完整版中考数学二次函数动点问题.docx

1、完整版中考数学二次函数动点问题模式 1 ：平行四边形分类标准： 讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p 使得 A、B、C、P 四点构成平行四边形，则可分成以下几种情（1）当边 AB是对角线时，那么有 AP / BC（2）当边 AC 是对角线时，那么有 AB / CP（3）当边 BC是对角线时，那么有 AC / BP例题 1 ：（山东省阳谷县育才中学模拟 10）本题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知抛物 线经过 A（-4 ，0），B（0，-4），C（2，0）三点 .（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m， AMB 的面积为 S.求 S 关于

2、m 的函数关系式，并求出 S 的最大值；（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y= x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、B、 0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标 .练习： 如图 1，抛物线 y x2 2x 3与 x轴相交于 A、B两点（点 A 在点 B的左侧），与 y 轴相交于点 C，顶点为 D （1）直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P为线段 BC上的一个动点，过点 P作 PF/ DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m1用含 m 的代数式表示线段 PF的长，并求出当 m

3、 为何值时，四边形 PEDF为平行四边形？2设 BCF的面积为 S，求 S与m 的函数关系模式 2 ：梯形分类标准： 讨论上下底例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A、B、C、P 四点构成梯形，则可分成以下几种情况1）当边 AB是底时，那么有 AB/ PC2）当边 AC是底时，那么有 AC/ BP3）当边 BC是底时，那么有 BC/ AP例题 2：已知，矩形 OABC在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 A 的坐标为 （4,0），点 C 的2坐标为 （0， 2） ，直线 y x 与边 BC 相交于点 D3（1）求点 D 的坐标；2（2）抛物线 y ax 2 bx c 经过点 A、 D、O，

4、求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点 M，使 O、 D、A、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由（2 ）如图 1，在直线 y2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（ O、P 两点除外），以每秒 2个单位长度的速度由点 P向点 O 运动，过点 M 作直线 MN/ x轴，交 PB于点 N 将PMN沿直线 MN 对折，得到 P1MN 在动点 M 的运动过程中，设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为S，运动时

5、间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式模式 3 ：直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A、B、P 三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况（1）当A为直角时，ACAB（2）当B为直角时，BCBA（3）当C 为直角时，CACB例题 3 ：如图 1，已知抛物线2yx2bxc与 x轴交于 A、B两点（点 A 在点 B左侧），与 y轴交于点 C（0， 3），对称轴是直线 x1，直线 BC与抛物线的对称轴交于点 D（1）求抛物线的函数表达式；（2 ）求直线 BC 的函数表达式；（3）点 E为 y轴上一动点， CE的垂直平分线交 CE于点 F，交抛物线

6、于 P、Q 两点，且点 P在 第三象限当线段 PQ 3 AB 时，求 tanCED的值；4P的坐标当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点4练习： 如图 1，直线 yx 4 和 x 轴、 y 轴的交点分别为 B、 C，点 A 的坐标是（ -2 ，30）1）试说明 ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B运动，同时动点 N 从点 B出发沿线段 BC向点 C运动，运 动的速度均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时， MON 的面积为 S 求 S与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB上运动时，是

7、否存在 S4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在 请说明理由；3在运动过程中，当 MON 为直角三角形时，求 t 的值模式 4 ：等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A、B、P 三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况（1）当A为顶角时，ACAB（2）当B为顶角时，BCBA（3）当C 为顶角时，CACB例题 4：已知：如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形 OABC的边 OA 在 y轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA2，OC3，过原点 O 作AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于

8、点 E（1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；（2 ）将 EDC绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线6段 OC交于点 G如果 DF 与（ 1 ）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 ，那么 EF 52GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；Q，使得直线 GQ 与3 ）对于（ 2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点AB的交点 P与点 C、G构成的 PCG是等腰三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在成立，请说明理由2练习：（ 2012 江汉市中考模拟） 已知抛物线 yax2bxc（a0）经过点 B（12，

