湖北省各市中考数学真题汇编压轴题《圆》.docx

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湖北省各市中考数学真题汇编压轴题《圆》

2019年湖北省各市中考数学真题汇编压轴题：

《圆》

1．（2019•孝感）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．

（1）求证：

DG∥CA；

（2）求证：

AD＝ID；

（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．

2．（2019•襄阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．

（1）求证：

DG是⊙O的切线；

（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．

3．（2019•黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）求证：

CE＝CF；

（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．

4．（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．

（1）求证：

＝2R；

（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．

5．（2019•荆州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．

（1）求证：

FC是⊙O的切线；

（2）当点E是的中点时，

①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．

6．（2019•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．

（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

7．（2019•宜昌）已知：

在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．

（1）填空：

点A　　（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是　　；

（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：

AD＝AE+DH；

（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：

EH＝AE+DH；

（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．

8．（2019•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．

9．（2019•随州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．

（1）求证：

BF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．

10．（2019•湖北）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．

（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：

　　；

（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．

11．（2019•宜昌）如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．

（1）求证：

AD是⊙O的切线；

（2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；

（3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长．

12．（2019•咸宁）定义：

有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．

求证：

四边形ABCD是等补四边形；

探究：

（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？

请说明理由．

运用：

（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

13．（2019•鄂州）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

（2）求证：

E为△PAB的内心；

（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

参考答案

1．

（1）证明：

∵点I是△ABC的内心，

∴∠2＝∠7，

∵DG平分∠ADF，

∴∠1＝∠ADF，

∵∠ADF＝∠ABC，

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴DG∥AC；

（2）证明：

∵点I是△ABC的内心，

∴∠5＝∠6，

∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，

即∠4＝∠DAI，

∴DA＝DI；

（3）解：

∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，

∴△DAE∽△DBA，

∴AD：

DB＝DE：

DA，即AD：

9＝4：

AD，

∴AD＝6，

∴DI＝6，

∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．

2．

（1）证明：

连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图，

∵点E是△ABC的内心，

∴AD平分∠BAC，

即∠BAD＝∠CAD，

∴∠BOD＝∠COD，

∴＝，

∴OD⊥BC，BH＝CH，

∵DG∥BC，

∴OD⊥DG，

∴DG是⊙O的切线；

（2）解：

连接BD、OB，如图，

∵点E是△ABC的内心，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵∠DBC＝∠BAD，

∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，

∴DB＝DE＝6，

∵BH＝BC＝3，

在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，

∴∠BDH＝60°，

而OB＝OD，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，

∴∠BOC＝120°，

∴优弧的长＝＝8π．

3．解：

（1）连接OC，如右图所示，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠ABC＝90°，

∵CE＝CB，

∴∠CAE＝∠CAB，

∵∠BCD＝∠CAE，

∴∠CAB＝∠BCD，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OCB+∠BCD＝90°，

∴∠OCD＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，

∴△ABC≌△AFC（ASA），

∴CB＝CF，

又∵CB＝CE，

∴CE＝CF；

（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，

∴△DCB∽△DAC，

∴，

∴，

∴DA＝2，

∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，

设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：

，

解得：

a＝，

∴．

4．解：

（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，

则∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，

∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝，

∴＝2R；

（2）∵＝2R，

同理可得：

＝＝2R，

∴2R＝＝2，

∴BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，

如图2，过C作CE⊥AB于E，

∴BE＝BC•cosB＝cos60°＝，AE＝AC•cos45°＝，

∴AB＝AE+BE＝，

∵AB＝2R•sinC，

∴sinC＝＝．

5．解：

（1）证明：

连接OC，∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵PF⊥AB，

∴∠BPD＝90°，

∴∠OBC+∠BDP＝90°，

∵FC＝FD

∴∠FCD＝∠FDC

∵∠FDC＝∠BDP

∴∠OCB+∠FCD＝90°

∴OC⊥FC

∴FC是⊙O的切线．

（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，

①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，

∵点E是的中点，

∴∠BOE＝∠COE＝60°，

∵OB＝OE＝OC

∴△BOE，△OCE均为等边三角形，

∴OB＝BE＝CE＝OC

∴四边形BOCE是菱形；

②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．

∵＝tan∠ABC＝，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），

由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，

∴AC＝12，BC＝16，

∵点E是的中点，

∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，

∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：

PE＝8，

由勾股定理得OP＝＝＝6，

∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，

∵＝tan∠ABC＝，即DP＝BP＝＝3

∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．

6．解：

（1）FG与⊙O相切，

理由：

如图，连接OF，

∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，

∴CD＝BD，

∴∠DBC＝∠DCB，

∵OF＝OC，

∴∠OFC＝∠OCF，

∴∠OFC＝∠DBC，

∴OF∥DB，

∴∠OFG+∠DGF＝180°，

∵FG⊥AB，

∴∠DGF＝90°，

∴∠OFG＝90°，

∴FG与⊙O相切；

（2）连接DF，

∵CD＝2.5，

∴AB＝2CD＝5，

∴BC＝＝4，

∵CD为⊙O的直径，

∴∠DFC＝90°，

∴FD⊥BC，

∵DB＝DC，

∴BF＝BC＝2，

∵sin∠ABC＝，

即＝，

∴FG＝．

7．解：

（1）连接AO，

∵∠EAF＝90°，O为EF中点，

∴AO＝EF，

∴点A在⊙O上，

当＝时，∠AEF＝45°，

∴tan∠AEF＝tan45°＝1，

故答案为：

在，1；

（2）∵EF⊥FH，

∴∠EFH＝90°，

在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，

∴∠AEF+∠AFE＝90°，

∠AFE+∠DFH＝90°，

∴∠AEF＝∠DFH，

又FE＝FH，

∴△AEF≌△DFH（AAS），

∴AF＝DH，AE＝DF，

∴AD＝AF+DF＝AE+DH；

（3）延长EF交HD的延长线于点G，

∵F分别是边AD上的中点，

∴AF＝DF，

∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，

∴△AEF≌△DGF（ASA），

∴AE＝DG，EF＝FG，

∵EF⊥FH，

∴EH＝GH，

∴GH＝DH+DG＝DH+AE，

∴EH＝AE+DH；

（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．

设AF＝x，AE＝a，

∵FM＝FEEF⊥FH，

∴△EFM为等腰直角三角形，

∴∠FEM＝∠FMN＝45°，

∵FM＝FE，

∠A＝∠MQF＝90°，

∠AEF＝∠MFQ，

∴△AEF≌△QFM（ASA），

∴AE＝FQ＝a，AF＝QM，

∵AE＝AD，

∴AF＝DQ＝QM＝x，

∵DC∥QM，

∴，

∵DC∥AB∥QM，

∴，

∴，

∵FE＝FM，

∴，

∠FEM＝∠FMN＝45°，

∴△FEN～△HMN，

∴，

∴．

8．解：

（1）如图，连接OD，AD，

∵AC是直径，

∴∠ADC＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，

∵∠CDE＝∠BAC．

∴∠CDE＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠CAD＝∠ADO，

∵∠