统计力学习题精选.docx
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统计力学习题精选
统计力学习题精选
《统计力学》习题精选
me?
?
10?
30kg,e?
?
10?
19C,维恩定律的常数
选择题
1．在常温下，能量均分定理，一般固体的定容热容量为 A,Cv?
Nk B,Cv?
3Nk2C,Cv?
3Nk D,不确定
答案：
C
2．下面不属于经典极限条件表述的是
A,e>>1 B,分子间的平均距离远大于分子的热平均波长C,all D,能级间距远小于kT
答案：
D
3．下面叙述不正确的是 A，光子气体和自电子气体热容量的研究表明，对其微观粒子的正确描述均是波粒二象性。
B，在考察自电子气体对热容量的贡献时，能量均分定理仍然适用。
C，固体热容量的爱因斯坦模型相较于经典理论，其合理的部分在于引入了原子振动的能量是量子化的概念。
D，麦克斯韦速度分布律只对平衡状态下的理想气体成立。
答案：
B得分 统计力学试题（第页共4页）
1
?
4.下列那种情况下，实际气体一般将越来越偏离理想气体，其状态方程也越来越偏离理想
气体的状态方程
A,气体越来越稀薄 B，温度愈来愈低C,分子的质量m愈大 D，n?
越来越小于1答案：
B
35.平衡热辐射理论，目前发现的温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度接近为
A,10/cm B,10/cm
C,10/cm D,1/cm
答案：
C
6.按波长分布太阳辐射能的极大值在?
?
480nm处，假设太阳是黑体，太阳表面的温度为
A,3000K B,6000K
C,9000K D,以上都不对。
答案：
B
7．热力学第一定律可以判断理想气体一微小过程中dQ、dE、dA的正负,下面判断中错误的是
（A）等容升压、等温膨胀、等压膨胀中dQ>0；（B）等容升压、等压膨胀中dE>0；（C）等压膨胀时dQ、dE、dA同为正；（D）绝热膨胀时dE>0.
答案：
D
8.描述系统状态的宏观量一般可以分为广延量和强度量，并且存在一一对应的共轭关系，下面给出的宏观量组合中，相互共轭正确的是：
A，内能与温度，粒子数与化学势B，比容与压强，长度与张力
C，熵与温度，磁场强度与总磁矩D，体积与压强，数密度与化学势
统计力学试题（第页共4页）
2
23319373
答案：
C
9．下面关于热力学第二定律的表述正确的是A．孤立系统熵永远是增加的
B．不可能把热从低温物体传到高温物体
C．不可能从单一热源取热使之完全变为有用的功
D．绝热系统熵永不减少答案：
D
10．当系统温度趋向于绝对零度时，费米子不能完全“沉积”在基态是于（ A，泡利不相容原理 B，全同性原理
C，粒子间没有相互作用D，费米气体是简并气体答案：
A
11．热力学极限指：
（ ）
A，N有限，V有限，
NV?
?
B，N?
?
，V有限，NV有限
C，N?
?
，V?
?
，NV?
?
D，N?
?
，V?
?
，NV有限
答案：
D
12．孤立系统指
A，与外界无物质和能量交换的系统
B，与外界有能量交换但无物质交换的系统C，能量守衡的系统D，恒温系统答案：
A
13．摩尔数相同的两种理想气体，一种是氦气，一种是氢气，都从相同的初态开始经等压膨胀为原来体积的2倍，则两种气体
A，对外做功相同，吸收的热量不同.B，对外做功不同，吸收的热量相同.
统计力学试题（第页共4页）
）
3
C，对外做功和吸收的热量都不同.D，对外做功和吸收的热量都相同.
