曲线曲面积分.docx
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曲线曲面积分
曲线曲面积分
曲线、曲面积分是将积分概念推广到一段曲线弧或一片曲面的情形，在求变
力沿曲线做功，求引力，环流量等许多实际问题中应用广泛，是场论的基础。
这
一章的基本思想是用参数化方法解决曲线、曲面积分的计算，利用格林公式、斯
托克斯公式、高斯公式解决一些较复杂的应用问题。
在研究生入学考试中，本章
是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。
通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：
1．明确两类曲线积分和两类曲面积分的背景，熟练掌握两类曲线积分和两
类曲面积分的定义。
2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的参数化、投影计算法。
3．具备对一些常见实际问题的分析能力，正确使用格林公式、斯托克斯公
式、高斯公式解决一些较复杂的应用问题。
,计算方法（参数化法）,对弧长的曲线积分,,,在一些问题中的应用（质量、质心、引力）,,,
,计算方法（参数化法）,,,线积分,,,格林公式（平面曲线积分）,,对坐标的曲线积分,,,斯托克斯公式（空间曲线积分）,,,,,,在一些问题中的应用（变力沿曲线做功、环流量）,,,
,计算方法（参数化法）,,对面积的曲面积分,,,在一些问题中的应用（质量、质心、引力）,,,,,曲面、曲线计算方法（投影法）,,,,,,对坐标的曲线积分高斯公式,,,,,在求穿过曲面定向的通量,,,,两类曲线积分的联系,,相互关系,,两类面线积分的联系,,
场论基础知识,
[错误结论]设z,f（M）是分段光滑可求长的平面曲线段，函数是定AB
义在AB,,f（x,y）ds,,f（x,y）ds.上的有界函数，则,,ABBA
1
[分析]从第一类曲线积分的定义知，该积分是该弧段上点的函数值与小弧段长
的乘积的和式的极限，故这个极限与曲线段AB的方向无关，因此不能照搬定积
分的有关性质。
,[正确结论]设AB是分段光滑可求长的平面曲线段，函数是定义在z,f（M）AB
上的有界函数，则,,f（x,y）ds,f（x,y）ds.,,ABBA
[错误结论]重积分、曲线积分、曲面积分的定义都可统一到定积分的定
义形式。
[分析]从重积分、曲线积分、曲面积分的物理背景可知重积分、第一类曲线积
分、第一类曲面积分的定义可统一到定积分的定义形式：
设是可度量的几何形,
体，n,,,i,1,2,？
n,,在上有界，将任意分成个部分，既表示f（M）,,ii
n第,,M个部分又表示其度，在上任取一点，若存在，则I,lim,f（M）,,iiIIIi,1,,0
称在上可积，记为f（M）f（M）d,,I.,,,
对于第二类曲线积分、第二类曲面积分由其物理背景可知，其定义不能简单
地统一到这种形式。
[正确结论]重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的定义都可统一到定积
分的定义形式。
求圆周上222x，y,r曲线段ABC的弧长，其中A,（0,r）,B,（r,0）,
r3rC,（,）.22
2x[错解],ds,1dx,，,,22ACACrx,
rr2,rxx22dxr,1，,arcsin],.0,220r6rx,
rxrr0[分析]由于曲线从A到C时,自增加到,再由减少到,在以上计算中统2
2x一将dsds,0.用1，dx表示不能保证而第一类曲线积分中,由定义可知22r,x
ds应大于零,因此此题应分段进行计算.
