中考复习锐角三角函数的实际应用两大模型.docx
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中考复习锐角三角函数的实际应用两大模型
专题锐角三角函数的实际应用两大模型
模型一背靠背型（在三角形内部作高）
ODE3S
针I对[训I练
1.随着就母编队的成L我国海军冃空强人.2018年4H12H•屮央军委在附海海域臨敢举行海上阅兵•心阅兵之询我军加强r海上巡逻•如图•我军巡逻观住某海域航行到片处时•该舰在观測点
P的南M45的方向匕且与观测点P的距离川为400海里$巡逻1ft继续沿正北方向練行_段时间后•到达位于观测点卩的北偏东30°方向I••的8处•问此时巡逻收与規测点P的距离PH为幺少海甲.？
（参考数据:
Qp1・4I4.V5«]・732・结果楮确到I海甲.）
2・如图准筑物佃的高为52m•在其正前方广场匕有人进行紈模试匕从建筑物顶端」处测得航模C的俯角a=30。
.同一时刻从逹筑物的底端H处测得航模C的仰角0二J5。
.求此时航模C的E行岛度•（牯确到1m•参考数据:
湮-1・41J5-1.73■広=2.45）
模型二母子型（在三角形外部作高）
通过化三"I形外作爲皿：
・构适出两个血用三介形求解•其中公井边〃C圧解题的关徙.
等量关]系,
在Ri^ARC和Ri^DRC^.nC为公共边,4D4DC=AC
形演变
过点〃作/”：
丄〃C.交〃C的延长线干点E过点I作AF//DC.交E〃的延长线于点尸
针|对〔训练
3•如图•一枚运戏火箭从麵甫达站C处5km的地面。
处绘射严火箭列达点时•任宙达站C处测得点儿〃的仰角分别为34。
・45。
•其中点—〃在同一条肖线h.^4B曲点间的距离•（结果精确到（）・1km■参考数据:
sin34°-0.56,cos34°*0.83.tan340-0.67）
4.如图，住电线杆上的（:
处引拉线CH併•固定电线杆■拉线CE和地面所成的角
乙CEO=60。
在离电线杆6*的B处安置测角仪朋，在A处测得电线杆tC处的
仰角为30。
•巳知测角仪高M为1・5米•求拉线CE的长.（结果林确到0.1米诊
等数据:
Qi・414■疗-1.732）
针［对冷||练
5•曲我国完全自主设计主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次洵上试脸任务.如图•航母由西向东航行•到达A处时，测得小岛C位于它的北倍东
70。
方向.IL与航母相距80海电.再就行一段时何后到达H处•测得小岛C位于它的北僞东37。
方向.如果航母继续航行至小品C的止南方向的I）处，求还需飢行的距离BD的长.（参考数据:
5in70°«0.^4.cos70°«0.34.lan70°«2.75,sin37°«O.60・wQ7。
・0・80jaii37°*0.75）
6.如图•两朋建筑物的水¥曲澜n（：
为60m•从C点测得4点的仰ff|a为53。
■从A点测得
14
〃点的俯角"为37。
■求两座建筑物的窈度.（参号数据:
血37。
■亍.（Z7。
■亏・hiii37。
3434
〜宁3|153。
〜?
・应3。
-三・伽153。
-宁）
4533
第6題图
图形演变丄
将沿〃〃平移.使点〃与点〃重合延长防交"的~"延长线于点（；
KiA/l//CtlhA//EA\矩形〃（；站
ihA.4/?
C\lhA/>A7\矩形〃CM
E八"CM.〃〃+〃心仅;,
Eh\HC=EC
4C+〃〃+〃F"（；
7•如图•游客在点.4处坐缆车出发•沿―〃-〃的路线可至山顶〃处•假设佃和肋都是直线段■且M二〃〃=600
m.a=75。
0=45。
・求〃£的匕（谷考数据：
血75。
~（）・97工贷75。
~0・26.返~1・41）
第7题出
综合提升
1.（2019南京）如图•山頂冇一塔塔高33叭计划在塔的正下方沿r［线ci）开通穿山陡道必•从与％点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27。
、22。
.从与F点相距50m的D处测彳3，4的仰角为45。
•求隧道EF的长度.
