完整版中考数学二次函数动点问题.docx
《完整版中考数学二次函数动点问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版中考数学二次函数动点问题.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整版中考数学二次函数动点问题
模式1:
平行四边形
分类标准:
讨论对角线
例如:
请在抛物线上找一点
p使得A、B、C、P四点构成平行四边形,则可分成以下几种情
(1)当边AB是对角线时,那么有AP//BC
(2)当边AC是对角线时,那么有AB//CP
(3)当边BC是对角线时,那么有AC//BP
例题1:
(山东省阳谷县育才中学模拟10)本题满分14分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于
m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、
Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
练习:
如图1,抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF//DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.
1用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
2设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系.
模式2:
梯形
分类标准:
讨论上下底
例如:
请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成梯形,则可分成以下几种情况
1)当边AB是底时,那么有AB//PC
2)当边AC是底时,那么有AC//BP
3)当边BC是底时,那么有BC//AP
例题2:
已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A的坐标为(4,0),点C的
2
坐标为(0,2),直线yx与边BC相交于点D.
3
(1)求点D的坐标;
2
(2)抛物线yax2bxc经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;
(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形?
若存在,请求出
所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?
若存在,求出点
D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒2个单位长度的速
度由点P向点O运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN对
折,得到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为
S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式.
模式3:
直角三角形
分类标准:
讨论直角的位置或者斜边的位置
例如:
请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成直角三角形,则可分成以下几种情况
(1)当
A为直角时,
AC
AB
(2)当
B为直角时,
BC
BA
(3)当
C为直角时,
CA
CB
例题3:
如图1,已知抛物线
2
y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y
轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.
①当线段PQ3AB时,求tan∠CED的值;
4
P的坐标.
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点
4
练习:
如图1,直线y
x4和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,
3
0)
1)试说明△ABC是等腰三角形;
(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.
①求S与t的函数关系式;
②设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?
若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由;
3在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.
模式4:
等腰三角形
分类标准:
讨论顶角的位置或者底边的位置
例如:
请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成等腰三角形,则可分成以下几种情况
(1)当
A为顶角时,
AC
AB
(2)当
B为顶角时,
BC
BA
(3)当
C为顶角时,
CA
CB
例题4
:
已知:
如图1,
在平面直角坐标系
xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,
OC在
x轴的正半轴上,
OA
=2,OC=3,
过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接
DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线
6
段OC交于点G.如果DF与
(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=5
2GO是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
Q,使得直线GQ与
3)对于
(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点
AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在
成立,请说明理由.
2
练习:
(2012江汉市中考模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?
若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若存
在,请说明理由.
(3)在
(2)的结论下,直线x=1上是否存在点
有点M的坐标;若不存在,请说明理由.
模式5:
相似三角形突破口:
寻找比例关系以及特殊角例题5:
(据荆州资料第58页第2题改编)在梯形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AC,∠B=450,AD=2,BC=6,以BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点A在y轴
上。
(1)求过A、D、C三点的抛物线的解析式。
(2)求△ADC的外接圆的圆心M的坐标,并求⊙M的半径。
(3)E为抛物线对称轴上一点,F为y轴上一点,求当ED+EC+FD+FC最小时,EF的长。
(4)设Q为射线CB上任意一点,点P为对称轴左侧抛物线上任意一点,问是否存在这样
的点P、Q,使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似?
若存在,直接写出点P、Q的坐标,若不存在,则说明理由。
模拟题汇编之动点折叠问题
2
1.(2012深圳模拟)(本题12分)已知二次函数yx2bxc与x轴交于A(-1,0)、B(1,0)两点.
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)若有一半径为r的⊙P,且圆心P在抛物线上运动,当⊙P与两坐标轴都相切时,求半径r的值.
(3)半径为1的⊙P在抛物线上,当点P的纵坐标在什么范围内取值时,⊙P与y轴相离、相交?
2
2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC物线上一动点.
(1)分别求出图中直线和抛物线的函数表达式;
方的抛
P,使四
(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点边形POP′C为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3bc0
b2
将B、C两点的坐标代入得:
,解得:
c3
c3
所以二次函数的表达式为:
yx22x3.
//
PP交CO于E.若四边形POPC是菱形,则有
/3
连结PP则PE⊥CO于E,∴OE=EC=2解得x1=210,x2=210(不合题意,舍去)
22
的右侧).过点A作垂直于y轴的直线l.在位于直线l下方的抛物线上任取一点P,过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP.
