三角形的高线.docx

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三角形的高线

三角形的高线

一．选择题（共11小题）

1．（2017•石家庄模拟）画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．

【解答】解：

过点C作AB边的垂线，正确的是C．

故选：

C．

【点评】本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握．

2．（2017•滦南县校级模拟）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据三角形高线的定义进行解答即可．

之间的线段．

5．（2017春•黄岛区期末）如图，以CE为高的三角形有（　　）

A．9个B．10个C．11个D．12个

【分析】三角形的高是从一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据高的定义，以CE为高的三角形就是以C为一个顶点，再从B，F，E，D，A中任意选两个点组成的．所以只需数BA上共有的线段即可．

【解答】解：

4+3+2+1=10个．

答：

以CE为高的三角形有10个．

故选B．

【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．

6．（2016秋•江夏区期中）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能

【分析】作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到．

【解答】解：

一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形．

故选C．

【点评】钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．

7．（2016秋•宝塔区期中）如图，虚线部分是小刚作的辅助线，你认为线段CD（　　）

A．是AC边上的高B．是BC边上的高C．是AB边上的高D．不是△ABC的高

【分析】根据三角形高线的定义解答即可．

【解答】解：

由图可知，线段CD是AB边上的高．

故选C．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．

8．（2016秋•铜山区期中）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）

A．BEB．AEC．BFD．CF

【分析】根据三角形的高线的定义解答．

【解答】解：

根据高的定义，AE为△ABC中BC边上的高．

故选B．

【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．

9．（2016春•工业园区期中）△ABC的高的交点一定在外部的是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．有一个角是60°的三角形

【分析】根据三种三角形的高线所在直线的交点的位置解答即可．

【解答】解：

锐角三角形三角形的高所在直线的交点在三角形内部，

直角三角形三角形的高所在直线的交点在三角形直角顶点，

钝角三角形三角形的高所在直线的交点在三角形外部．

故选B．

【点评】本题考查了三角形的高线，熟记三种三角形的高线所在的直线的交点的位置是解题的关键．

10．（2016春•山亭区期中）三角形三条高的交点一定在（　　）

A．三角形内部B．三角形外部

C．三角形内部或外部D．三角形内部、外部或顶点

【分析】根据三角形的高线的定义分情况讨论高线的交点，即可得解．

【解答】解：

锐角三角形，三角形三条高的交点在三角形内部，

直角三角形，三角形三条高的交点在三角形直角顶点，

钝角三角形，三角形三条高的交点在三角形外部，

故选D．

【点评】本题考查了三角形的高线，熟记三种三角形的高线的交点的位置是解题的关键．

11．（2011秋•嵊州市期末）如图所示，BA⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，已知AB=3，AC=4，BC=5，AD=2.4，则点A到线段BC的距离是（　　）

A．2.4B．3C．4D．5

【分析】根据三角形高的定义可知，AD长度就是点A到线段BC的距离，根据此解答即可．

【解答】解：

∵AD⊥BC，AD=2.4，

∴点A到线段BC的距离是2.4．

故选A．

【点评】本题主要考查了三角形的高的概念，结合图形找出△ABC边BC上的高是解题的关键．

二．填空题（共10小题）

12．（2015秋•吴忠校级期中）如图，若AE是△ABC边BC上的高，AD是∠EAC的角平分线交BC于D．若∠ACB=40°，则∠DAE等于　25　°．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CAE，再根据角平分线的定义可得∠DAE=

∠CAE．

【解答】解：

∵AE是△ABC边上的高，∠ACB=40°，

∴∠CAE=90°﹣∠ACB=90°﹣40°=50°，

∴∠DAE=

∠CAE=

×50°=25°，

故答案为：

25

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，熟记定理与概念并准确识图是解题的关键．

13．（2014秋•河西区校级月考）AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是　5°　．

【分析】根据角平分线的定义求出∠CAE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，然后根据∠DAE=∠CAE﹣∠CAD计算即可得解．

