北京市海淀区学年八年级上学期期末考试数学试题.docx
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北京市海淀区学年八年级上学期期末考试数学试题
北京市海淀区2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试
题
学校:
姓名：
班级：
考号：
一、单选
A.x>3
E.x<3
C.x≠-3
2.若分式
3r-6
-——的值为0,则Λ=（）
2x+l
A.0
1
E.—
C.2
2
I.若占有意义，则X的取值范围是（）
3・下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
D.x≠3
D.7
A.9-a2=（3+α）（3-α）
B.χ2-2x=（x2-x）-X
C.
4.
A,
2
x+2=x（l+-）
X
11
-x+-
把分式一的分子与分母各项系数化为整数,得到的正确结果是（）
-X--
24
3x+2
4x-3
D-Xy-2）=Γ-2y
5.
A.
4x+2
B.
6x—3
C.
2x+l
2x-l
4x+lD.
6x-3
在下列运算中，正确的是（
（X-y）2=x2-V2
C.（a+2b）2=a2+4ab÷4b2
B.
D.
（a+2）（a-3）=a2-6
（2x・y）（2x+y）=2x2-y2
D为线段AB的垂直平分线与直线BC
的交点，连结AD,则ZCAD=（）
A仁
BCD
A・40oE・30。
C.20o
D・10。
7.把辰7化为最简二次根式，得
（）
A.2ay∣2aE・4J2∕
c・2√2?
D・2ay∕^a
6.如图，在ZVlBC中，ZABC=50%
ZBAC=20°,
8•下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2≈a2+2ab+b2的是
（）
9.学完分式运算后，老师出了一道题r十算:
小明的做法:
原式=
（x+3）（x-2）x-2
X2-4X2-4
X2+x-6-x-2
X2-S
X2-4
小亮的做法：
原式=（x+3）（x-2）+（2-x）=x'+x-6+2-x=x'-4:
小芳的做法:
原式=
x+3x-2_x+31
x+2（x+2）（x-2）x+2x+2
x+3-l
x+2
其中正确的是（）
A.小明E.小亮
C.小芳
D.没有正确的
10.如图，从一个人正方形中截去面积为3Qcm2和48c沪的两个正方形，则剩余部分
的面枳为（）
A,ISCm2
C.12√10cw2
E.（4>/3+λ∕30jt7772
D.24√10c∕h2
二.填空题
12.
a+2
α'-4
H.使JT二了有意义的X的取值范鬧是
13.人体内某种细胞可近似地看作球体,它的直径为0.000000156m,将0.000000156
用科学记数法表示为.
14.请在“”的位置处填入一个整式，使得多项式X?
+能因式分解，你填入
的整式为.
15.若x2+2x=l,则2x2+4x+3的值是.
16.若X+mt+16是完全平方式，则加的值等于•
17.如图，在RtΔABC中，ZC=90c,AD平分ZBAC,交BC于点D,且DA=DB.若
CD=3,则BC=.
18.我们用[m]表示不大于m的最大整数,如：
[2]=2,[4.1]=4,[3.99]=3.
（1）[√Σ]
=;
（2）若[3+√7]=6,则X的取值范围是.
三、解答题
19.计算：
（I）√12-
（I）1+（Il-S）Oi
（2）（x+2y）
2-2x（3x+2y）+（x+y）（x-y）.
20.化简求值：
—-一□÷1∙,其中a=2.α+lacr+2a
21.
解方程:
—-1=-2—
x-lX2-I
22.如图，在AABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF〃AB交DE的延长
线于点F.
（1）证明：
∆ADE^∆CFE;
（2）若ZB=ZACB,CE=5,CF=7,求DB.
BC
23.列分式方程解应用题
用电脑程序控制小型赛车进行20Om比赛，^畅想号”和“逐梦号”两赛车进入了最后的决赛.比赛中，两车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“逐梦号”离终点还差20m.从赛后数据得知两车的平均速度相差lm∕s.求“畅想号”的平均速度.
24・老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部
分，如图:
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简;
（2）原代数式的值能等于-1吗？
请说明理由.
25.已知AABC三条边的长度分别是√7TT,√（5-x），4-（√Γ^7）2,记ZiABC
的周长为Caabc.
