一元二次方程知识点的总结.docx

一元二次方程知识点的总结.docx

《一元二次方程知识点的总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次方程知识点的总结.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

一元二次方程知识点的总结

一元二次方程知识点的总结

注意：

一元二次方程必须同时满足以下三点：

①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例下列关于的方程，哪些是一元二次方程？

⑴；⑵；（3）；（4）；（5）

考点二一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。

其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：

（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。

例1将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）；

（2）；（3）

例2已知关于的方程是一元二次方程时，则

考点三解一元二次方程的方法

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：

当时，所以是方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

法一直接开平方法解一元二次方程

若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）的解是；

（2）的解是；（3）的解是。

例用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）；

（2）；（3）

法二配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：

用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例用配方法解下列方程：

（1）；

（2）

法三因式分解法

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程的右边化为0；

（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：

（1）要将方程右边化为0；

（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：

提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

例用因式分解法解下列方程：

（1）；

（2）；（3）。

法四公式法

一元二次方程的求根公式是：

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：

（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；

（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。

例用公式法解下列方程

（1）；

（2）；（3）技巧选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；

公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：

一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）；

（2）；（3）

考点四一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式△=

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1）△=﹥0方程有两个不相等的实数根；

（2）△==0方程有两个相等的实数根；

（3）△=﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：

①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。

例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）；

（2）；（3）

考点五根的判别式的逆用

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0

（2）方程有两个相等的实数根=0

（3）方程没有实数根﹤0

注意：

逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例为何值时，方程的根满足下列情况：

（1）有两个不相等的实数；

（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；

考点六一元二次方程的根与系数的关系

若是一元二次方程的两个根，则有，

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：

（1）

（2）

（3）；

（4）││==

例已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。

（1）；

（2）。

考点七根据代数式的关系列一元二次方程

利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

例当取什么值时，代数式与代数式的值相等？

强化练习

一、选择题

1.一元二次方程x2=2x的根是（　　）

A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2

2.将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（　　）

A、（x－2）2+3B、（x+2）2－4C、（x+2）2－5D、（x+2）2+4

3.方程x2﹣4=0的解是（　　）

A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4

4.小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（　　）

A、x=4B、x=3C、x=2D、x=0

5.若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？

（　　）

A、1B、8C、16D、61

6.已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（　　）

A.B.C.﹣1D.1

7.已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（　　）

A．1＜L＜5B．2＜L＜6C．5＜L＜9D．6＜L＜10

8．方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（　　）

A、2B、3C、﹣1，2D、﹣1，3

9.分三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（　　）

A、11B、13C、11或13D、不能确定

10.一元二次方程（x－3）（x－5）=0的两根分别为（　　）

A、3，－5B、－3，－5C、－3，5D、3，5

二、填空题

1.（2011江苏淮安，13，3分）一元二次方程x2－4=0的解是.

2.（2011江苏南京，19，6分）解方程x2﹣4x+1=0．

3.（2011山东济南，18，3分）方程x2﹣2x=0的解为　　．

4.（2011泰安，21，3分）方程2x2＋5x－3＝0的解是___________．

5.（2011山东淄博14，4分））方程x2﹣2=0的根是　．

6.（2011四川达州，10，3分）已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m=　　，n=　　．

7.（2011浙江衢州，11，4分）方程x2﹣2x=0的解为　　．

8.（2011黑龙江省黑河，7，3分）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为（）。

三、解答题

1.（2011江苏无锡，20，8分）

（1）解方程：

x2+4x﹣2=0；

2.（2011山东烟台，19，6分）先化简再计算：

，其中x是一元二次方程的正数根.

3.（2011清远，18，5分）解方程：

x2－4x－1＝0．

4.（2011湖北武汉，17，6分）解方程：

x2+3x+1=0

5、已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根．

（1）是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立？

若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．

6、已知关于x的一元二次方程（x-m）2+6x=4m-3有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1•x2-x12-x22的最大值．