概率与数理统计习题集含答案.docx
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概率与数理统计习题集含答案
《概率与数理统计》课程习题集
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习题
【说明】：
本课程《概率与数理统计》（编号为01008）共有计算题1,计算题2
等多种试题类型，其中，本习题集中有［］等试题类型未进入。
计算题1
1.设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来。
⑴A出现，B、C不出现；
（2）A、B都出现，而C不出现；
（3）所有三个事件都出现；
（4）三个事件中至少一个出现；
（5）三个事件中至少两个出现。
2.在分别标有123,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。
设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号为奇数的卡片”。
试用样本点表示下列事件：
（1）AB；
（2）A+B；（3）B；（4）A-B；（5）BC
3.写出下列随机试验的样本空间：
（1）一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；
（2）对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；
（3）二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。
4.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生；
（2）A，B，C都发生；
（3）A，B，C中不多于一个发生。
5.甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。
试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
（1）至少有一人命中目标
（2）恰有一人命中目标
（3）恰有二人命中目标
（4）最多有一人命中目标
（5）三人均命中目标
6.袋内有5个白球与3个黑球。
从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。
7.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是
0.02。
加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，
求任意取出的零件是合格品的概率。
8.某地区的电话号码由7个数字组成（首位不能为0）,每个数字可从0,1,2,…，9
中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为
24的概率。
9.同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数1,2,3,4,5,6）,观察它们出
现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。
10.一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第
一次为次品，第二次为正品的概率。
x2
F（x）
ABe2x0
0x0
11.
求
（1）系数A及B;
（2）
设连续型随机变量X的分布函数为
X的概率密度f（x）;（3）X的取值落在（1,2）内的概率。
12.假设X是连续随机变量，其密度函数为
2
f（x）
cx,0x2
0,其他
求：
（1）c的值；
（2）P（1X1）
13.设二维随机变量
X,Y）的联合分布函数
F（x,y）A（Barctanx）（Carctany）,
求常数A,B,C（
x）,（
y）-
14.设随机变量X的分布函数为
0,x
1
Fx（x）
Inx,1
x
e
1,x
e
求P{X2},P{0X
3},P{2
X
52}；
（2）求概率密度fX（x）
15.设随机变量X的概率密度为
2（1-）,1x2,
f（x）
0,
x
其他•
16.设随机变量X的概率密度为f（x）
1x1x0
1x0x1，求E（X）,D（X）。
xe
f（x）2x
e
2
0其它
0
17.设X的概率密度为
，试求|X|的数学期望。
0
18.搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为1et（入＞0）,求为了发现沉船所需的平均搜索时间。
19.设x服从参数为的指数分布，即x有密度函数
f（x）
ex,x0
0,其他
求：
E（X）,E（X2）。
*XE（x）**
20.X称为对随机变量X的标准化随机变量，求E（X）及D（X）。
二、计算题2
21.已知X~B（n,p），试求参数n,p的矩法估计值。
22.设总体X在[a,b]上服从均匀分布
f（x,a,b）「~ax[a,b]，试求参数a,b的矩法估计量。
0x[a,b]
23.设X1,,Xn是来自N（,｝的样本，求,2的最大似然估计。
24.设有一批产品。
为估计其废品率p,随机取一样本X1,X2,…，X,其中
0取得合格品
11取得废品
（i=1,2,…,n）
—1n
则？
X—Xi是p的一致无偏估计量。
ni1
25.设总体X的均值
及方差
2
都存在,
且有
0。
但
2
均未知。
又设
XnX2,…，Xn是来自X的样本。
试求，
2
的矩估计量。
26.某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差b
2
=5000
（小时2）的正态分布。
