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1、概率与数理统计习题集含答案概率与数理统计课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有习题【说明】：本课程概率与数理统计（编号为01008）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有等试题类型未进入。计算题11.设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用 A，B，C表示出来。A出现，B、C不出现；（2） A、B都出现，而 C不出现；（3） 所有三个事件都出现；（4） 三个事件中至少一个出现；（5）三个事件中至少两个出现。2.在分别标有123,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事件 A为“抽得一张标号不大于 4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“

2、抽得一张标号为奇数的 卡片”。试用样本点表示下列事件：（1） AB ；（2）A+B ；（ 3）B ；（4）A-B ；（ 5）BC3.写出下列随机试验的样本空间：（1） 一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；（2） 对一目标射击，直到击中 4次就停止射击的次数；（3） 二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。4.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1） A发生，B与C不发生；（2） A，B，C都发生；（3） A，B，C中不多于一个发生。5.甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以 A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。试用A、B、C的运算关系表示下列事件：

3、（1） 至少有一人命中目标（2） 恰有一人命中目标(3)恰有二人命中目标(4)最多有一人命中目标(5)三人均命中目标6.袋内有5个白球与3个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。7.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是 0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起， 并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。8.某地区的电话号码由 7个数字组成(首位不能为 0),每个数字可从 0, 1, 2,，9中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。9.同时掷两颗骰子(每个

4、骰子有六个面，分别有点数 1 , 2, 3, 4, 5, 6),观察它们出现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。10.一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取 2次，每次取一件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。x2F(x)A Be 2 x 00 x 011.求(1)系数A及B ; (2)设连续型随机变量 X的分布函数为X的概率密度f(x) ; (3) X的取值落在(1 , 2)内的概率。12.假设X是连续随机变量，其密度函数为2f (x)cx ,0 x 20,其他求：(1) c 的值；(2) P( 1 X 1)13.设二维随机变量X, Y)的联合分布函数F (x, y) A(

5、B arctanx)(C arctany),求常数A,B,C (x ),(y )-14.设随机变量X的分布函数为0, x1Fx(x)In x, 1xe1, xe求 PX 2, P0 X3, P2X5 2 ； (2)求概率密度fX(x)15.设随机变量X的概率密度为2(1 -),1 x 2,f(x)0,x其他16.设随机变量X的概率密度为f(x)1 x 1x01 x 0 x 1，求 E(X) , D(X)。x ef (x) 2xe20 其它017.设X的概率密度为，试求|X|的数学期望。018.搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为1 e t (入0),求为了发现沉船所需的平 均搜索时间。19.设

6、x服从参数为 的指数分布，即x有密度函数f(x)e x, x 00, 其他求：E (X) , E (X2)。* X E (x) * *20. X 称为对随机变量 X的标准化随机变量，求 E(X )及D(X )。二、计算题221.已知XB(n,p)，试求参数n,p的矩法估计值。22.设总体X在a,b上服从均匀分布f(x,a,b) a x a,b，试求参数a,b的矩法估计量。0 x a,b23.设X1, ,Xn是来自N ( , 的样本，求,2的最大似然估计。24.设有一批产品。为估计其废品率 p,随机取一样本 X1, X2,，X,其中0取得合格品1 1 取得废品(i=1,2,n )1 n则？ X

7、Xi是p的一致无偏估计量。n i 125.设总体X的均值及方差2都存在,且有0。但2均未知。又设Xn X2,，Xn是来自X的样本。试求 ，2的矩估计量。26.某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差b2=5000（小时2）的正态分布。今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。为判断这种想法是否合乎实际，随机取了 26只这种电池测出其寿命的样本方差 s2=7200 （小时2）。问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取 a=0.02，查表见后面附表）？概率论与数理统计附表标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.9664

8、0.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949兀2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282

9、611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽样分布 N(0,1)XT S/nt(n 1)22(n 1)(n 1)S227.某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为 0.8，且各户用电量多少是相互独立的。求：1、 同一时刻有8100户以上用电的概率；2、 若每户用电功率为 100W则电站至少需要多少电功率才能保证以 0.975的概率供应居民用电？（查表见后面的附表）概率论与数理统计附表标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.

10、97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949X 2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.