9、0）和 C（0， 6），对称轴为 x 2（1）求该抛物线的解析式（2）点 D在线段 AB上且 ADAC，若动点 P从 A出发沿线段 AB以每秒 1 个单位长度的速度匀 速运动，同时另一个动点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB匀速运动，问是否存在某一时刻， 使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t（秒 ）和点 Q 的运动速度；若存在，请说明理由（3）在 （2）的结论下，直线 x 1 上是否存在点有点 M 的坐标；若不存在，请说明理由模式 5 ：相似三角形 突破口：寻找比例关系以及特殊角 例题 5：（据荆州资料第 58 页第 2 题改编） 在梯形 ABCD 中，AD

10、BC，BAAC，B = 450，AD = 2 ，BC = 6，以 BC所在直线为 x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A在 y轴上。（1） 求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式。（2） 求 ADC的外接圆的圆心 M 的坐标，并求 M的半径。（3） E 为抛物线对称轴上一点， F 为 y 轴上一点，求当 ED EC FD FC 最小时， EF 的 长。（4 ） 设 Q 为射线 CB 上任意一点，点 P 为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点 P、Q，使得以 P、Q、C为顶点的与 ADC 相似？若存在，直接写出点 P、Q的坐标， 若不存在，则说明理由。模拟题汇编之动点折叠问题21.

11、（2012 深圳模拟）（本题 12 分）已知二次函数 y x2 bx c 与 x 轴交于 A（1，0）、B （1 ，0 ）两点 .（1）求这个二次函数的关系式；（2 ）若有一半径为 r 的 P，且圆心 P 在抛物线上运动，当 P 与两坐标轴都相切时，求半径 r 的值 .（3）半径为 1 的 P在抛物线上，当点 P的纵坐标在什么范围内取值时， P与 y 轴相离、 相交？22.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y x2 bx c的图象与 x轴交于 A、B两点， A 点 在原点的左侧， B点的坐标为（ 3，0），与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P是直线 BC 物线上一动点 .（ 1）分别求出

12、图中直线和抛物线的函数表达式；方的抛P，使四（2）连结 PO、PC，并把POC沿 C O 翻折，得到四边形 POPC， 那么是否存在点 边形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .3b c 0b2将 B、 C两点的坐标代入得：，解得：c3c3所以二次函数的表达式为： y x2 2x 3 ./PP 交 CO于 E.若四边形 POP C是菱形，则有/3连结 PP 则 PECO于 E， OE=EC= 2 解得 x1= 2 10， x2= 2 10 （不合题意，舍去）22的右侧） .过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l. 在位于直线 l 下方的抛物线上任取一点 P

13、，过点 P 作直 线 PQ 平行于 y 轴交直线 l 于点 Q.连接 AP.（1）写出 A，B，C 三点的坐标；（2）若点 P 位于抛物线的对称轴的右侧：如果以 A，P，Q 三点构成的三角形与 AOC相似，求出点 P的坐标；4.（2012 安庆模拟）在直角梯形 ABCD 中， B90，AD1， AB3，BC4， M、N 分别是底边 BC和腰 CD上的两个动点，当点 M 在 BC上运动时，始终保持 AMMN、NPBCPC=NP= x BM=BCMPPC=1x 1- x= x x= 121当 x 取 时，四边形 ABPN面积最大，最大面积为 6.125. （14 分）25.（ 2012 宝应模拟）

14、在直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 2， 2），点 C 是线段 OA 上的一个动点（不运动至 O，A 两点），过点 C 作 CDx 轴，垂足为 D，以 CD 为边在右 侧作正方形 CDEF. 连接 AF 并延长交 x轴的正半轴于点 B，连接 OF,设 ODt. 求 tan FOB 的值；用含 t 的代数式表示 OAB 的面积 S；是否存在点 C, 使以 B，E， F 为顶点的三角形与 OFE 相似，若存在，请求出所有满足要求的 B 点的坐标；若不存在，请说明理由(1)作 AHx 轴于 H，交 CF 于 P A(2,2) AH=OH=2 AOB=45(3)要使 BEF与 OFE