答案：
A
14．盐水溶液称为
A，单元双相系B，二元单相系C，二元双相系D，一元单相系
答案：
B
15．在量子统计描述中，微观粒子的量子态一套量子数确定 A，量子数数目与宏观系统的粒子个数相同
B，量子数数目与相空间维数相同C，量子数数目正比于系统能量
D，量子数数目取决于微观粒子的空间自度与内秉自度之和答案：
D
16．孤立系统处于平衡状态时包含的微观状态数
A，最大B，最小
C，视不同物质系统而定
D，与系统达到平衡态的过程有关答案：
A
17．一级相变和二级相变发生时A，都有相变潜热B，都没有相变潜热
C，一级相变有潜热，二级相变无潜热
D，一级相变无潜热，二级相变有潜热答案：
C
p18．如图1所示的是理想气体的两个不同温度的等温过程，
则
A，Ⅱ过程的温度高，Ⅰ过程的吸热多.ⅠB，Ⅱ过程的温度高，Ⅱ过程的吸热多.C，Ⅰ过程的温度高，Ⅰ过程的吸热多.
ⅡD，Ⅰ过程的温度高，Ⅱ过程的吸热多.OV
图1答案：
C
统计力学试题（第页共4页）
4
19．统计物理解决问题时需要知道
A，系统的微观状态B，系统的宏观状态
C，系统的微观状态和系统的宏观状态D，宏观状态对应的可能微观状态的数目答案：
D
填空题
1．准静态过程的体积功为?
W= ，
电极化功?
W= ，磁化功为?
W= 。
答案：
?
W外?
?
pdV；?
W?
EdP；?
W?
?
Hdm
2．对单元闭系dH= ，dF= .
答案：
dH=Tds+Vdp，dF=-SdT-PdV，
3．焓作为S，P的函数，是特性函数，已知H、S、P，则∪= ，
F= ，G= 。
答案：
HU?
H?
p（?
?
p）S
H?
HF?
H?
p（?
?
p）S?
S（?
S）p HG?
H?
S（?
）p ?
S
4．已知E为电场强度，?
是总电矩，试写出麦氏关系式:
P= .
?
E?
S（?
）?
?
（TP?
P）T
答案：
统计力学试题（第页共4页）
5
5．如右下图，当一系统沿acb从a态到达b态时，吸热80J，对外作功30J。
则若系统沿
adb从a态到b态，它对外作功为10J时，吸热为 J。
答案：
60J
6．吉布斯函数G作为T、P的函数， 是特性函数。
已知G、T、P，则
∪= ，
F= ，
H= 。
答案：
UG?
G?
G?
TT?
p?
p?
pT
?
G?
pT?
?
p?
?
H?
G?
T?
?
F?
G?
p?
G?
T
7．不可逆过程热力学第二定律的积分表达式是 ，微分表达式
是 ，
答案：
SB?
SA?
8．已知H为磁场强度，m是总磁矩，试写出麦氏关系式
统计力学试题（第页共4页）
6
?
B?
Q吸AT系，
?
S?
?
Q吸T吸
?
ST＝ ，
答案：
Sm0?
?
?
?
H?
T?
?
T?
H
9．温度的物理意义是 。
答案：
10．设液相为α相，气相为β相，则液滴形成的力学平衡条件是 。
答案：
11．盐的水溶液单相存在时，φ＝ ；f＝ 。
答案：
12．在双原子分子能量中，如果有五个平方项，则分子数为N的双原子分子理想气体的内能U= ;定压热容量CP=
答案：
13．负温度状态是 。
答案：
14．费米气体中的化学势是 。
答案：
15．设液相为α相，气相为β相，则液滴形成的力学平衡条件是 。
答案：
16．热力学平衡态下的强度量是系统微观量在 分布下的 平均。
答案：
最概然统计
17．根据朗道的连续相变理论，孤立系统总是从 趋向 演化，
直到达到最 的平衡态。
答案：
有序 无序 无序
18．热力学第零定律：
两物体同时与第三个物体热平衡时，这两个物体彼此之间也热平衡。
热力学第一定律：
在一个热力学过程中，系统吸收的热量等于系统内能的增加和系统对
外所做的功。
热力学第二定律：
不可能从单一热源取热使之完全转化为功而不引起其他的变化。
热力学第三定律：
不可能用有限的手续使系统的温度达到绝对零度。
19．卡诺循环包括以下四个准静态过程 。
答案：
等温过程绝热膨胀等温压缩绝热压缩 20．卡诺热机的效率为 。
答案：
?