【解答】解：

∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠CAE=

∠BAC=

×130°=65°，

∵AD⊥BC于点D，

∴∠CAD=90°﹣30°=60°，

∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=65°﹣60°=5°．

故答案为：

5°．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念是解题的关键．

14．（2011秋•五河县期中）已知AD是△ABC的高，∠DAB=45°，∠DAC=34°，则∠BAC=　79°或11°　．

【分析】此题分情况讨论：

①当高在△ABC内部；②当高在△ABC外部，分别对每一种情况画图，再结合图计算即可．

【解答】解：

①当高在△ABC内部，如右图

∵∠DAB=45°，∠DAC=34°，

∴∠BAC=45°+34°=79°；

②当高在△ABC外部，如右图

∵∠DAB=45°，∠DAC=34°，

∴∠BAC=45°﹣34°=11°．

故∠BAC=79°或11°．

故答案为：

79°或11°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是注意分高在三角形内外两种情况讨论求解．

15．（2017春•宝安区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=　50°　．

【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1=30°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．

【解答】解：

∵AE平分∠BAC，

∴∠1=∠EAD+∠2，

∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，

Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD

=90°﹣30°﹣10°=50°．

故答案为50°．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD=10°是正确解答本题的关键．

16．（2017春•崇安区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有　6　个．

【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．

【解答】解：

∵AD⊥BC于D，

而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，

∴以AD为高的三角形有6个．

故答案为：

6．

【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，可以是三角形的边，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．

17．（2017春•高港区校级月考）在△ABC中，∠A+∠B=∠C，则△ABC的三条高线所在直线的交点在　C点　．

【分析】利用直角三角形三边上的高的交点恰是三角形的一个顶点进而得出答案．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，

∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，

∵直角三角形三边上的高的交点恰是三角形的一个顶点，

∴△ABC的三条高线所在直线的交点在C点．

故答案为：

C点．

【点评】此题主要考查了三角形的高线，熟记三角形三边上的高的特点是解题关键．

18．（2016春•丹阳市校级期中）如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有　6　个．

【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．

【解答】解：

∵AD⊥BC于D，

而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，

∴以AD为高的三角形有6个．

故答案为：

6

【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．

19．（2015秋•克什克腾旗校级月考）如图，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC的三条高分别为线段　OF、BD、CE　．

【分析】根据三角形高线的定义去判断推理．三角形的高是指三角形的一个顶点到对边的垂线段，故一个三角形有三条高线．

【解答】解：

由三角形高的定义，△BOC的高是：

①O到BC的垂线段OF；

②C到OB的垂线段CE；

③B到OC的垂线段BD．

【点评】本题主要考查对三角形高线的理解掌握情况，须熟练掌握定义．

20．（2015秋•嵊州市校级月考）如图所示：

在△AEC中，EF⊥BC，AB⊥BC，AD⊥DC，AE边上的高是　CD　．

【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据高的概念可知．

【解答】解：

在△AEC中，AE边上的高是CD．

故答案为CD．

【点评】考查了三角形的高的概念，能够根据图形正确找出三角形一边上的高．

21．（2014春•陕西校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、C、F、E，则　AD　是△ABC中BC边上的高，　CF　是△ABC中AB边上的高，　BE　是△ABC中AC边上的高，CF是△ABC的高，也是△　BFC　、△　FGC　、△　FAC　、△　GAC　的高．

【分析】根据高线的定义即可解答．

【解答】解：

AD是△ABC中BC边上的高，是△ABC中AB边上的高，BE是△ABC中AC边上的高，CF是△ABC的高，也是△BFC、△FGC、△FAC、△GAC的高．

故答案是：

AD、CF、BE、BFC、FGC、FAC、GAC．

【点评】本题考查了三角形的高线的定义，是三角形的顶点到对边所在直线的垂线段．

三．解答题（共9小题）

22．（2016秋•宁海县期中）如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．

【分析】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAE=∠BAD﹣∠BAE计算即可得解．

【解答】解：

∵∠B=30°，∠ACB=110°，

∴∠BAC=180°﹣30°﹣110°=40°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=

∠BAC=

×40°=20°，

∵∠B=30°，AD是BC边上高线，

∴∠BAD=90°﹣30°=60°，

∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣20°=40°．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