15、相似 , FEO=FEB=90只要OEEFOEEF或EBEFEFEB即:BE2t 或 EB1t2 当 BE 2t 时, BO 4t, 当 EB 1t 时 ,2() 当 B 在 E的右侧时 ,OB OE5EB t ,22t 52 t 2 t 0(舍去 )或 t 6 B(3,0)510 分（） 当 B 在 E的左侧时 ,如图， OB OEEB 3t,22t 3t t 0(舍去)或 t 22 t 2 3B(1,0)12分6.（ 2012 广东预测）（本小题满分 12 分）如图，抛物线的顶点坐标是 25，9，8且经过点A(8,14).C、D 两点（点 C在点 D的左边）（1）求该抛物线的解析式； （2

16、）设该抛物线与 y 轴相交于点 B ，与 x 轴相交于试求点 B、C 、 D的坐标；试判断： PA PB与 AC BC的大小关系，并说明理由2解：（ 1）（ 4 分）设抛物线的解析式为ya1 分抛物线经过A(8,14) ， 14a9 ，解得：82 分9 (或 y 1 x8225x22）2）（4 分）令x0得 y 2 ， B(0,2)1 分1 2 5 令 y 0 得 x2 x 2 0 ，解得 x1 1 、 x2 4 2 分2 2 1 2 C(1,0)、 D(4,0) 1分(3)(4 分)结论： PA PB AC BC 1 分理由是：当点 P与点 C 重合时，有 PA PB AC BC 1分当点P

17、异于点 C时 ，直线 AC 经过点 A(8,14) 、 C(1,0) ，直线 AC 的解析式为 y 2x 2 3 分设直线 AC与y轴相交于点 E，令 x 0，得 y 2， E(0, 2) ，则点E(0, 2)与B(0,2)关于 x轴对称 BC EC ，连结 PE，则 PE PB ， AC BC AC EC AE ，在 APE 中，有 PA PE AE PA PB PA PE AE AC BC 1 分 综上所得 AP BP AC BC 1 分27.如图，已知二次函数 y x2bxc 的图象经过 A(2，1)，B(0,7)两点(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当 x 为何值时， y0?(3

18、)在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l，与抛物线交于 C、D 两点(点 C 在对称轴的左侧 )，过点C、D作 x轴的垂线，垂足分别为 F、E.当矩形 CDEF为正方形时，求 C点的坐标解：解： (1)把 A(2， 1)，B(0,7) 两点的坐标代入 y x2 bx c，得42bc 1 b2，解得 .c 7 c 72x1.所以，该抛物线的解析式为 y x 2x 7， 22又因为 y x 2x 7 (x1) 8，所以对称轴为直线(2)当函数值 y0 时，x2 2x70 的解为 x12 2，结合图象，容易知道 12 2 x0.(3)当矩形 CDEF为正方形时，设 C 点的坐标为 (m，n)， 2

19、2则 n m22m7，即 CF m22m 7.因为 C、D 两点的纵坐标相等，所以 C、 D两点关于对称轴 x1 对称，设点 D 的横坐标为 p，则 1mp 1，所以 p2m，所以 CD(2m)m2 2m.2因为 CDCF，所以 22m m22m7，2整理，得 m 4m 5 0，解得 m 1 或 5.因为点 C在对称轴的左侧，所以 m 只能取 1.当 m1 时，22nm 2m 7 （ 1） 2（1）74.于是，点 C 的坐标为 （1,4）8.如图，在 ABC 中，已知 ABBCCA4cm，ADBC于 D，点 P、Q 分别从 B、C 两点同 时出发，其中点 P沿 BC向终点 C运动，速度为 1c