2
22xx[正确解],ds,1dx,1dx,，，，,,,2222ACABBCrxrx,,
22rrxx1dx1dx,，，，r,,22220rxrx,,2
r,r5xxrrrrr,,arcsin]，arcsin],,,.r0rr662
dx，dy4.计算其中为以点为顶ABCDAA（1,0）,B（0,1）,C（,1,0）,D（0,,1）,,ABCDAx，y
点的正方形。
[错解]正方形方程为即，C:
x,y,1，C:
x，y,1,C:
x，y,1x，y,1,312
C:
x,y,1.所以4
dx，dy,dx，dy，dx，dy，dx，dy，dx，dy,,,,,CCCCABCDA1423x，y
100101,（1,1）dx，（1，1）dx，（1,1）dx，（1，1）dx,2dx，2dx,4.,,,,,,0,1,10,10[分析]本题是计算第二类曲线积分,因此用参数化法化为定积分求解。
但应注意
的是此时定积分的下（上）限应对应始（终）点的参数值。
在以上解法中被积表
达式是正确的，但积分上下限有的颠倒了，导致了结果错误。
[正确解]正方形方程为C:
x，y,1,C:
x，y,1x，y,1,即，12
dx，dyC:
x,y,1C:
x,y,1，.所以34,ABCDAx，y
dx，dy，dx，dy，dx，dy，dx，dy,,,,CCCC1423
0,101,11,（1,1）dx，（1，1）dy，（1,1）dx，（1，1）dy,2dx，2dy,0.,,,,,,0010,10
5.[错误结论]格林公式对单一型的积分不成立。
P（x,y）dx,L
[分析]以上结论是错误的。
事实上，其中P（x,y）dx,P（x,y）dx，Q（x,y）dx,,,,LLL
Q（x,y）,0P（x,y），因此只要在以L为边界正向的闭区域上满足格林公式的D条件即可使用格林公式。
[正确结论]当P（x,y）在以L为边界正向的闭区域上满足格林公式条件时：
D
3
P（x,y）dx,P（x,y）dx，Q（x,y）dy,,,LLL
P,（）dxdy.,P（x,y）dx，0dy,,,,,,y,DLL
类似地，对单一型的积分，当在以L为边界正向的闭区Q（x,y）Q（x,y）dx,L
Q,域上满足格林公式的条件时，有dxdy.Q（x,y）dYD,,,,y,DL
33yx226.求曲线积分x，y,9，其中曲线的方程.,dx，dyL,33L
33yx[错解]由于（,）,（,）在所围的区域上满足格林公式的条Pxy,,Qxy,L33
33yx22件，于是,9dxdy,81,.,dx，dy,（x，y）dxdy,,,,,33DLD
[分析]在以上解法中，将第二类曲线积分利用格林公式转化为二重积分来考虑
2222这个思路是常用的，错误在于将x，yx，y,9利用的方程，用9来代换L22x，y。
事实上二重积分中的积分变量应在所围的积分区域上取值，而不能L仅在上取值。
L
343381yx222[正确解]利用对称性,4d,rrdr,,.,dx，dy,（x，y）dxdy,,,,,23300LD
227.求曲线积分x，y,1，其中曲线的方程。
xdyL,L
[错解]由于积分曲线关于x轴对称，被积函数是的奇函数，利用对称性，得y
xdy,0.,L
[分析]在定积分、重积分中，常利用积分区域的对称性配合被积函数的奇偶性
法则来简化计算。
由于第二类曲线积分、第二类曲面积分的定义与定积分、重积
分的定义形式不同（参见例2），因此不能直接照搬此性质。
[正确解]利用参数法，
2,22xdy,cos,dsin,,4cos,d,,,.,,,00L
4
22222x，y，z,r8.求曲面积分，其中为曲面的外侧。
zdxdy,,,,
22[错解]zdxdy,2zdxdy,0.,,,,,,中的上半球面
[分析]上面解法的错误在于对第二类曲面积分直接利用重积分的对称性求解，
这是没有根据的。
对第二类曲面积分，首先应将它化为重积分，才能考虑是否可
用对称性简化计算。
[正确解一]利用高斯公式
利用对称性2zdxdy,（0，0，2z）dxdydz,0.,,,,,2222,x，y，z,r
