2
5.等腰三角形的三角关系:
设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°-2∠B,∠
180A
B=∠C=.
2
典例精析
典例1等腰三角形的一个内角为40°,则其余两个内角的度数分别为
A.40°,100°B.70°,70°
C.60°,80°D.40°,100°或70°,70°
【答案】D
【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时,另外两个内角=(180°–40°)÷2=70;°
②若等腰三角形的底角为40°时,它的另外一个底角为40°,顶角为180°–40°–40°=100°.
所以另外两个内角的度数分别为:
40°、100°或70°、70°.故选D.
【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o,解题关键是分情况进行
讨论①已知角为顶角时;②已知角为底角时.
典例2(2019·延安市实验中学初二期末)如图,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
下列结论不正确的是
A.ADBCB.∠B=∠C
C.AB=2BDD.AD平分∠BAC
【答案】C
【解析】因为△ABC中,AB=AC,D是BC中点,根据等腰三角形的三线合一性质可得,
A.AD⊥BC,故A选项正确;
B.∠B=∠C,故B选项正确;
C.无法得到AB=2BD,故C选项错误;
D.AD平分∠BAC,故D选项正确.
故选C.
【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质,本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.
拓展
cm.
1.等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为4cm,则该等腰三角形的底边为
等腰三角形的判定
1.等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据,是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.
2.底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊,其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.
典例精析典例3如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,E是AB上的一点,EF∥AD交CA的延长线于F.
求证:
△AEF是等腰三角形.
【解析】∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.
又∵AD∥EF,∴∠F=∠CAD,∠FEA=∠BAD,
∴∠FEA=∠F,
∴△AEF是等腰三角形.
拓展
2.已知在△ABC中,AB=5,BC=2,且AC的长为奇数.
(1)求△ABC的周长;
(2)判断△ABC的形状.
等边三角形的性质
1.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
2.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.
3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.
典例精析
典例4如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D为AB边的中点,DE⊥BC于E,若BE=1,则AC的长为.
【答案】4
【解析】∵DE⊥BC,∠B=∠C=60°,
∴∠BDE=30,°∴BD=2BE=2,
∵点D为AB边的中点,∴AB=2BD=4,
∵∠B=∠C=60,°∴△ABC为等边三角形,
∴AC=AB=4,故答案为:
4.
【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质,利用直角三角形的性质求得AB=2BD是解题的关键.
拓展
3.如图,ABC是等边三角形,点D在AC上,以BD为一边作等边BDE,连接CE.
(1)说明ABDCBE的理由;
2)若BEC800,求DBC的度数.
等边三角形的判定
在等腰三角形中,只要有一个角是60°,无论这个角是顶角还是底角,这个三角形就是等边
三角形.
典例精析典例5下列推理中,错误的是
A.∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
B.∵AB=AC,且∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
C.∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形
D.∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形
【答案】B
【解析】A,∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形,故正确;
B,条件重复且条件不足,故不正确;
C,∵∠A=60°,∠B=60°,∴∠C=60°,∴△ABC是等边三角形60°,故正确;
D,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到,故正确.故选B.
拓展
4.如图,已知OA=5,P是射线ON上的一个动点,∠AON=60°.当OP=时,△AOP
为等边三角形.
直角三角形
在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半,这个性质常常用于计算三角形的边长,也是证明一边(30°角所对的直角边)等于另一边(斜边)的一半的重要依据.当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时,我们可运用转化思想,将线段或角转化,构造直角三角形,从而将陌生的问题转化为熟悉的问题.
典例精析
典例6如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若∠B=30°,BD=6,则CD的长为.
【答案】3
【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°.又AD平分∠BAC,∴∠BAD=
∠CAD=30°,
1
∴∠BAD=∠B=30°,∴AD=BD=6,∴CD=AD=3,故答案为:
3.
2
拓展
5.已知直角三角形的两条边分别是5和12,则斜边上的中线的长度为.
勾股定理
1.应用勾股定理时,要分清直角边和斜边,尤其在记忆a2+b2=c2时,斜边只能是c.若b
为斜边,则关系式是a2+c2=b2;若a为斜边,则关系式是b2+c2=a2.
2.如果已知的两边没有明确边的类型,那么它们可能都是直角边,也可能是一条直角边、
一条斜边,求解时必须进行分类讨论,以免漏解.
典例精析
典例7直角三角形的两条直角边长分别为2cm和6cm,则这个直角三角形的周长为
答案】
32+6cm
解析】
∵直角边长为:
2cm和6cm,∴斜边=26=22(cm),
∴周长=2+6+22=32+6(cm)
故答案为:
32+6cm
.熟练掌握勾股定理的计
【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长,面积的综合运用
算解出斜边是关键
拓展
6.如图所示,在ABC中,B90,AB3,AC5,D为BC边上的中点
1)求BD、AD的长度;
2)将ABC折叠,使A与D重合,得折痕EF;求AE、BE的长度.
同步测试
1.直角三角形两直角边长分别为6和8,则此直角三角形斜边上的中线长是
A.3B.4C.7D.5
2.如图,△ABC是等边三角形,BCBD,BAD200,则BCD的度数为
3.如图是“人字形”钢架,其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC=120°,跨度BC=10m,AD为支柱(即
底边BC的中线),两根支撑架DE⊥AB,DF⊥AC,则DE+DF等于
A.10mB.5m
C.2.5m
D.9.5m
4.如图,
ABC是边长为1的等边三角形,
BDC为顶角
BDC
120的等腰三角形,
点M、
N分别在AB、AC上,且MDN
60,则
AMN
的周长为
5.如图,△ABC中,D、E两点分别在AC、BC上,AB=AC,CD=DE.若∠A=40°,∠ABD:
∠DBC=3:
4,则∠BDE=
6.已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长为
A.22B.17
C.17或22D.26
BAC,则AD的长为
7.如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D在BC上,且AD平分∠
A.6
C.4
B.5
D.3
8.如图,A、B两点在正方形网格的格点上,每个方格都是边长为1
的正方形,点C也在格
点上,且△ABC是等腰三角形,则符合条件是点C共有
A.8个B.9个C.10个
9.如图,Rt△ABC中,∠B=90?
,AB=9,BC=6,,将△ABC折叠,重合,折痕为MN,则线段AN的长等于
D.11个
使A点与BC的中点D
10.将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点A在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角尺的最长边的长为
11.三角形的三边a,b,c满足a-b+(b﹣c)2=0;则三角形是三角形.
12.如图,等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,△ABC的面积=
14.若一个等腰三角形的周长为26,一边长为6,则它的腰长为.
15.如图,在△ABC中,ABAC,D、E分别是BC、AC上一点,且ADAE,EDC12,
则BAD.
16.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,
则∠EFD=
点D重合.
1)求证:
△ACE为等腰三角形;2)若AB=6,求AE的长.
19.如图,一架2.5m长的梯子斜立在竖直的墙上,此时梯足B距底端O为0.7m.
1)求OA的长度;
2)如果梯子顶端下滑0.4米,则梯子将滑出多少米?
20.ABC与DCE有公共顶点C(顶点均按逆时针排列),ABAC,DCDE,BACCDE180,DE//BC,点G是BE的中点,连接DG并延长交直线BC于点F,连接AF,AD.
(1)如图,当BAC90时,
求证:
①BFCD;
②AFD是等腰直角三角形
AFD是何种特
(2)当BAC60时,画出相应的图形(画一个即可),并直接指出殊三角形.