大物习题答案第3章连续物体的运动概要.docx
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大物习题答案第3章连续物体的运动概要
第3章连续物体的运动
基本要求
1理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系。
2理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定律。
3理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。
4理解刚体定轴转动的转动动能概念，能载有刚体绕定轴转动的问题中正确的应用机械能守恒定律。
5了解流体的特点，掌握理想流体的概念。
6掌握理想流体的连续性方程和伯努利方程。
7了解伯努利方程的应用。
二基本概念
1连续介质在宏观力学的范围内如果能忽视物体内部的不连续性，把物体看作
质量连续分布的质点系。
2刚体大小和形状的变化可以忽略的连续介质。
3F对定轴Z的力矩：
力F的大小与0点到力F的作用线的垂直距离的d（力臂）乘积。
M二Fd二Frsi或M=rxF
4转动惯量转动惯量是描述刚体在转动中惯性大小的物理量。
对于质点系的转
n
动惯量J厶mw。
如果物体的质量是连续分布的，上式可写为J「r2dm-
i=1
5质点的角动量质点m对固定点0的位矢为r，质点m对原点0的角动量为
L=rp=rmu
t2
6冲量矩力矩和作用时间的乘积，记作.Mdt。
7刚体定轴转动的角动量
n
2
L='mm3=Jw
i4
8力矩的功W=Mdr
9力矩的功率p二型=些M■
dtdt
10刚体的转动动能Ek=1J2
2
11流体处于液态和气态的物体的统称。
特点是物体各部分之间很容易发生相对
运动，即流动性。
12理想流体绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。
13定常流动流体流经空间任一给定点的速度是确定的，并且不随时间变化。
在流速较低时定常流动的条件是能够得到满足的。
14流线为了形象地描述流体的运动，在流体中画出一系列曲线，使曲线上每
一点的切线方向与流经该点流体质点的速度方向相同，这种曲线称为流线。
15流管在定常流动中，通过流体中的每一点都可以画一条流线。
由流线围成的
管状区域，就称为流管。
16流量单位时间内流过某一截面的流体体积，称为流体流过该截面的体积。
三基本规律
1刚体定轴转动角量与线量的关系：
二a=Ran=R■2
2转动定律刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与所受的合外力矩成正比，与
刚体的转动惯量成反比，M。
3相加性原理对同一转轴而言，刚体总转动惯量等于各部分转动惯量之和。
4平行轴定理质量为m的刚体对过它质心的轴的转动惯量是Jc,如果有另一轴
J。
=Jcmd2
5质点的角动量定理对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量
t2
Mdi=-L2-L1
ti
6质点的角动量守恒定律当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对参考点的角动量为一恒矢量。
7刚体定轴转动的角动量定理作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。
tL
Mdt二dL二L-L。
t0L0
8刚体定轴转动的角动量守恒定律当刚体所受的的合外力矩为零，或者不受合
外力的作用，冈体的角动量保持不变。
9刚体绕定轴转动的动能定理合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于刚
体的转动动能的增量，即w=1j「2—丄，2
22。
10理想流体的连续性方程理想流体作定常流动时，流体的速率与流管截面积
的乘积是一个恒量，s=恒量。
11伯努利方程作定常流动的理想流体p•12=gy二恒量
2
四难点解析与问题讨论
1转动定律的应用
刚体定轴转动定律的应用与牛顿运动定律的应用相似。
牛顿运动定律应用的
基础是受力解，而对于转动定律的应用，则不仅要进行受力解，还要进行力矩解。
在刚体
按力矩解可用转动定律列出刚体定轴转动的动力学方程并求解出结果
定轴转动定律的应用中还常常涉及到与牛顿运动定律的综合。
题目的复杂性相对较大，这也是大家注意的问题。
问题3.1如图3.1所示，一轻杆（不计质量）长度为21，两端各固定一小球，A球质量为2m,B球质量为m,杆可绕过中心的水平轴0在铅垂面内自由转动，求杆与竖直方向成二角时的角加速度。
解轻杆连接两个小球构成一个简单的刚性质点系统。
系统运动形式为绕0轴的转动，应该用转动定律求解
M=J
（1）
先解系统所受的合外力矩。
系统受外力有三个，即A、B受到的重力和轴的支撑作用力。
轴的作用力对轴的力臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用。
以顺时针方向作为运动的正方向，则A球受力矩为正，B球受力矩为负，两个
重力的力臂相等为d=lsinn，故合力矩
M=2mglsin）-mglsin八mglsi
（2）
系统的转动惯量为两个小球（可看作质点）的转动惯量之和
222
J二2mlml=3ml（3）
将
（2）（3）式代入
（1）式
mgsli印二3mI
解得'込
3I
问题3.2如图3.2所示，有一匀质细杆长度为I，质量为m,可绕其一端的水平
轴0在铅垂面内自由转动。
当它自水平位置自由下摆到角位置-时角加速度有多
大？
解杆受到两个力的作用，一个是重力，一个是0轴作用的支撑力。
0轴的作用力的力臂为零，故只有重力提供力矩。
重力是作用在物体的各个质点上的，但对于刚体，可以看作是合力作用于重心。
即杆的中心，力臂为d二丄cost。
杆对0
2
轴的转动惯量为1ml2。
按转动定律有
3
MJ
即
23
解得=3gcos-
2I
问题3.3如图3.3所示，一固定光滑斜面上装有一匀质圆盘A作为定滑轮，轮上
绕有轻绳（不计质量），绳上连接两重物B和C。
已知A、B、C的质量均为m，
轮半径为r,斜面倾角r-30。
若轮轴的摩擦可忽略，轮子和绳子之间无相对滑
动，求装置启动后两重物的加速度及绳中的张力?