（参考数据;tan22°«*0.4O,lan27°*0.51.）
（參考数養:
sin53°*0.8,coa53°*0.6.tan53°*1.3.
!
^1.7）
2.（2019铁紺如图•聪聪想在自己家的窗口4处测址对面建筑物CD的高度，他首先圮出谢【1A到地面的距A（AB长）为16米，又测得从M处石'建筑物底部C的侧角“为30。
.行建筑物顶部〃的仰角”为53。
11AB.CD都与地面垂直•点A、B、C、D在同•平面内.⑴求初与CD之间的距离（结果保旳根号）;
（2）求建筑物CD的高度（辅确到1米）.
（2019十三中三模）校车安全是近儿年社会关注的重大何也•安全隐患上要圧超速和超载.臬中学数学活动小组设计了如下检测公路上廿驶的n乍速度的实验:
先在公路旁边选取一点c.再在笔立的弔追I上确定点〃•使c〃勺/唾直.测得C〃的氏等于21*・在I上点D的同侧取点A、B■慢厶CAD=30。
•乙CBD=60°.
（1）求朋的长；（梢确到0・I米传考数据:
A*1.73,
后1.41）
（2）已知本路段对校车限速为40千秒小时•若测得某辆校车从人到〃用时2秒•这辆校乍是否超連？
说明理由・
4（2019连云港）如图•海上规察哨所〃位于观察哨所A正北方向•距离为25海里.在某时刻.哨所"与哨所〃同时发现一走私船•梵位宜C
位于哨所4北偏东53。
的方向上■位于哺所R南偏东:
I37。
的方向上.!
（1）求观察哨所4与走私船所在的位迓（:
的怜离：
[
（2）若观察哨所.4发现龙私給从C处以16海里/小!
时的速度向正东方向逃朮•并立即派组私艇沿北偏[东76。
的方向前去拦艇求绸私艇的速度为多少时.[恰好在I）处成功拦蔽.（结果保留根号）[
（参考数据：
融37。
=心53。
-y,cos37°=sin53°*\
I
-7"ftan37°*-T"ttan76°*4）
专题锐角三角函数的实际应用两大模型
模型一背靠背型（在三角形内部作高）
通过在三角形内作冊cd•构造出两个rm三角形求解j〔中公共边仞是解題的关陆在Ki^ACD和Ih^HCD中.C〃为公共边a+BDm
针I对【训I练
1.I尬杵航母编从的成工•我国祚牢H益強人.2018年4刀12F1•屮央军委住南洵海域阵敢举行洵【：
阅兵•在阅兵之前我军加强r海上巡逻•如图•我军巡逻观住某海域航行到彳处时■该觑在观测点
P的南偵东45。
的方向I：
.H.与观测点P的距离P4为400海甲；巡逻观继续沿止北方向航行一段时间后•到达位于观测点r的北偏东50°方向1••的H处•间此时巡逻舰与观测点P的距离PB为名
少海峑？
（参考数据1.4141.732,结果柄确到I海甲.）
解：
住1UZ1P4C中■以=400,Z4PC=90°-45<>=45o>.\PC=P4•（・《45。
=300血（海里）.
pf'
（£KIAP//C中.PC=200乙BPC=90°-30°=6O\aPZ?
=z,-=400^566（海車）.
答屮B约为566海里.
2・如图,建筑物MB的高为52m•在其正曲方广场上有人进行航模试匕从建筑物顶端A处测得航
模C的俯角a=30。
.同一时刻从建筑物的底端H处测得航模C的仰角0二45。
.求此时航模C
图
el
第
的E行筒度•（牯确到1m■参考数据:
湮-1・41.75-1・73・厶之2・45）
解:
如解图•过点C作CDLAB于点D.由题建•知乙4CD=a=30%乙DCB="45。
・
设〃/川5在讥呦中+
在Kt△.4（；〃中,AI）-CD•tanZ.4C/J-x•t；in3（尸=y~xni
•.•fil）+AD=AH,.•.x+'了工=52,解得x=26（3—点）.HI）=26（5-#）
«=33HK
答:
此时航榄c的飞行高度约为33z
第2题解图
图題2第
模型二母子型（在三角形外部作高）
形演变
过点〃作/”：
丄〃C.交〃C的琏长线TAA；过点1作悄〃〃C・交E〃的延长线于AF
针I对：
训练
3•如图•一枚运载火箭从距雷达站（:
处5km的地面0处发射•当火箭到达点2时•在雷达站c处测得点A・"的仰角分别为34。
.45。
•其中点O,A,B在同一条宣线上•求A出两点R的距离.（结果斯晚到0・Ikm■参考数据:
sin34°=-0.56,c«34°-0.83ftan340-0.67）解：
山題总得ZAOC=：
9（y\OC=5km.