(1)写出A,B,C三点的坐标;
(2)若点P位于抛物线的对称轴的右侧:
①如果以A,P,Q三点构成的三角形与△AOC相似,求出点P的坐标;
4.(2012安庆模拟)在直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD=1,AB=3,BC=4,M、N分别
是底边BC和腰CD上的两个动点,当点M在BC上运动时,始终保持AM⊥MN、NP⊥BC.
∴PC=NP=x∴BM=BC-MP-PC=1-x∴1-x=x∴x=1
2
1
∴当x取时,四边形ABPN面积最大,最大面积为6.125.⋯⋯⋯⋯⋯⋯(14分)
2
5.(2012宝应模拟)在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2,2),点C是线段OA上的一个动点(不运动至O,A两点),过点C作CD⊥x轴,垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF,设OD=t.
⑴求tan∠FOB的值;
⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S;
⑶是否存在点C,使以B,E,F为顶点的三角形与△OFE相似,若存在,请求出所有满足要求
的B点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)
作AH⊥x轴于H,交CF于P∵A(2,2)∴AH=OH=2∴∠AOB=45
(3)要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°
∴只要
OE
EF
OE
EF
或
EB
EF
EF
EB
即:
BE
2t或EB
1t
2
①当BE2t时,BO4t,
②当EB1t时,
2
(ⅰ)当B在E的右侧时,OBOE
5
EBt,
2
2t5
2t2
∴t0(舍去)或t6∴B(3,0)
5
1⋯0分
(ⅱ)当B在E的左侧时,如图,OBOE
EB3t,
2
2t3t∴t0(舍去)或t2
2t23
∴B(1,0)
12⋯分
6.(2012广东预测)(本小题满分12分)
如图,
抛物线的顶点坐标是25,
9,
8
且经过点
A(8,14).
C、D两点(点C在点D的左边)
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设该抛物线与y轴相交于点B,与x轴相交于
试求点B、C、D的坐标;
试判断:
PAPB与ACBC的大小关系,并说明理由
2
解:
(1)(4分)设抛物线的解析式为
ya
⋯1分⋯
∵抛物线经过
A(8,14),∴14=a
9,解得:
8
⋯2分
9(或y1x
82
25
x
2
2)
2)(4分)
令x
0得y2,∴B(0,2)
⋯1分⋯⋯
125令y0得x2x20,解得x11、x24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2⋯分
2212
∴C(1,0)、D(4,0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯⋯⋯
(3)(4分)结论:
PAPBACBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯
理由是:
①当点P与点C重合时,有PAPBACBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯
②当点P异于点C时,∵直线AC经过点A(8,14)、C(1,0),∴直线AC的解析式为y2x2⋯⋯⋯3分
设直线AC与y轴相交于点E,令x0,得y2,
∴E(0,2),
则点E(0,2)与B(0,2)关于x轴对称
∴BCEC,连结PE,则PEPB,
∴ACBCACECAE,
∵在APE中,有PAPEAE
∴PAPBPAPEAEACBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯综上所得APBPACBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯⋯
2
7..如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(-2,-1),B(0,7)两点.
(1)求该抛物线的解析式及对称轴;
(2)当x为何值时,y>0?
(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l,与抛物线交于C、D两点(点C在对称轴的左侧),过点
C、D作x轴的垂线,垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标.
解:
解:
(1)把A(-2,-1),B(0,7)两点的坐标代入y=-x2+bx+c,得
-4-2b+c=-1b=2
,解得.
c=7c=7
2
x=1.
所以,该抛物线的解析式为y=-x+2x+7,22
又因为y=-x+2x+7=-(x-1)+8,所以对称轴为直线
(2)当函数值y=0时,
-x2+2x+7=0的解为x=1±22,
结合图象,容易知道1-220.
(3)当矩形CDEF为正方形时,设C点的坐标为(m,n),22
则n=-m2+2m+7,即CF=-m2+2m+7.
因为C、D两点的纵坐标相等,
所以C、D两点关于对称轴x=1对称,
设点D的横坐标为p,则1-m=p-1,
所以p=2-m,所以CD=(2-m)-m=2-2m.
2
因为CD=CF,所以2-2m=-m2+2m+7,
2
整理,得m-4m-5=0,解得m=-1或5.
因为点C在对称轴的左侧,所以m只能取-1.
当m=-1时,
22
n=-m+2m+7=-(-1)+2×(-1)+7=4.
于是,点C的坐标为(-1,4).