?
1?
T2T1
简答题和论述题
1．试述玻尔兹曼气体是非简并气体而玻色气体和费米气体是简并气体。
参考答案：
答案要点
1．写出按单粒子能级求和的配分函数
2．讨论非简并和简并条件
3．分析非简并和简并的物理意义。
2．试分别从模型和统计表达式的角度，比较理想气体和光子气体的异同。
?
?
p2参考答案：
理想气体物理模型：
①粒子的能量描述：
2m
②态密度：
服从量子相格统计的极限
dxdydzdpxdpydpz?
p2dph3?
?
h3?
4?
Vh3
③粒子在态上的分布：
服从玻尔兹曼分布
f?
al）?
?
e?
（l
l光子气体普朗克模型：
①粒子的能量描述：
玻色粒子，能量服从德布罗意假设:
统计力学试题（第页共4页）
8
②量子态密度：
服从驻波条件
D（?
）d?
?
2?
V2?
c23?
2d?
③粒子在量子态上的分布：
服从玻色分布
f?
1el?
1?
1e?
?
/kT?
1
3．简述平衡态统计力学中的最概然分布理论求热力学量的基本思路。
参考答案：
1，求能级和量子态分布
2，求配分函数
3，带入基本热力学函数统计表达式：
内能，熵和物态方程4，热力学关系，确定其他所有平衡态性质。
4．什么是温度？
建立一种温标需要包含哪三要素？
参考答案：
温度的热力学定义：
处于同一热平衡的各个热力学系统，必定有某一宏观特征
彼此相同，用于描述此宏观特征的物理量----温度
建立温标三要素：
选择测温物质的测温属性来标志温度，选定固定点，对测温属性随温度变化关系作出规定。
5．什么是熵增原理？
参考答案：
熵增原理：
系统经可逆绝热过程后熵不变，经不可逆绝热过程后熵增加，在
绝热条件下熵减少的过程是不可能实现的。
6．什么是近独立子系？
近独立子系有哪三种分布？
他们个适用于什么样的系统？
写出相应的分布律
参考答案：
如果将一个系统分成许多部分，当子系间相互作用的能量与子系本身的
能量
相比是可以忽略不计时，这样的子系叫近独立子系。
对费米系统有费米-狄拉克分布
al?
?
lel?
1
?
lel?
1
对玻色系统有玻色-爱因斯坦分布
al?
统计力学试题（第页共4页）
9
对粒子可以分辨的系统有玻尔兹曼分布
al?
?
lel
7．什么是能量均分定理？
参考答案：
能量均分定理是说，当系统处于平衡态时，它的能量表达式中每一个平方
项的平均值等于KT/2。
8．试述系综及宏观热力学量可用相应微观量的系综平均计算。
参考答案：
计算题
1．试证明在体积V内，在?
到?
?
d?
的能量范围内，非相对论性三维自粒子的量子态数为：
2?
VD（?
）?
3（2m）3/2?
1/2d?
hPdP）。
如果其中一相为TdTRT）。
气体，且可视为理想气体，那么上式可以简化为?
U?
L（1?
L参考答案：
义G?
U?
TS?
PV
2．证明相变是一摩尔物质的变化为?
U?
L（1?
相变是在等温等压下化学势保持不变的过程，所以
U1?
TS1?
PV1?
U2?
TS2?
PV2
?
U?
U1?
U2?
T（S2?
S1）?
P（V2?
V1）
根据克拉珀龙方程：
dTL?
dPT（V2?
V1） 统计力学试题（第页共4页）
10
L?
T（S2?
S1）有?
U?
L?
PdPPdP?
L（1?
）dTTdT若一相为气体，则V?
V2?
?
V1若气体可视为理想气体，则PV?
RT所以?
U?
L?
3．利用欧拉齐次函数定理证明 G?
PTVRT?
L（1?