住RtA4OC中.•・•km34°-黒，・・OI-OC・tanM°^5xO.67o<3.A5km.
（ER30C中■乙«CO=45°,aORH5km,
A4K=5-3.35=1.65^1.7km.
答/上两点间的距离约为1・7km.
4.如图，住电线杆上的C处引拉线併固定电线杆■拉线CE和地面所成的角
ZCED=60%&离电线杆6米的B处安探测角仪個，在A处测得电线杆上C处的仰角为30。
•已知测角仪高肋为1.5米•求拉线CE的长.（结果辅确到0・1米，鑫等数据:
Qi・414j5-1・732）解:
如解图.过点A作M丄CD•垂足为点
由縣盘可知卩4边形朋D"为矩形■厶CAH=沁•・•AB=DH=I•5.BD=AH=6.
（£Rl△/«〃中•tanLCAH=巴、:
.CH=All-Un乙CAII=6tuii30°=6x^=AH3
2屈
・••D//=1.5t.\CD=C//+A>//=2v^+l.5t
（米）•
答:
拉线处的氏约为5.7米.
形演变乂
当点必线段C〃上时
KtA/IKC\Ih△〃/；C.乙C为公共角
当点/：
在CH的适长线上时
i/?
:
|
I）C
过点彳作"（:
的平Xi行线与〃〃的运长线交于点F
过点F作Ff；丄“C交〃（:
的延长线于点（；
I）C
RtA.4//CtKiADECt
乙C为公共角
BtA.4/JC,RiA/；DCtBiA4/>A\Hi△〃血矩形"GC.
4C=FG,4F=CG,
八〃+〃C=F6\RggRC
OBM练
5•由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母f2018年5月成功完成第一次海上试脸任务.如图•航母由西向东航行•到达4处时，测得小岛C位于它的北侯东
70。
方向.|L与航母相距80海电.再航行一段时间后到达B处•测猬小岛C位于它的北偏东37。
方向.如果航母继续航行至小品C的正南方向的“处,求还需航行的距离BD的长.（参考数据：
sin70°~0.94.cos70°*0.34.仙70。
«2.75,sin37°■0.60ti37o*0.80jaii37°*0.75）
解：
由题可知:
LACD=70\ZHCI）=37°fAC=80海甲.・在KtA4CD中沁快LACD=转.
AC
CD
••・0.34■齐•—27.2（海里）.
在RZCI）中Jan乙BCI）二曙.
...0.75=^,.-.50=20.4（海里）.
答:
还需嬰航行的距离加的尺约为20.4海电.
6.如图■两朋建筑物的水¥距离处为60m•从C点测得A点的仰角a为53。
■从4点测得
14
〃点的俯角"为37。
■求两座建筑物的窈度・（参号数据:
血37。
・｝心£7。
・？
Jun37°
tca53o*yttan53°~y）
解：
如解图•过点〃作DE丄4B交于点匚则DE=flC=60m.•••a=53ojan53°-v•在中.tana二等.
3oC
•••曙=令,解得人〃=80m•
〃C
第6題图
乂•・•Z4D£=^=37°Kl^ADErp.lanZWE=
4
A卜:
I）卜;、
第6題解图
・••普二扌•娇彳孚4E=45m.
・•・BEmE：
处=80-45=35m.
•・・BE=CD,・・CD=35m・
答:
建筑物佃的高度约为80rn.it筑物CD的高度约为35in.
形演变3,
RiA/W/C,lhA//EA\矩形〃CT；八
/?
f；=/-Y；,B2CG,AC+ldG.
