完整版中考数学二次函数动点问题.docx
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完整版中考数学二次函数动点问题
模式1：
平行四边形
分类标准：
讨论对角线
例如：
请在抛物线上找一点
p使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情
（1）当边AB是对角线时，那么有AP//BC
（2）当边AC是对角线时，那么有AB//CP
（3）当边BC是对角线时，那么有AC//BP
例题1：
（山东省阳谷县育才中学模拟10）本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于
m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、
Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
练习：
如图1，抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
1用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
2设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．
模式2：
梯形
分类标准：
讨论上下底
例如：
请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成梯形，则可分成以下几种情况
1）当边AB是底时，那么有AB//PC
2）当边AC是底时，那么有AC//BP
3）当边BC是底时，那么有BC//AP
例题2：
已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为（4,0），点C的
2
坐标为（0，2），直线yx与边BC相交于点D．
3
（1）求点D的坐标；
2
（2）抛物线yax2bxc经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？
若存在，请求出
所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？
若存在，求出点
D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速
度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对
折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为
S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
模式3：
直角三角形
分类标准：
讨论直角的位置或者斜边的位置
例如：
请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况
（1）当
A为直角时，
AC
AB
（2）当
B为直角时，
BC
BA
（3）当
C为直角时，
CA
CB
例题3：
如图1，已知抛物线
2
y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y
轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ3AB时，求tan∠CED的值；
4
P的坐标．
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点
4
练习：
如图1，直线y
x4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，
3
0）
1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？
若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
3在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
模式4：
等腰三角形
分类标准：
讨论顶角的位置或者底边的位置
例如：
请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况
（1）当
A为顶角时，
AC
AB
（2）当
B为顶角时，
BC
BA
（3）当
C为顶角时，
CA
CB
例题4
：
已知：
如图1，
在平面直角坐标系
xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，
OC在
x轴的正半轴上，
OA
＝2，OC＝3，
过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接
DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线
6
段OC交于点G．如果DF与
（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝5
2GO是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
Q，使得直线GQ与
3）对于
（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点
AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在
成立，请说明理由．
2
练习：
（2012江汉市中考模拟）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a>0）经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？
若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若存
在，请说明理由．
（3）在
（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点
有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
模式5：
相似三角形突破口：
寻找比例关系以及特殊角例题5：
（据荆州资料第58页第2题改编）在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=450，AD=2，BC=6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴
上。
（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式。
（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径。
（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长。
（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样
的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？
若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。
模拟题汇编之动点折叠问题
2
1.（2012深圳模拟）（本题12分）已知二次函数yx2bxc与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.
（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？
2
2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC物线上一动点.
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
方的抛
P，使四
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点边形POP′C为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
3bc0
b2
将B、C两点的坐标代入得：
，解得：
c3
c3
所以二次函数的表达式为：
yx22x3.
//
PP交CO于E.若四边形POPC是菱形，则有
/3
连结PP则PE⊥CO于E，∴OE=EC=2解得x1=210，x2=210（不合题意，舍去）
22
的右侧）.过点A作垂直于y轴的直线l.在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP.
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；
4.（2012安庆模拟）在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD＝1，AB＝3，BC＝4，M、N分别
是底边BC和腰CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，始终保持AM⊥MN、NP⊥BC．
∴PC=NP=x∴BM=BC－MP－PC=1－x∴1-x=x∴x=1
2
1
∴当x取时，四边形ABPN面积最大，最大面积为6.125.⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）
2
5.（2012宝应模拟）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t.
⑴求tan∠FOB的值；
⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；
⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求
的B点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）
作AH⊥x轴于H，交CF于P∵A（2,2）∴AH=OH=2∴∠AOB=45
（3）要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°
∴只要
OE
EF
OE
EF
或
EB
EF
EF
EB
即:
BE
2t或EB
1t
2
①当BE2t时,BO4t,
②当EB1t时,
2
（ⅰ）当B在E的右侧时,OBOE
5
EBt,
2
2t5
2t2
∴t0（舍去）或t6∴B（3,0）
5
1⋯0分
（ⅱ）当B在E的左侧时,如图，OBOE
EB3t,
2
2t3t∴t0（舍去）或t2
2t23
∴B（1,0）
12⋯分
6.（2012广东预测）（本小题满分12分）
如图，
抛物线的顶点坐标是25，
9，
8
且经过点
A（8,14）.
C、D两点（点C在点D的左边）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于
试求点B、C、D的坐标；
试判断：
PAPB与ACBC的大小关系，并说明理由
2
解：
（1）（4分）设抛物线的解析式为
ya
⋯1分⋯
∵抛物线经过
A（8,14），∴14＝a
9，解得：
8
⋯2分
9（或y1x
82
25
x
2
2）
2）（4分）
令x
0得y2，∴B（0,2）
⋯1分⋯⋯
125令y0得x2x20，解得x11、x24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2⋯分
2212
∴C（1,0）、D（4,0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯⋯⋯
（3）（4分）结论：
PAPBACBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯
理由是：
①当点P与点C重合时，有PAPBACBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯
②当点P异于点C时，∵直线AC经过点A（8,14）、C（1,0），∴直线AC的解析式为y2x2⋯⋯⋯3分
设直线AC与y轴相交于点E，令x0，得y2，
∴E（0,2），
则点E（0,2）与B（0,2）关于x轴对称
∴BCEC，连结PE，则PEPB，
∴ACBCACECAE，
∵在APE中，有PAPEAE
∴PAPBPAPEAEACBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯综上所得APBPACBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1⋯分⋯⋯
2
7.．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A（－2，－1），B（0,7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）当x为何值时，y>0?