11、290常用抽样分布XU n N(0,1)XT t(n 1) S/、n22(n 1)2 (n 1)S228.某种电子元件的寿命 x(以小时计)服从正态分布，卩,d2均未知，现测得16只元件, 其样本均值为X 241.5，样本标准方差为 S=98.7259。问是否有理由认为元件的平均寿 命大于225 (小时)？T分布表Na=0.25a=0.10a=0.05a=0.025130.9881.5021.77092.1604140.69241.34501.76132.1448150.69241.34061.75312.1315160.69011.33681.74592.119929.已知某炼铁厂的铁水含碳

12、量在正常情况下有正态分布 N(4.55，0.108 2)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？( a=0.05)标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.

13、99450.99460.99480.9949常用抽样分布2U X N(0,1) T X t(n 1) 2 (n 12)S 2(n 1)n S / n30.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布 N(4.55，0.108 2)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？( a=0.05)标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97

14、500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽样分布XnN(0,1) t( n1)(n 1)S222(n 1)答案、计算题11.解：(1) ABC ; (2) ABC ; (3) ABC ; (4) A+B+C ; (5) AB+BC+CA (每个 3 分)2.解：(1) AB=2 , 4; (2) A+B=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 8;(3) B =1 , 3, 5, 7 ; (4) A-B=1 , 3

15、 ; (5) BC =1,2,3,4,5,6,7,8(每个 3 分)3.解：(1) ( HH ) (HT ) (TH ) (TT) (2)4, 5, 6,(3)(12,0)(0,12)(1,2)(2,1 )其中：1 为一号球，2 为二号球(每个 5 分)4.解：(1)利用事件的运算定义，该事件可表示为 ABC。(2)同理，该事件可表示为 ABC。(3)Ab bc Ac (每小题5分)5.解：(1) A B C(2)ABCABCABC(3)ABCABCABCBCAC ABABC（每小题3分）6.解：基本事件的总数 n C； （4分）；基本事件数k d。 （8分）故所求的概率k Cf 5p 52

16、0.375 （15 分）n C2 147.解：任取一零件，设Bi, B2分别表示它是第一、 二台车床的产品，A表示它是合格品。 （4分）则2 1仙-，P(B2)3P(A|Bi) 1 0.030.97，P(A| B-) 1 0.020.98( 10 分)由全概率公式得P(A)P(B1)P(A| B1)P(B-)P(A|B-)-0.97 - 0.98 0.973( 15 分)3 38.解：第一位数字不能是 0，这时，基本事件的总数为 1069（3分）A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为 24”。由于电话号码的前两个数字为 24,5后五个数字中每一个可以由 0,1,2,9中任取，故对A有利事件的

17、数目为10。（6分）于是P(A)10510691(15 分)909.解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（ i , j ）, i,j=1,2,3,4,5,6 ，而i,j可以重复，故基本事件的总数为 62。（ 5分）A表示“两颗骰子掷得的点数不同”。对A有利的 基本事件数等于所有i工j排列方式的数目，即从 1, 2, 3, 4, 5, 6这六个数字任取其二作不可重复的排列方式数A，所以 P(A) A - (15 分)6 610.解：记A 第一次为次品、B 第一次为正品，要求P （AB）。（2 分）已知 P (A )= 0.1,而 P ( B A)，因此（8分）99P (AB ) = P (A)

18、 P ( B A)0.1 = 0.091 (15 分)9911.解:x2(1)由于F()lim F(x) 1，所以有 lim (Ax xBe 2)A 1。又由于X为连续型随机变量,F （x）应为x的连续函数，应有x2lim F(x)x 0lim F (x)x 0lim (A Be 2 )x 0所以A+B=0 ,B=-A=-1，代入 A、B之值得F （x）x22(5分)(2)对函数F（x）求导得x的概率密度为f (x)F(x)(3)由 Pa Xbbf(x)dxaF(b)xex220 ( 10 分)0P1X 2F(2)1F(1) e212.解：（1）因为f(x)是F (a)式有0.4712 ( 1

19、5 分)密度函数，所以必须满足f(x)dx1，于是有（5分）x2dx3解得c - ( 10分)8(2)P( 1 X 1)13 1x dx - 08 811f(x)dx00dx110 f(x)dx（15 分）13. 解:由分布函数的性质得：limxyA(Barcta nx)(Carcta ny)A(B1 （4分）limxA(Barcta nx)(Carctan y)A(B严arctan y) 0 (8 分)lim A(B arctanx)(Cyarctan y) A(B arctanx)(C ) 0 (12 分)21 八, A 2。(1$ 分)由此可解得c -.,B -220,x 114.解：(