（1）当×=2时，AABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；
（2）请求出Qabc（用含X的代数式表示，结果要求化简）；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：
S
VA
O
备用图2
参考答案
1.D
【分析】
根据分式有意义的条件进行判断可得答案•
【详解】
解：
由分式的基本概念可知,若分式有意义,分母必定不为零,即x-3≠0,所以x≠3.
故本题正确答案为D.
【点睛】
本题主要考查分式的概念，注意分母不为0是解题的关键
2.C
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件,根据分式的值为零的条件可以求出X的值.
【详解】
解:
根据题意得：
3x-6=0,且2x+l≠0解得:
x=2,x≠-丄.
2
故答案是:
C.
【点睛】
本题主要考查了分式值是0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：
（1）分子为0;
（2）分母不为0•这两个条件缺一不可.
3.A
【分析】
根据因式分解的定义进行判断可得答案.
【详解】
解：
根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式，
B.D都不是乘枳的形式，C含有分式，A符合因式分解的意义,故是因式分解，
故选：
A.
【点睛】
本题主要考查因式分解的定义：
因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式•
4.B
【分析】只要将分子分母要同时乘以12,分式各项的系数就可都化为整数.
【详解】
解：
不改变分值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数,则分子分母要同时乘以1£
12,即分式屮皆
24
故选B
【点睛】
解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相
同的倍数，分式的值不变•
5.C
【分析】
根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的结果,再判断即可•
【详解】
解：
A、（X-y）2=x2-IXy+y2,⅛本选项错误；
B、（Q+2）（d-3）=B-d-6,故本选项错误；
C、（a+2b）2=a2+4cιb+4b2,故本选项正确；
D、（2X-y）（2x+y）=4x2-y2,故本选项错误;
故选C.
【点睛】
本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用,注意:
完全平方公式：
（a±b）2=a2±2ab+b2,平方差公式:
（a+b）（a-b）=a2-b2.
6.B
【分析】
由D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点可得AD二BD,可得ZABC=ZBAD=50°,可得
ZCAD的度数•
【详解】
解：
由题意得:
TD为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，
∙∙∙AD二BD,∙∙∙ZABC二ZBAD二50°,
∙/ZBAC=2Qo,：
.ZCAD二ZBAD-ZBAC二30。
，
故选B.
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键
7.A
【分析】
根据最简二次根式的定义将原式子化简可得答案••
【详解】
解：
J&J*=2>∕Σ∙aJ7=2aJ57∙
故选A.
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键
&B
【分析】
分别表示各个小正方形和长方形的边长,即可得到各个小正方形和小长方形的面积，即可解答.
【详解】
解：
观察图A利用面积关系可^a2=b2+2b（a-b）+（a-b）2;
观察图B利用面积关系可得:
（a+b）2=a-+2ab+b~-,
观察图E利用面积关系可得心=4b（a—b）+（α-2b）';
观察图B利用面积关系可得：
（a+2b）2=亍+4b（α+b）;
故选B
【点睛】
本题主要考查长方形、正方形的面积公式及完全平方公式的几何应用，解题的关键是看图写出关系式
9.C
【解析】
试题解析:
x+32-x
x+2x2-4
x+3x-2
x+2（x+2）（x-2）
_x+3__1x+2x+2
x+3-1
^x+2
x+2
^TT2
所以正确的应是小芳・
故选C∙
10・D
【分析】
根据题意利用正方形的面积公式即可求得人正方形的边长，则可求得阴影部分的面积进而得出答案.
【详解】
从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，大正方形的边长是√30+√48=√30+4√3,
留下部分（即阴影部分）的面积是：
（√30+4√3）2-30-48=30+8√304>√3+48-30-48=24√10（Cm2）.
故选：
D.
【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式的应用，正确求出阴影部分面枳是解题关键.
11.x≥3
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥O,求解便能得到X的取值范闱.
【详解】
根据题意，得
x-3>0>
解得XN3.
故答案为x≥3
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：
二次根式的被开方数是非负数；
1
12.
a-2
【解析】
【分析】
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案.
【详解】
α+2d+2_1
a2-4（α+2）（α-2）a-2'
故答案为丄.
a-2
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式,分式的值不变.