（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C、D两点（点C在对称轴的左侧），过点
C、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．
解：
解：
（1）把A（－2，－1），B（0,7）两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得
－4－2b＋c＝－1b＝2
，解得.
c＝7c＝7
2
x＝1.
所以，该抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋7，22
又因为y＝－x＋2x＋7＝－（x－1）＋8，所以对称轴为直线
（2）当函数值y＝0时，
－x2＋2x＋7＝0的解为x＝1±22，
结合图象，容易知道1－220.
（3）当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n），22
则n＝－m2＋2m＋7，即CF＝－m2＋2m＋7.
因为C、D两点的纵坐标相等，
所以C、D两点关于对称轴x＝1对称，
设点D的横坐标为p，则1－m＝p－1，
所以p＝2－m，所以CD＝（2－m）－m＝2－2m.
2
因为CD＝CF，所以2－2m＝－m2＋2m＋7，
2
整理，得m－4m－5＝0，解得m＝－1或5.
因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取－1.
当m＝－1时，
22
n＝－m＋2m＋7＝－（－1）＋2×（－1）＋7＝4.
于是，点C的坐标为（－1,4）．
8.如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）。
⑴求x为何值时，PQ⊥AC；
2
⑵设△PQD的面积为y（cm），当0⑶当0AD平分△PQD的面积；
⑷探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写
出过程）。
解：
⑴∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。
当Q在AC上时，由题意得：
BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x，
∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝60，
若PQ⊥AC，则有∠QPC＝300，∴PC＝2CQ
4∴4－x＝2×2x，∴x＝，
5
4∴当x＝（Q在AC上）时，PQ⊥AC；
5
⑵当000∵∠C＝60，QC＝2x，∴QH＝QC×sin60＝3x
1∵AB＝AC，AD⊥BC，
Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝600，
1∴DP＝2－x，∴y＝2
⑶当0∴HC＝x，∴BP＝HC
∵BD＝CD，∴DP＝DH，
∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH，
∴OP＝OQ
∴S△PDO＝S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
⑷显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离
416当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切。
55
441616
当0≤x<5或59.已知抛物线yx22（k1）xk2与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的负半轴
上，点B在x轴的正半轴上．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设OA、OB的长分别为a、b，且a∶b＝1∶5，求抛物线的解析式；
（3）在
（2）的条件下，以AB为直径的⊙D与y轴的正半轴交于P点，过P点作⊙D的切线交x轴于E点，求点E的坐标。
由题意可知
x1x1k2
0，
即k
2
（2）∵
a∶
b＝1∶5，设OA
a
，即
x1
a，则OB5a，即x25a，a0
x1
x2
a5a4a
2k
1
4a
∴x1
x2
a5a5a2，
即
k
2
5a2
x2
解：
（1）设点A（x1，0），B（x2，0）且满足x1<0<
当PE是⊙D的切线时，PE⊥PD
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐
标；
（3）在第
（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
解：
（1）、
4ac
ac
AO
D
因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
0a1
03解之得：
ca14；
2
故yx2
4为所求
4分
2）如图2，连接BD，交y轴于点
M，则点
M就是所求作的点
设BD的解析式为
ykxb，则有
2kb
kb
0k1
，，
3b2
故BD的解析式为
yx2；令x
0,则y
2，故M（0,2）
8分
（3）、如图3，连接
AM，BC交y轴于点N，由
2）知，OM=OA=OD=2，
AMB
90
易知BN=MN=1，
易求AM22,BM
SVABM
2
22
22；设P（x,x24），
依题意有：
12ADgx2
1
442，即：
1
2
4gx24
42
解之得：
x
x0，故符合条件的P点有三个：
P1（22,4）,P2（22,4）,P3（0,4）
12分
11.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是
（0，b）（b>0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．
（1）当b=3时，
1求直线AB的解析式；
2若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：
DC=1：
3时，求a的值；
（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？
若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：
（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，把x=﹣4，y=0代入得：
﹣4k+3=0，∴k=，
∴直线的解析式是：
y=x+3，⋯⋯3分
②由已知得点P的坐标是（1，m），∴m=×1+3=；⋯⋯4分
6分
2）∵PP′∥AC，△PP′D∽△ACD，∴=，即=，∴a=；
（3）以下分三种情况讨论．
①当点P在第一象限时，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）
过点P′作P′H⊥x轴于点H．
∴PP′=CH=AH=P′H=AC．
∴2a=（a+4）
∴a=
8分
∴b=2
2）若∠P′AC=90°，P′A=CA（如图2）
则PP′=AC
∴2a=a+4∴a=4
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB
∴b=4⋯⋯10分
3）若∠P′CA=90°，
则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；
3当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．
∴所有满足条件的a，b的值为
12分
12.
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