0,y0,zo）处的切线方程：
1也空仝
冲（t°）（t。
）（to）
z（t）
曲面F（x,y,z）0上一点M（Xo,yo,z。
）,则:
1、过此点的法向量:
n{Fx（x。
，y°,z。
）,Fy（x°,y。
z。
）,Fz（x。
，y°,z。
）}
2、过此点的切平面方程：
Fx（Xo,yo,z°）（xX。
）Fy（Xo,y°,Zo）（yy。
）Fz（x。
，y。
，z°）（zz。
）0
3、过此点的法线方程:
xx。
yy。
zz。
Fx（xo,yo,zo）Fy（xo,yo,zo）Fz（xo,yo,zo）
方向导数与梯度:
函数zf（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向I的方向导数为：
」fcos—sin
lxy
其中为x轴到方向I的转角。
函数zf（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）—i—j
xy
它与方向导数的关系是：
-^gradf（x,y）e,其中ecosisinj，为I方向上的单位向量。
设fx（x°,y°）
fy（x°,y°）
0,令：
fxx（X0,y°）
AC
B2
0时，A
0,（x。
，y。
）为极大值
A
0,（x。
，y。
）为极小值
则：
AC
B2
0时，
无极值
AC
B2
0时,
不确定
B,fyy（X°,y°）C
A,fxy（X°,y°）
f是gradf（x,y）在I上的投影。
多元函数的极值及其求法：
重积分及其应用:
2
2
曲面zf（x,y）的面积A
\1
dxdy
D
\x
y
x（x,y）d
M
平面薄片的重心：
xx
D
y
M
（x,y）d
D
M
D
D
y（x,y）d
D
（x,y）d
D
xrcos
其中：
F（r,,z）f（rcos,rsin,z）
xrsincos
（t）
（t）
t）,则:
设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为:
特殊情况:
xt
y（t）
f（x,y）dsf[（t）,（t）]€dt（
L
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
设l的参数方程为y（;））,则：
P（x,y）dxQ（x,y）dy{P[（t）,（t）]（t）Q[（t）,（t）]（t）}dt
L
两类曲线积分之间的关系：
PdxQdy（Pcos
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
Qcos
）ds其中
和
分别为
QP
格林公式：
（）dxdy■PdxQdy格林公式：
Q（Q
—）dxdy
:
PdxQdy
dxyl
Dx
y
L
当Py,Qx，即：
卫—2时，得到D的面积:
A
dxdy-
xdy
ydx
yyD2l
平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、P（x,y）,Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且卫=-P。
注意奇点，如（0,0），应
yy
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
二元函数的全微分求积：
在-Q=—时，PdxQdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：
yy
（x,y）
u（x,y）P（x,y）dxQ（x,y）dy,通常设x0y00。
（xo，yo）
曲面积分：
对面积的曲面积分：
f（x,y,z）dsf[x,y,z（x,y）]{1z；（x,y）z：
（x,y）dxdy
Dxy
对坐标的曲面积分：
P（x,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxR（x,y,z）dxdy,其中：
R（x,y,z）dxdy
R[x,y,z（x,y）]dxdy,取曲面的上侧时取正号；
Dxy
P（x,y,z）dydz
P[x（y,z）,y,z]dyd乙取曲面的前侧时取正号；
D
Q（x,y,z）dzdx
yz
Q[x,y（z,x）,z]dzdx取曲面的右侧时取正号。
Dzx
两类曲面积分之间的关系：
PdydzQdzdxRdxdy（PcosQcosRcos）ds
高斯公式:
R）dv
z
■:
PdydzQdzdxRdxdy
■:
（Pcos
Qcos
Rcos）ds
咼斯公式的物理意义
—
—通量与散度：
散度：
divP
Q
R,即：
单位体积内所产生
的流体质量，若div
0,则为消失
x
y
z
通量：
Ands
Ands
（PcosQcosRcos
）ds,
xy
因此，咼斯公式又可写成：
divAdv:
Ands
斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：
（―—）dydz（——）dzdxyzzx
（-Q―）dxdyPdxQdyRdzxy
上式左端又可写成：
—
—
x
y
P
Q
空间曲线积分与路径无
关的条件:
ij
k
旋度：
rotA
—
xy
z
PQ
R
向量场A沿有向闭曲线的环流量:
dxdy
cos
cos
cos
z
x
y
z
R
P
Q
R
R
Q
P
R
Q
P
y
z
z
x
x
y
dydzdzdx
PdxQdyRdz■■■Atds
常数项级数：
等比数列：
1qq2
等差数列：
23
调和级数：
-1
23
级数审敛法：
（n1）n
2
1是发散的
n
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：
1时，级数收敛
设：
limnun,则1时，级数发散
1时，不确定
2、比值审敛法：
1时，级数收敛
设：
|计虹，则1时，级数发散
nU
n1时，不确定
3、定义法：
snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。
n
交错级数u1u2u3u4（或u1u2u3,un0）的审敛法莱布尼兹定理:
绝对收敛与条件收敛:
（1）u1u2un，其中un为任意实数；
（2）U1u2u3un
如果
（2）收敛，则
（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;
调和级数:
1发散，而
（川收敛;
n
n
12收敛；
n
1：
P
1时发散
np.p
1时收敛
级数:
如果
（2）发散，而⑴收敛，则称
（1）为条件收敛级数。
幕级数:
1xx2
x3
1时，收敛于丄
1x
发散
1时,
对于级数（3）a0
a2x2
数轴上都收敛，则必存
anX
/lx在R，使x
\lx
，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
R时收敛
R时发散，其中R称为收敛半径。
R时不定
0时，R-
求收敛半径的方法：
设
lim
n
an1
an
，其中an，an1是（3）的系数，则
0时，R
时，R0
函数展开成幕级数:
函数展开成泰勒级数:
f（x）f（X°）（XX。
）f4x°^（xX。
）2
2!
f（n）（x0）（xx0）n
n!