13.1.56x10~7
【解析】
试题分析：
根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n,其中l<∣a∣<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.在确定n的值时，看该数是人于或等于1还是小于1.当该数人于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，一n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）.0.000000156第一个有效数字前有7个0
（含小数点前的1个0）,从而0.0000007156=1.56×IO-7.
14.-1（答案不唯一）
【分析】
根据因式分解的定义，填入合适的式子即可.
【详解】
解：
观察题目特征，X2+O能因式分解，根据因式分解的定义，
可填：
・1，
故答案：
-1,（答案不唯一）•
【点睛】
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的形式是解题的关键
15.5
【分析】
把x2+2x看作一个整体,代入代数式进行计算即可得解.
【详解】
解:
TX2+2X=L
∙,∙2√+4x+3=2（X2+2x）+3=2+3=5.
故答案为：
5.
【点睛】
本题考查了代数式求值,整体思想的利用是解题的关键.
16.16或一16
【解析】
T（2x÷4）2=4x2÷16x+16,
.°.4x2+mx+16中，m=±16,
故答案为±16.
17.9
【分析】
AD平分ZBAC,交BC于点D,且DA=DB,可得ZB二ZBAD二ZCAD二30。
，可得AD与BD的长，可得答案.
【详解】
解：
由题意得：
TAD平分ZBACf交BC于点D,且DA=DB
/.ZB=ZBAD=ZCAD,且ZB+ZBAD+ZCAD二90。
.∙.ZB=ZBAD=ZCAD=30°,
在RTAACD中，ZCAD二30",CD二3,二AD=6,
∙∙∙BD=AD=6,
.∙.BC=BD+CD=6+3=9.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，及直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半.
18.19≤x<16
【分析】
（1）由al∙414,及题中所给信息，可得答案；
（2）先解出3+√7的取值范闱后得出X的取值范⅛
【详解】
解：
（1）TJI~1.414,由题中所给信息，
可得[√∑]=l;
（2）由题意得：
6W3+77V7,
可得：
3W√7<4,
可得:
9≤x<16.
【点睛】
本题主要考查新定义及不等式的性质，找出规律是解题的关键
19.
（1）2√3-l;
（2）-4x2+3y2
【分析】
（1）本题涉及零指数幕、负整数指数幕、二次根式化简3个考点.在计算时，需要针对每个
考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.
（2）利用完全平方公式及平方差公式与平方差公式化简，后合并同类项可得答案.
【详解】
解：
（1）原式=2√3-2+l=2√3-l.
（2）原式=亍+4ιy+4y2-6F-4巧+亍一）&=-4x2+3y2.
【点睛】
本题考查实数的综合运算能力，平方公式及平方差公式与平方差公式的应用，是各地中考题中常见的计算题型.
2
20.——.
3
【分析】先把除法转化为乘法，再把分子、分母因式分解，约分后化简得到原式=-—CL-,然后把a的值
67+1
代入计算即可•
【详解】
3、十2a-∖a2+2a2a-1d（d+2）2a+2a
解：
原式=；=7-I^Γ77\=7Γ=7•
α+laa~-Iα+lQ∖a+^）∖a~^）口+1°+1«+1
2
当a=2时，原式=一亍.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值,注意灵活运用因式分解先化简在求值.
21.无解.
【解析】
试题分析：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得
到分式方程的解.
试题解析：
去分母得：
X（x+l）-χ2+l=2,
去括号得：
χ2+χ-χ2+1=2,
解得：
X=I,
经检验X=I是增根，分式方程无解.
考点：
解分式方程.
22.
（1）见解析；
（2）3
【分析】
⑴由CF//AB,可得ZA=ZAcF,ZADF=ZF,又由E是边AC的中点，可得
AADE^∆CFE;
（2）⅛（I）CF=AD=7,AE=CE=5,FhZB=ZACB,可得AB=AC=2CE=10,可得DE的长.
【详解】
解：
（I）证明:
TE是边AC的中点，
/.AE=CE.
又-CF//AB,
/.ZA=ZACF,ZADF=ZF.
ZADF=ZF5
在MDE与中JZA=ZACF,
AE=CEy
・：
∆ADE^∆CFE.
（2）解：
•：
卜ADE辿CFE,CF=7,
.∖CF=AD=7.
又TZB=ZACB,
/.AB=AC.