图3.3
解A、B、C构成一个连接体，A轮沿顺时针方向转动，B物体向下运动，C物体沿斜面向上运动。
设A的角加速度为，B、C加速度的大小相等设为a，绳子中张力的大小在A、B间设为Ti、T；（Ti），在A、C间设为T?
、T?
（T?
=丁2）。
Ti和T?
不相等，否则轮A受合力矩将为零，就不可能随绳子运动了，这显然不符合题意。
对滑轮A，滑轮所受的重力的力心在轴上，轮轴的支撑力也在轴上，它们的力臂均为零，故力矩也为零，所以只有绳子的张力Ti和T?
提供力矩，按转动定律有
12
T|r-T2rmr:
2
对重物B,按牛顿运动定律有
I
mg-Ti=ma
对重物C,按牛顿运动定律有
'
T2-msgin30ma
由于轮子和绳子之间无相对滑动，A轮边缘的切向加速度和B、C加速度的大小
相等，a=a，又按角量与线量关系a=n有
a=r：
联立以上四个方程可解得
a=0.2gJ=0.8mgT2=0.7mg
2刚体定轴转动的角动量和动能
单个质点对轴的角动量：
L=rp=rmu
单个刚体对轴的角动量：
一-丄
共轴转动刚体系统的角动量：
L八Lj八J「j
定轴转动刚体的动能归结于质点系的动能，定义为组成刚体的各质点动能之和，即Ek八Eki八，丄厲：
2
2
其中：
i为第i个质点的速率，mj是它的质量。
按角量与线量关系「二斤，，其中r为质点到轴的距离，「为刚体转动的角速度，有
122122
Ekm"■■（'mA）■
22
由转动惯量的定义可知，其中的无mri2是刚体对定轴的转动惯量J,故有
4二
k2
11
转动动能公式是从质点动能公式Ek=-m2推导而来，最终的形式E^-J2也
22
很象质点动能公式。
在公式的推导中我们看到，转动动能采用角量描述比用线量描述方便，这是由于在转动中各质点角速度--相同而线速度：
j各不相同的缘故。
在已知刚体转动惯量的情况下，上述公式计算刚体的动能是非常方便的，要求大家必须掌握
3刚体定轴转动的综合应用
在一些刚体定轴转动问题中，会涉及到角动量守恒、机械能守恒的综合应用。
下面我们通过一些例题来予以说明。
问题3.4如图3.4所示，一匀质木棒长度l=1m,质量为mi=10kg,可绕其一端的光滑水平轴0在铅垂面内自由转动。
初时棒自然下垂，一质量m2=0.05kg的子弹沿水平方向以速度：
击入棒下端（嵌入其中），求棒获得的角速度及最大上摆角。
图3.3
解子弹击入木棒的过程可以看成是绕轴做转动，因此在碰撞过程中可以将子弹和木棒作为一个共轴转动系统来讨论。
子弹击入木棒的过程中，轴的支撑力及重力都不提供力矩（力臂为零），故系统对轴0的角动量守恒。
击入前只有子弹有角动量
L0=m2l
击入后设棒获得的角速度为'■，棒和子弹整体的转动惯量为
J=〔mJ2m2l2=3.38kgm2
击入后系统的角动量为
由角动量守恒定律有L^L，即
在棒上摆的过程中只有保守力重力做功，系统的机械能守恒。
以棒刚开始上摆时
的状态作为棒和子弹重力势能的零点，则此时系统只有动能
E"J，其中J
m21=J
可解得棒的角速度
和■■见
（1）式和
（2）式。
棒上摆到最大角度v时动能为零，系统只有重力势能。
棒的重力势能为Ep1丄（1-cost），子弹的重力势能为Ep2=m2gl（1-cost）
2
由机械能定恒定律有
最大上摆角-45c.5
4伯努利方程
12一
p•”gy=恒量
2
上式各项分别表示单位体积流体的压力能P、重力势能；-gh和动能-2
2
在沿流线运动过程中，总和保持不变即总能量守恒。
显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大
（理论上应等于总压）。
飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。
方程适用于全流场任意两点之间。
习题
3.1关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（）
（A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关.
（B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关.
（C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置.
（D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关.
解转动惯量是描述刚体在转动中惯性大小的物理量。
对于质点系的转动惯量
n
：
miri，如果物体的质量是连续分布的，转动惯量为J=jr2dm。
所以刚体对
i4
轴的转动惯量取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置•故选C。
3.2几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此
刚体（）
（A）必然不会转动.（B）转速必然不变.
（C）转速必然改变.（D）转速可能不变，也可能改变.
解刚体所受几个力的矢量和为零，合外力矩可能等于零，也可能不等于零。
根据刚体作定
轴转动的转动定律M=J、；，二可能等于零，也可能不等于零，所以转速可能不变，也可能改变.故选D。
3.3在下列说法中，错误的是（）
A.刚体作定轴转动时，其上各点的角速度相同，线速度则不同；
b.刚体定轴转动的转动定律为m=j-：
：
，式中］，i、j、|乂均为对同一条固定
轴而言的，否则该式不成立；
C.刚体的转动动能等于刚体上各质元的动能之和；
D.对给定的刚体而言，它的质量和形状是一定的，则其转动惯量也是唯一确定
的。
解对给定的刚体而言，它的质量和形状一定时，其转动惯量还与轴的位置有关.故选D。
3.4一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂伸直
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