20、m/s ；点 Q 沿 CA、AB 向终点 B运动，速度 为 2cm/s ，设它们运动的时间为 x（s）。 求 x 为何值时， PQ AC ；2 设 PQD 的面积为 y（cm ），当 0x2 时，求 y 与 x 的函数关系式； 当 0x2 时，求证： AD平分 PQD 的面积； 探索以 PQ 为直径的圆与 AC 的位置关系，请写出相应位置关系的 x 的取值范围 （ 不要求写出过程 ）。解：当 Q 在 AB 上时，显然 PQ 不垂直于 AC。当 Q 在 AC 上时，由题意得： BP x，CQ2x，PC4 x，ABBCCA 4， C60 ，若 PQ AC，则有 QPC 300， PC2CQ4 4x

21、 22x， x ，54 当 x （Q 在 AC 上）时， PQAC；5 当0x2时，P在BD上，Q 在AC上，过点 Q作QHBC于H，00 C60 ，QC 2x， QH QC sin60 3x1 ABAC， ADBC，Rt QHC 中，QC2x，C600，1 DP2x， y2 当 0x2 时，在HCx， BPHCBDCD， DPDH ，ADBC，QHBC， ADQH，OPOQS PDO S DQO，AD 平分 PQD 的面积； 显然，不存在 x 的值，使得以 PQ 为直径的圆与 AC 相离4 16 当 x 或 时，以 PQ 为直径的圆与 AC 相切。554 4 16 16当 0x5或5x 5或

22、 5 x 4时，以 PQ为直径的圆与 AC相交。9.已知抛物线 y x2 2（k 1）x k 2与x轴交于 A、B两点，且点 A在 x轴的负半轴上，点 B在 x轴的正半轴上（1）求实数 k 的取值范围；（2）设 OA、OB 的长分别为 a、b，且 ab15，求抛物线的解析式；（3）在（ 2）的条件下，以 AB为直径的 D与 y轴的正半轴交于 P点，过 P点作D的 切线交 x 轴于 E点，求点 E的坐标。由题意可知x1 x1 k 20，即k2（2）ab 1 5，设 OAa，即x1a ，则 OB 5a ，即 x2 5a ， a 0x1x2a 5a 4a2k14a x1x2a 5a 5a2 ，即k2

23、5a2x2解：（ 1）设点 A（ x1， 0）， B（ x2 ，0）且满足 x100）P是直线 AB上的一个动点，作 PCx轴，垂足为 C记点 P关于 y 轴的 对称点为 P（点 P不在 y 轴上），连接 PP，PA，PC设点 P 的横坐标为 a（1 ）当 b=3 时，1求直线 AB 的解析式；2若点 P 的坐标是（ 1， m），求 m 的值；（2）若点 P在第一象限，记直线 AB与 PC的交点为 D当 PD：DC=1 ：3时，求 a的值；（3）是否同时存在 a，b，使 PCA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的 a， b 的值；若不存在，请说明理由解：（ 1） 设直线 AB的解析

24、式为 y=kx+3 ，把 x= 4， y=0 代入得： 4k+3=0 ，k=，直线的解析式是： y=x+3 ， 3 分由已知得点 P的坐标是（ 1 ， m ）， m= 1+3= ； 4 分6分2)PPAC， PPD ACD， = ，即 =，a=；（3）以下分三种情况讨论当点 P 在第一象限时，1）若 APC=90 ， PA=P C（如图 1）过点 P作 PHx 轴于点 HPP=CH=AH=P H=AC 2a= （ a+4 ）a=8分b=22）若 PAC=90 ，PA=CA （如图 2）则 PP=AC2a=a+4 a=4PA=PC=AC ， ACP AOBb=4 10 分3）若 PCA=90 ，则点 P，P 都在第一象限内，这与条件矛盾 PCA 不可能是以 C为直角顶点的等腰直角三角形当点 P在第二象限时， PCA为钝角（如图 3），此时 PCA 不可能是等腰直角三角形；3当 P在第三象限时， PCA为钝角（如图 4），此时 PCA 不可能是等腰直角三角形所有满足条件的 a， b 的值为12 分12.