[正确解二]以上积分也可用常规的方法，分片积分。
222222将分为上半球面：
下半球面：
:
z,r,x,y,,:
z,,r,x,y,,11
222于是zdxdy，zdxdyzdxdy,,,,,,,,,,12
222222,[，（r,x,y）dxdy][,（r,x,y）dxdy],0.+,,,,221221x，y,rx，y,r
（x，2y）dx，ydy9.试问是否某个函数的全微分？
若是，求函数u（x,y）.2（x，y）
Q,y,P22x，yy[错解]设,,,,因为,所以对一切P,Q,22223（）（）,y,xx，yx，yx，y（）
A（x,y）ABC，原式是某个函数u（x,y）的全微分。
取为起点，以折线为积x,y00分路径，其中B（x,0）,C（x,y）,于是
（x,y）（x，2y）dx，ydyu（x,y）,,2（x,y）00（x，y）
P,Q[分析]以上解法是在根据推得“一切，原式是某个函数u（x,y）的全x,y,,y,x
微分”的基础上进行的，但是这里忽略了函数P、Qx，y,0当时没有定义，因
P,Q此，只有在x，y,0时，才成立，因此不能任取一点为起点，所选择的,,y,x
路径必须将直线x，y,0中排除在外。
Q,y,P22x，yy[正确解]设,,,,,因为所以在直P,Q,22223（）（）,y,xx，yx，yx，y（）
5
线以外的区域内，原式是某个函数的全微分。
取为起点，x，y,0u（x,y）A（1,0）以折线为积分路径，其中于是ABCB（x,0）,C（x,y）,
（x,y）（x，2y）dx，ydyu（x,y）,2,（1,0）（x，y）
xy1yxxy，,,dxdy,ln，[ln，，]xxy0,,1210，xyx（，）xy
y,lnx，y,.x，y
10.把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其路径为沿上Pdx，Qdy,L
22半圆周（x,1），y,1从点到（2,0）（0,0）.
22[错解]（x,1），y,1由方程得Pdx，Qdy,（Pcos,，Qcos,）ds,,,LL
dy1,x,,dxy
1,x因此圆周的切线向量为方向余弦为{1,},y
1,x
y12cos,,,1,x,cos,,,2x,x,
1,x1,x221，（）1，（）yy
于是
2Pdx，Qdy,[2x,xP，（1,x）Q]ds.,,LL
[分析]在以上解法中，所运用的两类曲线积分之间的关系式Pdx，Qdy,L
是正确的，但没有按“切线向量的方向与有向曲线的,（Pcos,，Qcos,）dsL,L
方向必须保持一致”去求出切线向量，造成结论错误。
22[正确解]曲线xx，y,2x,y,0,的方程为以为参数，则曲线的切线向量LL
dydy1,x1,x22为x，y,2x,{1,},,,{1,}.由得因此切向量为由于沿上半Ldxdxyy圆周从点（2,0）（0,0）到，故切线方向余弦
6
1,x
y12cos,,,1,x,cos,,,,,2x,x,
1,x1,x221，（）1，（）yy
于是
2Pdx，Qdy,[,2x,xP，（1,x）Q]ds.,,LL
2222211计算x，y，z,a其中为球面与平面xds,L,L
x，y，z,0相交的圆周。
[分析一]所求积分为第二类曲线积分，可用常规方法即参数化法进行如下计算。
[解一]先求出曲线的参数方程。
由方程组L
2222,x，y，z,a,,xyz，，,0,,
2a22得.x，y，xy,
（1）2
由旋转坐标轴，有
2,,,,,,x,xcos，ysin,（x,y），442
2,,,,,,y,xsin，ycos,（x，y），442于是
（1）为
222,,3x，y,a.
a,,x,cos,,,设0,,,2,,得所求圆周的参数方程为3,
,y,asin,,,
7
23,（cos,sin）,xa,,,23,
23,y,a（cos,，sin,）,,23,
2za,,
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