今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。
为判断这种想法是否合乎实
际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s2=7200（小时2）。
问根据这个数字能
否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02，查表见后面附表）？
概率论与数理统计附表
标准正态分布部分表
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
1.8
0.9641
0.9648
0.9656
0.9664
0.9671
0.9678
0.9686
0.9693
1.9
0.9713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
2.4
0.9918
0.9920
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.9931
0.9932
2.5
0.9938
0.9940
0.9941
0.9943
0.9945
0.9946
0.9948
0.9949
兀2分布部分表
n
a=0.995
a=0.99
a=0.05
a=0.025
a=0.01
a=0.005
24
9.886
10.856
36.415
39.364
42.980
45.559
25
10.520
11.524
37.652
40.646
44.314
46.928
26
11.160
12.198
38.885
41.923
45.642
48.290
常用抽样分布
~N（0,1）
X
TS/n~t（n1）
2
2（n1）
（n1）S
2
27.某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多
少是相互独立的。
求：
1、同一时刻有8100户以上用电的概率；
2、若每户用电功率为100W则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率
供应居民用电？
（查表见后面的附表）
概率论与数理统计附表
标准正态分布部分表
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
1.8
0.9641
0.9648
0.9656
0.9664
0.9671
0.9678
0.9686
0.9693
1.9
0.9713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
2.4
0.9918
0.9920
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.9931
0.9932
2.5
0.9938
0.9940
0.9941
0.9943
0.9945
0.9946
0.9948
0.9949
X2分布部分表
n
a=0.995
a=0.99
a=0.05
a=0.025
a=0.01
a=0.005
24
9.886
10.856
36.415
39.364
42.980
45.559
25
10.520
11.524
37.652
40.646
44.314
46.928
26
11.160
12.198
38.885
41.923
45.642
48.290
常用抽样分布
X
Un~N（0,1）
X
T—~t（n1）S/、n
2
2（n1）
2（n1）S
2
28.某种电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，卩,d2均未知，现测得16只元件,其样本均值为X241.5，样本标准方差为S=98.7259。
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？
T分布表
N
a=0.25
a=0.10
a=0.05
a=0.025
13
0.988
1.502
1.7709
2.1604
14
0.6924
1.3450
1.7613
2.1448
15
0.6924
1.3406
1.7531
2.1315
16
0.6901
1.3368
1.7459
2.1199
29.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N（4.55，0.1082）。
现在测了五
炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。
问：
若标准差不改变，总体平
均值有无变化？
（a=0.05）
标准正态分布部分表
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
1.8
0.9641
0.9648
0.9656
0.9664
0.9671
0.9678
0.9686
0.9693
1.9
0.9713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
2.4
0.9918
0.9920
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.9931
0.9932
2.5
0.9938
0.9940
0.9941
0.9943
0.9945
0.9946
0.9948
0.9949
常用抽样分布
2
UX~N（0,1）TX~t（n1）2（n12）S~2（n1）
nS/n
30.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N（4.55，0.1082）。
现在测了五
炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。