）TLL?
n?
iii
式中G为系统吉布斯函数，?
i是第i个组员的化学势，ni是第i个组员的摩尔数。
此证明
?
nii?
?
i?
0?
ni参考答案：
根据欧拉齐次函数定理，若f（x1,x2,....）为xi（i?
1,2,.....）的n次齐次式，则
nf?
?
xii?
f?
xiG为系统各组分摩尔数ni的一次齐次式，所以
?
GG?
?
nini,?
i?
（）T,P,nj?
i?
nii
式中
?
i为第i个组分的化学势。
?
?
j?
?
i?
2G?
2Gnj?
nj?
ni?
ni?
nj?
ni?
njj?
?
j?
?
j?
?
j?
（ni?
j）?
?
i?
?
G?
?
nj?
ni?
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nji?
（?
nj?
j）?
?
ii?
nj?
ni?
ni?
ni?
ni?
nii?
nij?
ij?
i?
?
i?
?
i?
0
4．试证明，单位时间碰到单位面积器壁上的，理想气体中速率介于v到v?
dv
m之间的分子数为：
m3/2?
2kTv23）evdv dN?
?
n（
2?
kT 统计力学试题（第页共4页）
11
5．简述焦耳-汤母孙多孔塞实验的主要内容。
写出焦耳-汤母孙系数的定义式。
?
V（证明P?
P）T?
T（）V?
T?
T
?
PCP（）T?
T参考答案：
焦耳-汤姆孙多孔塞实验是在一装有多孔塞的管道中，让气体一端经过多
孔塞流入另一端，观察气体温度随压强的变化。
?
?
（?
T）H?
P?
V）PdP和焓的微分表达式dH?
TdS?
VdP?
TTdS方程TdS?
CPdT?
T（有dH?
CPdT?
[V?
T（对等焓过程知?
?
（?
V）P]dP?
T?
P1?
V）H?
[T（）P?
V]?
TCP?
T 利用三轮换关系，既有
?
V（
P?
P）T?
T（）V?
T?
T
?
PCP（）T?
T
6．一块晶体包含
个原子，原子的自旋磁矩为
，被置于均匀磁场
中，这
些原子可取三个取向：
平行、垂直和反平行磁场。
求晶体的配分函数晶体的磁矩
高温弱场和低温强场的磁矩
参考答案：
将原子在外场中能量看作是内能一部分，晶体配分函数为：
统计力学试题（第页共4页）
12
Z?
（Z1）N?
（?
e?
?
El）N?
（e0H?
e0?
e?
?
0H）Nl?
（e0H?
1?
e?
?
0H）N
（1）
x0H?
?
0HkBTZ?
（e?
x?
1?
ex）N
（2）?
（2chx?
1）N从热力学方程
dU?
Tds?
HdM?
dU*?
d（U?
HM）?
Tds?
MdH?
dF*?
?
sdT?
MdH晶体磁矩：
MF*?
H?
k?
lnZ?
ln（2chx?
1）NBT?
H?
kBT?
H?
Nk?
ln（2chx?
1）BT?
H?
2Nshx?
02chx?
1?
N?
0（ex?
e?
x）e?
x?
1?
ex（3）高温弱场时即x?
?
0HkBT?
?
1晶体磁矩M按式子求极限：
M?
N?
0（1?
x?
1?
x）1?
1?
x?
1?
x?
23N?
0x?
2N?
?
0H2N?
20H30k?
BT3kBT当低温强场时x?
?
0HkBT?
?
1，
此时M?
N?
0（1?
e?
2x）e?
2x?
1?
e?
x?
N?
0 统计力学试题（第页共4页）
13
2AT?
Bpα?
7．对某固体进行测量得，kT?
VBTV，其中A，B为常数，求该固体的物
态方程。
?
V1?
V2AT?
BP参考答案：
V?
TpV?
T?
P?
2AT?
BP①
1?
V?
?
P?
T?
?
T?
?
VBTVVPT ②
设：
V≡V（P、T）
法一：
①保持P不变，分离变量积分得
V=dV2AT?