8.如图,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD⊥BC于D,点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s)。
⑴求x为何值时,PQ⊥AC;
2
⑵设△PQD的面积为y(cm),当0⑶当0AD平分△PQD的面积;
⑷探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系,请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写
出过程)。
解:
⑴∵当Q在AB上时,显然PQ不垂直于AC。
当Q在AC上时,由题意得:
BP=x,CQ=2x,PC=4-x,
∴AB=BC=CA=4,∠C=60,
若PQ⊥AC,则有∠QPC=300,∴PC=2CQ
4∴4-x=2×2x,∴x=,
5
4∴当x=(Q在AC上)时,PQ⊥AC;
5
⑵当000∵∠C=60,QC=2x,∴QH=QC×sin60=3x
1∵AB=AC,AD⊥BC,
Rt△QHC中,QC=2x,∠C=600,
1∴DP=2-x,∴y=2
⑶当0∴HC=x,∴BP=HC
∵BD=CD,∴DP=DH,
∵AD⊥BC,QH⊥BC,∴AD∥QH,
∴OP=OQ
∴S△PDO=S△DQO,
∴AD平分△PQD的面积;
⑷显然,不存在x的值,使得以PQ为直径的圆与AC相离
416当x=或时,以PQ为直径的圆与AC相切。
55
441616
当0≤x<5或59.已知抛物线yx22(k1)xk2与x轴交于A、B两点,且点A在x轴的负半轴
上,点B在x轴的正半轴上.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设OA、OB的长分别为a、b,且a∶b=1∶5,求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,以AB为直径的⊙D与y轴的正半轴交于P点,过P点作⊙D的切线交x轴于E点,求点E的坐标。
由题意可知
x1x1k2
0,
即k
2
(2)∵
a∶
b=1∶5,设OA
a
,即
x1
a,则OB5a,即x25a,a0
x1
x2
a5a4a
2k
1
4a
∴x1
x2
a5a5a2,
即
k
2
5a2
x2
解:
(1)设点A(x1,0),B(x2,0)且满足x1<0<
当PE是⊙D的切线时,PE⊥PD
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A、B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐
标;
(3)在第
(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标.
解:
(1)、
4ac
ac
AO
D
因为点A、B均在抛物线上,故点A、B的坐标适合抛物线方程
0a1
03解之得:
ca14;
2
故yx2
4为所求
4分
2)如图2,连接BD,交y轴于点
M,则点
M就是所求作的点
设BD的解析式为
ykxb,则有
2kb
kb
0k1
,,
3b2
故BD的解析式为
yx2;令x
0,则y
2,故M(0,2)
8分
(3)、如图3,连接
AM,BC交y轴于点N,由
2)知,OM=OA=OD=2,
AMB
90
易知BN=MN=1,
易求AM22,BM
SVABM
2
22
22;设P(x,x24),
依题意有:
12ADgx2
1
442,即:
1
2
4gx24
42
解之得:
x
x0,故符合条件的P点有三个:
P1(22,4),P2(22,4),P3(0,4)
12分
11.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(﹣4,0),点B的坐标是
(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上),连接PP′,P′A,P′C.设点P的横坐标为a.
(1)当b=3时,
1求直线AB的解析式;
2若点P′的坐标是(﹣1,m),求m的值;
(2)若点P在第一象限,记直线AB与P′C的交点为D.当P′D:
DC=1:
3时,求a的值;
(3)是否同时存在a,b,使△P′CA为等腰直角三角形?
若存在,请求出所有满足要求的a,b的值;若不存在,请说明理由.
解:
(1)①设直线AB的解析式为y=kx+3,把x=﹣4,y=0代入得:
﹣4k+3=0,∴k=,
∴直线的解析式是:
y=x+3,⋯⋯3分
②由已知得点P的坐标是(1,m),∴m=×1+3=;⋯⋯4分
6分
2)∵PP′∥AC,△PP′D∽△ACD,∴=,即=,∴a=;
(3)以下分三种情况讨论.
①当点P在第一象限时,
1)若∠AP′C=90°,P′A=P′C(如图1)
过点P′作P′H⊥x轴于点H.
∴PP′=CH=AH=P′H=AC.
∴2a=(a+4)
∴a=
8分
∴b=2
2)若∠P′AC=90°,P′A=CA(如图2)
则PP′=AC
∴2a=a+4∴a=4
∵P′A=PC=AC,△ACP∽△AOB
∴b=4⋯⋯10分
3)若∠P′CA=90°,
则点P′,P都在第一象限内,这与条件矛盾.
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形.
②当点P在第二象限时,∠P′CA为钝角(如图3),此时△P′CA不可能是等腰直角三角形;
3当P在第三象限时,∠P′CA为钝角(如图4),此时△P′CA不可能是等腰直角三角形.
∴所有满足条件的a,b的值为
12分
12.