问：
若标准差不改变，
总体平均值有无变化？
（a=0.05）
标准正态分布部分表
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
1.8
0.9641
0.9648
0.9656
0.9664
0.9671
0.9678
0.9686
0.9693
1.9
0.9713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
2.4
0.9918
0.9920
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.9931
0.9932
2.5
0.9938
0.9940
0.9941
0.9943
0.9945
0.9946
0.9948
0.9949
常用抽样分布
X
n~N（0,1）
~t（n
1）
（n1）S2
2
2（n1）
答案
—、计算题1
1.解：
（1）ABC;
（2）ABC;（3）ABC;（4）A+B+C;（5）AB+BC+CA（每个3分）
2.解：
（1）AB={2,4};
（2）A+B={1,2,3,4,5,6,8};
（3）B={1,3,5,7};（4）A-B={1,3};（5）BC={1,2,3,4,5,6,7,8}（每个3分）
3.解：
（1）{（HH）（HT）（TH）（TT）}
（2）{4,5,6,…}
（3）{（12,0）（0,12）（1,2）（2,1）}其中：
1为一号球，2为二号球（每个5分）
4.解：
（1）利用事件的运算定义，该事件可表示为ABC。
（2）同理，该事件可表示为ABC。
（3）AbbcAc（每小题5分）
5.解：
（1）ABC
（2）
ABC
ABC
ABC
（3）
ABC
ABC
ABC
⑷
BC
ACAB
ABC
（每小题
3分）
6.解：
基本事件的总数nC；（4分）；基本事件数kd。
（8分）故所求的概率
kCf5
p520.375（15分）
nC214
7.解：
任取一零件，设Bi,B2分别表示它是第一、二台车床的产品，A表示它是合格品。
（4分）则
21
仙-，P（B2）3
P（A|Bi）10.03
0.97，P（A|B-）10.02
0.98（10分）
由全概率公式得
P（A）
P（B1）P（A|B1）
P（B-）P（A|B-）
-0.97-0.980.973（15分）
33
8.解：
第一位数字不能是0，这时，基本事件的总数为1069（3分）
A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为24”。
由于电话号码的前两个数字为24,
5
后五个数字中每一个可以由0,1,2,…,9中任取，故对A有利事件的数目为10。
（6分）于
是
P（A）
105
1069
1
（15分）
90
9.解：
一个基本事件是由两个数字组成的排列（i,j）,i,j=1,2,3,4,5,6，而i,j可以
重复，故基本事件的总数为62。
（5分）A表示“两颗骰子掷得的点数不同”。
对A有利的基本事件数等于所有i工j排列方式的数目，即从1,2,3,4,5,6这六个数字任取其二
作不可重复的排列方式数
A，所以P（A）A-（15分）
66
10.解：
记A｛第一次为次品｝、B｛第一次为正品｝，要求P（AB）。
（2分）
已知P（A）=0.1,而P（BA）
，因此（8分）
99
P（AB）=P（A）P（BA）
0.1=0.091（15分）
99
11.解:
x2
（1）由于F（）
limF（x）1，所以有lim（A
xx
Be2）
A1。
又由于
X为连续型随机变量,
F（x）应为x的连续函数，应有
x2
limF（x）
x0
limF（x）
x0
lim（ABe2）
x0
所以A+B=0,
B=-A=-1，代入A、
B之值得F（x）
x2
~2
（5分）
（2）
对函数F（x）求导得x的概率密度为
f（x）
F'（x）
（3）
由P{aX
b}
b
f（x）dx
a
F（b）
xe
x2
~2
0（10分）
0
P{1
X2}
F
（2）
1
F
（1）e2
12.解：
（1）因为
f（x）是
F（a）式有
0.4712（15分）
密度函数，所以必须满足
f（x）dx
1，于是有（5分）
x2dx
3
解得c-（10分）
8
（2）
P（1X1）
131
xdx-088
1
1f（x）dx
0
0dx
1
1
0f（x）dx
（15分）
13.解:
由分布函数的性质得：
lim
x
y
A（B
arctanx）（C
arctany）
A（B
1（4分）
lim
x
A（B
arctanx）（C
arctany）
A（B
严
arctany）0（8分）
limA（Barctanx）（C
y
arctany）A（Barctanx）（C）0（12分）
2
1八
■,A2。
（1$分）
由此可解得c-.
B-
2
2
0,
x1
14.解：
（1）
Fx（x）
Inx,
1xe
1,xe
P{X2}FX
（2）In2（3分）
P{0X3}Fx（3）Fx（10）101（6分）
555
P{2X52}Fx（—）Fx
（2）In—In2In—（9分）
224
0,其他
（2）fx（X）Fx（x）'1（15分）
1xe
x
15.解：
因概率密度f（x）在x1,x
2处等于零，即知
当x1时，F（x）
xx
f（x）dx0dx0,（3分）
F（x）
当x2时，
x
f（x）dx1f（x）dx
x（8分）
10dx1.
x
F（x）
当1x2时，
x
f（x）dx
x
2（x丄）
xi
1x1
0dx2（1—）dx
1x八
（12分）
1
2（x-2）.
x
故所求分布函数是
0,x1,
1
F（x）2（x—2）,1x2,（15分）
x
1,x2.
16.
解：
E（X）
xf（x）dx
0
1x（1
x）dx
1
0x（1
x）dx
0（7分）
17.
分）
18.