BP?
dT?
AT2?
BPT?
f（p）
保持T不变，上式对P求偏导，得
df?
p?
df（p）?
VBTBT?
?
PTdpdp?
0?
f（p）?
C.
代入式得V=AT-BPT+C。
法二：
②保持T不变，分离变量积分得 V=
2
?
dvBTdp?
?
BTP?
f（T）
保持P不变，上式对T求偏导得?
v ?
ppT?
df?
?
BP?
dfdT?
2AT?
BP?
dT?
2AT?
f?
AT2?
c
2
代入式得V=-BTP+AT+C
8．铜棒的一端与127℃的无穷大热源接触，另一端与27℃的无穷大热源接触。
当棒在稳定导热时，传导的热量为5016J，试求：
棒和热源的总熵变。
参考答案：
?
S?
?
S棒?
?
S源1?
?
S源2
?
S棒?
0
?
1?
S源1?
?
5016J?
K400
?
S源2?
5016300J?
K?
1
14
统计力学试题（第页共4页）
5016?
?
S?
0?
400?
5016300
?
1?
?
K?
1?
?
（1?
）?
J?
K?
?
K34129．平衡热辐射是光子组成的理想玻色气体，试计算其ln?
（其中?
为巨配分函数），并进而计算内能和压强。
10．1mol理想气体分别通过下述三个可逆过程
（1）先通过等压过程再通过等温过程；
（2）先通过等容过程再通过等温过程； （3）先通过等温过程再通过绝热过程。
从相同的初态（T1,V1）到相同的未态（T2,V2），求体系的熵的变化。
标准答案：
P
统计力学试题（第页共4页）
15
C（T2,V3）A（T1,V1）D（T2,V1）
（1）:
?
S?
?
SAC?
?
SCBV
V2pdVdT?
?
T1?
V3TT ?
ClnT2?
RlnV2pT1V3?
T2Cp
?
CplnT2VT?
Rln[2
（1）]T1V1T2
（2）?
S?
?
SAD?
?
SDB
?
?
T2T1?
CVV2dTpdV?
?
V1TT
T2V2ln?
RlnTV11CV（3）?
S?
?
SAE?
?
V3V1pdVTV3V2T21?
?
1?
Rln[（）] =RlnV1V1T1
11．一均匀杆的两端分别与温度为T1和T2的大热源接触并达到稳定态，今取去与杆接触的热源，经过一段时间后杆趋于平衡态，设杆的质量为m,定压比热容Cp为常数，求这一过程熵的变化是多少？
标准答案：
取一小段dx，则因m=?
V?
?
lS（S是杆的截面积），dm=?
Sdx，dx小段杆的熵变为
统计力学试题（第页共4页）
16
dS?
?
T1?
T22TxdmCpdTT?
?
Sdx?
T1?
T22TXCpdTT,
整根杆的熵变为
?
S?
?
dS?
?
0lT1?
T220Txl?
CpdTT?
Sdx
=mCpln
mCpT1?
T2?
mCp?
（T2lnT2?
T1lnT1）2T2?
T112．假设一容器内盛有理想气体,容器内有一活门把它分成两部分，每部分的体积分别为V1和V2；内含理想气体的物质的量分别为V1和V2，两边温度相等。
若V1?
V2，则活门开启后，将出现理想气体的扩散。
求理想气体扩散前后熵的变化。
标准答案：
活门开启，气体扩散并最后达到平衡态后的总熵是 S?
（V1?
V2）Cp?
dT`?
（V1?
V2）Rln?
?
（V1?
V2）S0。
T扩散过程前后的熵的变化是 S?
（S1?
S2）?
R?
v1ln?
?
v1vv?
v?
?
v2ln2?
（v1?
v2）ln12?
.V1V2V1?
V2?
利用不等式
（V1v1V2v2V?
V2v1?
v2）（）?
（1）,v1v2v1?
v2可得
S?
（S1?
S2）?