YE是边AC的中点，CE=5,
ΛAC=2CE=10.
AAB=10.
/.DB=AB-AD=IO-7=3.
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键
23.“畅想号”的平均速度为IOnVS
【解析】
【分析】
设“畅想号”的平均速度为Xm∕s,可得“逐梦号”的平均速度为Cr-DnVs,Flr畅想号”到达终
点时，“逐梦号”离终点还差20m列方程求解可得答案•
【详解】解：
设“畅想号”的平均速度为Xmb
由题意,
E200200-20
得_1・
XX-I
解得
X=IO.
经检验，
X=IO是原方程的解，且符合题意・
答「畅想号'的平均速度为IOm/s・
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，根据己知条件列出方程式解题的关键.
X—3
24.
（1）-——-J
（2）不能，理由见解析
X-I
【分析】
（D设被手遮住部分的代数式为A,代入原式求解可得答案；
y+1X
⑵设一=-1,可得X=O.代入原式得被除数一r=0,原代数式无意义，所以原代数式x-1x+1
的值不能等于-1.
【详解】
（1）设被手遮住部分的代数式为4・
3
则4一一÷
∖I-X丿
X
7+1
x+l
x-1
x+lX
•,
x-1x+l
x-3
^7≡T
（2）不能
理由：
若能使原代数式的值能等于-1，
χ+↑
则一=-b即x=0,
x-1
Y
但是，当X=O时，原代数式中的除数一；=0,原代数式无意义.
x+l
所以原代数式的值不能等于-1・
【点睛】
本题主要考查分式的四则混合运算及解分式方程,
将未知式子看做一个整体是解题的关键
3
25.
（1）3；
（2）√T+T+5;（3）-√7
【分析】
（l）x=2代入三边表达式可得答案：
X+1≥0[r
（2）由根式有意义可得LJ可得X的取值范I亂\（5-卄=5-x，
4-x≥0VV7
4-（√4→）2=x,可得CMBC的值;
⑶由
（2）可得√T+T+5,且—l验证，可得当当x=3时，可得S的值.
【详解】
（1）3
x÷1≥O
（2）由根式有意义可得，即—l≤x≤4∙
4-x>0
可得J（5-x）'=5-χ,4_（丁4_兀）=x.
所以CMBC=Jx+l+J（5-x）'+4-（√4-x）
（3）由
（2）可得C^C=√x+l+5,R-l≤x≤4.
由于X为整数，且要使CMBC取得最大值，所以X的值可以从人到小依次验证.
当X=4时，三条边的长度分别是松丄4,
但此时√5+l<4,不满足三角形三边关系.
所以λ≠4.
当X=3时，三条边的长度分别是2,2,3,满足三角形三边关系.
故此时CMBC取得最大值为7,符合题意.
不妨设α=2,b=2,c=3,得
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算及应用，注意运算的准确性.
26.（l）φD（-1,0）;②D（-2,0）;⑵〃一3VfG?
-2或"+2【分析】
（I）①根据题中反称点与反称中心的定义做出点D,可得坐标；
②易得AO=OC=2,由AE二2,分E点的两个可能的位置（如图3,图4）讨论，可得D点的值；⑵由
（1）可得反称点与反称中心的规律，当B@、0）,C（n+l,O）,2【详解】
（1）①如图，
②•••等边三角形AOC的两个顶点为O（OQ）,C（2.0）,
.∖0C=2.
.∖A0=0C=2.
由AE=2可知，点E有两个可能的位置（如图3,图4）・
y
2
1
D
A
Ac1
-2-}O
（A）I23X
（i）如图3,点E与坐标原点O重合.
TEC=ED,EC=2、∙°∙ED=2.
∙∙∙D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，
.∙.D点坐标为（・2,0）.
（ii）如图4,点E在边OA的延长线上，且AE=2.
VAC=AE=2,
.∖ZE=ZACE.
-AAOC为等边三角形,
：
.ZOAC=ZACO=6Qo・
ΛZE=ZACE=30o.
ΛZOCE=90o.
•：
EC=ED,
・•・点D与点C重合.
这与题目条件中的D与C不重合矛盾，所以图4中的情况不符合要求，舍去.
综上所述：
D（-2,0）....
（2）n-3+3・
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，需结合题中所给新定义解题・
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