23．（2015春•邢台校级期中）如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数．

【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE=

∠BAC，而∠BAD=90°﹣∠B，然后利用∠DAE=∠BAE﹣∠BAD进行计算即可．

【解答】解：

在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣60°=90°

∵AD是的角平分线

∴∠BAE=

∠BAC=45°，

∵AE是△ABC的高，

∴∠ADB=90°

∴在△ADB中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°

∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=45°﹣30°=15°

【点评】本题考查了三角形内角和定理．关键是利用三角形内角和定理求解．

24．（2010春•阜宁县校级期中）如图在△ABC中，CD是高，点E、F、G分别在BC、AB、AC上，且EF⊥AB，∠1=∠2，试判断DG与BC的位置关系？

并说明理由．

【分析】由CD是高且EF⊥AB可知，CD∥EF，所以∠DCB=∠2，再由∠1=∠2知∠DCB=∠1，所以DG与BC平行．

【解答】解：

DG与BC的位置关系为平行，理由如下：

∵CD是△ABC的高，

∴CD⊥AB，

又∵EF⊥AB，

∴CD∥EF，

∴∠DCB=∠2，

又∠1=∠2，

∴∠DCB=∠1，

∴DG∥BC，

DG与BC的位置关系为平行．

【点评】本题通过三角形的高线考查线段平行的性质及判定，是基础题．

25．如图．AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：

PA平分∠MPN．

【分析】先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，由PM∥AC，PN∥AB，根据两直线平行，内错角相等得到∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，然后经过等量代换即可得到∠APM=∠APN．

【解答】证明：

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵PM∥AC，PN∥AB

∴∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，

∴∠APM=∠APN，

∴PA平分∠MPN．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：

三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．也考查了平行线的性质．

26．如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长．

【分析】利用三角形的面积列式计算即可得解．

【解答】解：

S△ABC=

AB•CE=

BC•AD，

∵AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，

∴

×4×6=

×8•AD，

解得AD=3cm．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的面积列出等式是解题的关键．

27．如图，BD、CE是△ABC的高，BD和CE相交于点O．

（1）图中有哪几个直角三角形？

（2）图中有与∠2相等的角吗？

请说明理由．

（3）若∠4=55°，∠ACB=65°，求∠3，∠5的度数．

【分析】

（1）根据直角三角形的定义，从直角顶点找出即可；

（2）根据同角的余角相等解答；

（3）根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据三角形的内角和定理求出∠BOC，然后根据对顶角相等可得∠5=∠BOC．

【解答】解：

（1）直角三角形有：

△BOE、△BCE、△ACE、△BCD、△COD、△ABD；

（2）与∠2相等的角是∠1．

理由如下：

∵BD、CE是△ABC的高，

∴∠1+∠A=90°，∠2+∠A=90°，

∴∠1=∠2，

∴与∠2相等的角是∠1；

（3）∵∠ACB=65°，BD是高，

∴∠3=90°﹣∠ACB=90°﹣65°=25°，

在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠3﹣∠4=180°﹣25°﹣55°=100°，

∴∠5=∠BOC=100°．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记三角形的高线的定义以及直角三角形的定义是解题的关键．

28．（2016春•高密市期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．

【解答】解：

∵∠A=50°，∠C=60°

∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，

又∵AD是高，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，

∵AE、BF是角平分线，

∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，

∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，

∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，

∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，

∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．

故∠DAE=5°，∠BOA=120°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．

29．（2016春•盐城校级月考）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=42°，∠C=70°，求∠AEC和∠DAE的度数．

【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC=

∠BAC，故∠EAD=∠EAC﹣∠DAC．

【解答】解：

∵∠B=42°，∠C=70°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=68°，

∵AE是角平分线，

∴∠EAC=

∠BAC=34°．

∵AD是高，∠C=70°，

∴∠DAC=90°﹣∠C=20°，

∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=34°﹣20°=14°，

∠AEC=90°﹣14°=76°．

【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．

30．（2015秋•全椒县期中）已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：

∠CFE=∠CEF．

【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．

【解答】证明：

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠2+∠4=90°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

∵∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

即∠CFE=∠CEF．

【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．