0
以上说明扩散过程是个绝热的不可逆过程，满足熵增加原理。
13．试求理想气体的体胀系数α，压强β系数卢和等温压缩系数κT.
标准答案：
已知理想气体的物态方程此易得：
统计力学试题（第页共4页）
17
kT?
?
1?
V1nRT1（）T?
（?
）（?
2）?
.V?
TVpp
14．证明任何一种具有两个独立参量T，p的物质，其物态方程可实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT，根据下述积分求得：
lnV?
?
（?
dT?
?
Tdp）
如果?
?
11,?
T?
，试求物态方程．Tp
标准答案：
以T，p为自变量，物质的物态方程为V=V，其全微分为
?
V?
V）pdT?
（）Td?
.?
T?
?
dV1?
V1?
V?
（）pdT?
（）Td?
全式除以V，有VV?
TV?
?
dV?
（根据体胀系数a和等温压缩系统kT定义，可将上式改为：
dV?
adT?
kTdpV上式是以T，P为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分有：
lnV?
（adT?
kTdp）.若a?
?
1111，kT?
，可表为lnV?
?
（dT?
dp）.TTpp从积分到，再积分到，相应地体积V0最终变到V，有 lnPVp0V0VTp?
ln?
ln,即?
?
C（常量），或PV?
CT.V0T0p0TT0
15．在0℃和lpn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为，α=×10-5K-1和κT=×10-7pn-1．α和κT可近似看作常量．今使铜块加热至10℃．问：
（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变?
（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少?
标准答案：
统计力学试题（第页共4页）
18
（a）：
如系统的体积不变，dp与dT的关系为dp?
akdT。
T将上式积分可得：
P2?
p1?
ak（T2?
T1）.T将所给数据代入可得：
P?
?
10?
52?
?
10?
7?
10pn?
622pn（b）：
?
VV?
a（T2?
T1）?
kT（p2?
p1）.1将所给数据代入可得：
?
VV?
?
10?
4.1
16．求证：
（i）（?
S?
p）；（ii）（?
SH?
0?
V）U?
0
标准答案：
焓的全微分为dH?
TdS?
VdP
令dH=0，得SV?
0?
?
P?
HT内能的全微分为dU?
TdS?
PdV令dU=0，得S?
P?
?
V0UT
17．已知（?
U?
V）0,求证（?
UT?
?
p）T?
0．
标准答案：
对复合函数U?
T,P?
?
U?
T,V?
T,P?
?
求偏导数，有UPUV?
T?
?
VT?
?
P?
?
T如果UVU?
?
=O，即有?
?
P?
?
=0T?
T 统计力学试题（第页共4页）
19
式也可以用雅可比行列式证明：
UU,T?
?
=
?
?
P?
T?
?
P,TU,TV,T?
?
?
P,TP,T?
=
=UV?
?
V?
T?
?
P?
T
18．试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减．
标准答案：
热力学偏导数ST?
描述等压过程中熵随体积的变化率，用描述等压
?
?
V?
P?
?
V?
P下温度随体积的变化率。
为求出这两个偏导数的关系，对复合函数
S?
S?
P,V?
?
S?
P,T?
P,V?
?
求偏导数，有?
CP?
?
TSST ?
?
V?
P?
?
T?
P?
?
V?
PT?
?
V?
P?
?
ST?
?
的正负取决于?
?
的正负?
V?
V?
?
P?
?
P因为CP＞0，T＞0，所以?
式也可以用雅可比行列式证明：
SS,P?
?
=
?
?
V?
P?
?
V,PS,PT,P?
?
?
T,PV,P?
=
=?
19．求证：
?
?
ST?
?
T?
P?
?
V?
P?
?
vT
?
?
n?
T,V?
?
T?
V,n 统计力学试题（第页共4页）
20
标准答案：
自能F?
U?
TS是以T,V,n为自变量的特性函数，求F对n的偏导数，有
FUST?
?
?
?
n?
T,V?
?
n?
T,V?
n?
T,V但自能的全微分dF?
?
Sdt?
pdV?
?
d
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