22
D（x）E（X）[E（X）]
解：
令Y=|X|，所以：
E（X）
2
xf（x）dx
（1
x）dx
x2（1
0
1
x）dx6（15分）
|x|f（x）dx
x
e.
xdx
2
x
e
xdx1（15
2
解：
设发现沉船所需要的搜索时间为
X。
由题设知
P{Xt}
tF（t）（t>0）
（5分）
故X的概率密度为f（t）
E（X）=1/
19.
解:
分）
20.
解:
0，可见X服从参数为入的指数分布，因此
0
入，即发现沉船所需要的平均搜索时间为
E（X2）
E（X）
、计算题2
1/
入。
（15分）
xdx
xde
x
xe
xdx-
（7分）
E（X）
x2e
xe
xdx
0xe
xdx
2（15
2
、D（X）
E（X）0
；D（X）
D（X
E（X））
D（X）
D（X）
D（X）
21.解：
因为E（X）=np,D（X）=np（1-p），由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知
n
（XiX）2
i1
n?
（i?
）（10分）
可解得：
?
（XiX）2
ni1
ni1
1nXi
i1
22.解：
E（X）
S2（n）-
n
（Xi
i1
X）2（10分）
b?
所以可建立方程:
S2（n）
a?
2
但b）2
12
解得：
？
X,3S（n）,b?
23.解：
x的密度函数为
1
L（）I?
-
对数似然函数为：
、n
）e
l（）
n
ln（2
2
似然方程为
n
（Xi
i1
1
（-
n
—1
D（X）
（20分）
X..3S（n）,
fx（X）
（Xi）2
2~
n
ln
2
n
Xi）2
i1
n
（Xi
ni1
（ba）2
12
这就是参数a,b
（6分）
0；（14分）
n
（Xi
i1
（x
（20分）
X）2
n
Xi,
i1
的矩法估计值。
2
2_
，故似然函数为（2分）
2
（Xi）（10分）
i1
（18分）
24.解:
由题设条件
E（Xi）
p1（1p）0p
（2分）
D（Xi）
E（Xi2）E（Xi）2
p21
（1p）
02
2
pp（1p）（4分）
1n
1n
1
n
E（?
）
E（X）E（-Xi）
E（Xi）
pp（6分）
ni1
ni1
ni
1
由定义知
p是p的无偏估计量,
又
-1n
1n
1
n1
D（®
D（X）D（Xi）
~2
D（Xi）
~2
p（1p）=np（1
解得:
n
n
n
i
1
i1
P）
ni1
（10分）
由契比雪夫不等式，任给£
X,2S2，可以验证使似然函数达到最大。
（20分）
P（1P）
n
>0,
P{l?
p|}P{|X
p|
Ad（X）
p）
所以:
lim
P{l?
pl}
（17分）
Xi是废品率p的一致估计量。
1
从而,
n
Xi是废品率p的一致无偏估计量。
i1
（20分）
25.解:
E（X）
E（X2）
D（X）[E（X）]2
（7分）
解得
2（14分）
1
分别以
A,A2代替
2，得
2
的矩估计量分别为
AX,
A2A2
n
1Xi2
ni1
1n2
-（XiX）2.（20分）
ni1
26.解：
本问题要求在水平0.02下，检验假设H）:
异=5000（H：
b2工5000）（4分）
因为i2a/2（n1）120.02/2（25）11.524,（8分）
a/2（n1）0.02/2（25）44.314（12分）
由于
（n1）S2
2
0
釁36（18分）
1a/2（n
1）
；/2（n1）所以接受H）,即认为在0.02水平下这批电池的波动
性较以往的并无显著的变化。
（20分）
27.解：
（1）设随机变量Yn表示10000户中在同一时刻用电的户数，则Yn~B（10000,0.8），
（2分）于是
np=10000X0.8=8000,.np（1p）.100000.80.240（6分）
8100npYnnp10000np
所以概率为P{8100Yn1000C}P{——n}
Jnp（1p）Jnp（1p）Jnp（1p）
P{2.5认np
np（1p）
50}（50）（2.5）1
0.99380.0062（10分
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