余项：
Rn
x0）n1,f（x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：
limR,0
n
X00时即为麦克劳林公式:
f（x）f（0）f（0）xf^（02x2
f（n）（0）n
x
n!
些函数展开成幕级数:
（1x）m
1mxm^x2
2!
m（m1）（mn1）、」
x
n!
1x1）
sinxx
3X
3!
5x
5!
1）n
2n1
1
（2n1）!
欧拉公式:
ix
ecosx
isinx
cosx
或
sinx
ixe
三角级数:
f（t）Ao
ix
e
2
ixix
ee
2
Asin（n
n1
aAo，an
其中，
正交性：
l,sinx,cosx,sin2x,cos2x上的积分=0。
傅立叶级数：
ao
Ansinn，bn
n，
（ancosnx
n1
A*COsn，sinnx,cosnx
bnsinnx）
X。
t
任意两个不同项的乘积在［
f（x）
a。
（ancosnxbnsinnx）,周期
n1
an
f（x）cosnxdx
（n0,1,2
其中
bn
f（x）sinnxdx
（n1,2,3
1
1孑
11
2242
1
52
正弦级数:
余弦级数:
1
62
an
bn
8
2
—1
24
0,bn
0,an
1
22
1
22
1
32
1
32
1
42
1
承
f（x）sinnxdx
f（x）cosnxdx
0
周期为2l的周期函数的傅立叶级数:
2
——（相加）
6
2
-（相减）
12
1,2,3
0,1,2
f（x）
f（x）
bnsinnx是奇函数
玉ancosnx是偶函数
2
a0nxnx由廿口
f（x）-（ancosbnsin），周期21
2n1ll
l
1nx
an-f（x）cosdx（n0,1,2）
其中111
l
1nx
bnf（x）sindx（n1,2,3）
lll
微分方程的相关概念:
一阶微分方程：
yf（x,y）或P（x,y）dxQ（x,y）dy0
可分离变量的微分方程：
一阶微分方程可以化为g（y）dyf（x）dx的形式，解法:
g（y）dyf（x）dx得：
G（y）F（x）C称为隐式通解。
（x,y），即写成y的函数，解法：
x
—分离变量，积分后将—代替u,
（u）ux
齐次方程：
一阶微分方程可以写成3f（x,y）
dx
ydydudu,、dx
设u丄，贝Uux,u（u）,
xdxdxdxx
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
1、一阶线性微分方程：
矽P（x）yQ（x）
dx
P（x）dx
C）e
/当Q（x）0时，为齐次方程，yCe叫皿
［当Q（x）0时，为非齐次方程，y（Q（x）e"加&
2贝努力方程：
P（x）yQ（x）yn，（n0,1）dx
全微分方程：
如果P（x,y）dxQ（x,y）dy0中左端是某函数的全微分方程，即:
du（x,y）P（x,y）dxQ（x,y）dy0,其中：
卫P（x,y），uQ（x,y）
xy
u（x,y）C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
（*）ypyqy0,其中p,q为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：
（）r2prq0,其中r2，r的系数及常数项恰好是（*）式中y,y,y的系数;
2、求出（）式的两个根几上
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出（*）式的通解:
r1,r2的形式
（*）式的通解
两个不相等实根（p24q0）
I^Xl"2X
y&eC2e
两个相等实根（p24q0）
y（C1C2X）er1x
一对共轭复根（p24q0）
Ai,ai
pJ4qp2
2，2
yex（C1cosxC2sinx）
二阶常系数非齐次线性微分方程
ypyqyf（x）,p,q为常数
f（x）exPm（x）型，为常数；
f（x）ex[R（x）cosxPn（x）sinx]型
概率公式汇总
1.随机事件及其概率
A
A
A
吸收律：
A
A
A
A
（AB）A
A
（A
B）A
AB
AB
A（AB）
反演律：
A
BAB
AB
A
B
n
i1
n
A瓦
i1
n
i1
A
n
i1
2•概率的定义及其计算
P（A）1P（A）
若ABP（BA）P（B）P（A）
对任意两个事件A,B,有P（BA）P（B）P（AB）
加法公式：
对任意两个事件A,B,有
P（AB）P（A）P（B）P（AB）
P（AB）P（A）P（B）
n
P（A）
i1
n
P（A）P（AAj）
i11ijn
P（AAjAJ
1ijkn
（1）n1P（AAAn）
3.条件概率
PBA巴B
P（A）
乘法公式
P（AB）P（A）PBA（P（A）0）
P（AA2An）P（A）PA2APAn
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