20、1)Fx(x)In x,1 x e1, x ePX 2 FX(2) In 2 (3 分)P0 X 3 Fx (3) Fx(10) 1 0 1 (6 分)5 5 5P2 X 5 2 Fx() Fx (2) In In 2 In (9 分)2 2 40,其他(2)fx(X) Fx (x) 1 (15 分),1 x ex15.解：因概率密度 f (x)在x 1,x2处等于零，即知当 x 1 时，F(x)x xf (x)dx 0dx 0, ( 3分)F(x)当x 2时，xf(x)dx 1 f(x)dxx ( 8 分)1 0dx 1.xF(x)当1 x 2时，xf (x)dxx2(x 丄)x i1 x

21、10dx 2(1 )dx1 x 八(12 分)12(x - 2).x故所求分布函数是0,x 1,1F(x) 2(x 2),1 x 2,( 15 分)x1,x 2.16.解：E(X)xf (x)dx01x(1x) dx10x(1x)dx0 (7 分)17.分)18.2 2D(x) E(X ) E(X)解：令Y=|X|，所以：E(X)2x f (x)dx(1x)dxx2(101x)dx 6 (15 分)|x| f(x)dxxe .x dx2xex dx 1( 152解：设发现沉船所需要的搜索时间为X。由题设知PX tt F(t) (t0)(5分)故X的概率密度为 f (t)E(X)=1/19.解:

22、分)20.解:0，可见 X服从参数为入的指数分布，因此0入，即发现沉船所需要的平均搜索时间为E (X2)E(X )、计算题21/入。(15分)xdxxdexxexdx -(7 分)E(X)x2exexdx0xexdx2 ( 152、D(X)E(X)0；D(X )D(XE(X)D(X)D(X)D(X)21.解：因为E(X)=np , D(X)=np(1-p)，由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知n(Xi X)2i 1n?(i ?) ( 10 分)可解得：?(Xi X)2n i 1n i 11 nXii 122.解：E(X)S2(n)-n(Xii 1X)2 (10分)b?所以可建立方程:S2

23、( n)a?2但b)212解得：？ X , 3S( n) , b?23.解：x的密度函数为1L（ ） I?-对数似然函数为：、n)el()nln(22似然方程为n(Xii 11(-n1D(X)(20 分)X .3S(n),fx（X）(Xi )22nln2nXi)2i 1n(Xin i 1(b a)212这就是参数a,b(6分)0； (14 分)n(Xii 1(x(20 分)X)2nXi ,i 1的矩法估计值。22_，故似然函数为（2分）2(Xi ) (10 分)i 1(18 分)24. 解:由题设条件E(Xi)p 1 (1 p) 0 p（2分）D(Xi)E(Xi2) E(Xi)2p2 1(1

24、p)022p p(1 p) (4 分)1 n1 n1nE(?)E(X) E(- Xi)E(Xi)p p (6 分)n i 1n i 1n i1由定义知p是p的无偏估计量,又- 1 n1 n1n 1D(D(X) D( Xi)2D(Xi)2p(1 p) =n p(1解得:nnni1i 1P)n i 1（10 分）由契比雪夫不等式，任给X, 2 S2，可以验证使似然函数达到最大。 （20分）P(1 P)n0,Pl ?p| P| Xp|Ad（X）p)所以:limPl ? pl (17 分)Xi是废品率p的一致估计量。1从而,nXi是废品率p的一致无偏估计量。i 1(20 分)25. 解:E(X)E(X

25、2)D(X) E(X)2(7 分)解得2 (14 分)1分别以A,A2代替2，得2的矩估计量分别为A X,A2 A2n1 Xi2n i 11 n 2-(Xi X)2. (20 分)n i 126.解：本问题要求在水平 0.02下，检验假设 H）:异=5000 （H：b 2工5000） （4分）因为 i2a/2(n 1) 120.02/2(25) 11.524 , (8 分)a/2(n 1) 0.02/2 (25) 44.314 ( 12 分)由于(n 1)S220釁36（ 18分）1 a/2(n1)；/2（n 1）所以接受H）,即认为在0.02水平下这批电池的波动性较以往的并无显著的变化。 （20分）27.解：(1)设随机变量Yn表示10000户中在同一时刻用电的户数， 则YnB(10000,0.8)，(2分)于是np=10000X0.8=8000, . np(1 p) .10000 0.8 0.2 40( 6 分)8100 np Yn np 10000 np所以概率为 P8100 Yn 1000C P n Jnp(1 p) Jn p(1 p) Jn p(1 p)P2.5 认 npnp(1 p)50 (50) (2.5) 10.9938 0.0062( 10 分