4C+/；P+/>A=.4G
7•如图•游客在点*处坐缆车出发•沿HD的路线可至山頂0处•假设佃和肋都足直线段•且4«=///）=600
m.a=75。
0=45。
・求DE的长.（参考数据:
mo75°«0.971r（>s75°0.261.41）解:
在Rl△BDF中，由=盟可购•
DF=BD■出昭=600-»i»450=«X）x^=300^*423m,在RiAABC中•山cota=霁可得>
BC=Afi•（t>sa=60（）-cos75°»6（X）x0.26=156rn.
山题盘町知四边形BCEF为矩形.
••・DEnEF=DF+«C*423+156=579m
朴DE的长约为579m.
综合提升
1.（2019南京）如图•山頂有一塔M•塔高33叫计划在
塔的正卜方沿r［线cd开通穿山陡逍处•从与％点
相距80m的C处测得A”的仰角分别为27。
、22。
・
从与A点相距50tn的〃处测得A的仰角为45。
■求
隧道刖的长度.
（参考数据:
tan22°«O.4Otlan27°*O.5l.）
解:
如解图.延长AB交CD于点H•则AH丄CD.在KtA4CWq>■^ACH=27c,
tan27
。
■理
（:
H‘
AH=CH•tan27°.
住中•乙〃C〃=22。
.
lan22°=
Bll
CH'
・•・BH=CH•Iari22°.
•••AB=AH■册仁
•・•（；//•tafi270-67/-laii22°=33.
•••C//*300in.
a4//=C//-tari27°*I53in.
在RtA/UW中•乙〃=45。
.
•・・HD=4H=I53m.
••・EF=CD-CE-Fl）
=CH+HD・CE-FD
=3（X）+153-80-50
=323m.
答:
隧逍EF的长度约为323m.
2.（2019铁转）如图•聪聪想在自己家的窗口I处测肚
对面建筑物CD的高度，他首先fit出窗口A到地面的距离⑷快）为16米，又测得从4处看建筑物底部C的俯角"为30。
•看建筑物顶部〃的仰角“为53。
11AB、CD都与地面垂直,点A、B、C、D在同-平面内.
（1）求AB与CD之间的距离（结果保旳根号）；
（2）求建筑物CO的高度（精确到1米）.
（參考数据汕in53°■0.8.co&S3°・0.6•Un53°*1.3.
^1.7）
第2题解田
解:
（1）如解图•过点A作AE1CD于点E.则四边形片肌出是矩形.
••・AE=B7C〃AE.
•••乙ACB=Z.G4E=3OQ,
在RthABC中■個・16,厶片CB=30°,
AB
lan乙ACR
16
tan50°
=16疗米.
峯W与C〃之何的距离为16疗米；
（2）在IUA.W£中-1£=16疗米•乙DAE=53。
.
.・•DK-AE•tanZ_/A4£=16A-taii53o«35.4米.
•••四边形ABCE是矩形■则CE=AB=16.
/.CD=DE+CE=35.4-^16=51.4^51来.
答的高度约为51省.
（2019十三中三模）校乍安全是近儿年社会关注的童
大问也•安全隐患上要圧超速和超载.臬屮学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽乍速度的实脸:
先在公路旁边选取一点C,再任乜立的丰•谊/t确定点〃•使c〃勺/唾代.测得C〃的长等于21米.在I上点D的同侧取点仁X便乙CAD=30%rCBD
⑴求刖的长什确到0・I米•参占数据：
^*1.73t
解：
（1）由题意得.
CD
Uh丽
=2!
=2175*36.33（米）.
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时•若测得某辆校车从*到〃用时2秒•这辆校乍是否超連？
说明理由.
任山△仞C中出〃二亠£=2=7万切211（米）.
则AB二AD・»D=36.33-I2.II=24.22*24.2（米）.
答:
仙的长约为24.2米；
（2）超速.理由如下:
•・•汽车从M到〃用时2秒.
・•.速度为24.2+2=12.1（^/秒）.
•••12.IX36OO=43560（米/时）■
•••该车速度为43.56千米/小时，
・・・43.56>40.
・••此校车在M路段副速・
4（2019连云港）如图•海
I:
规察哨所〃位于观察哨所A正北方向•距离为25海里.在某时刻.哨所人与哨所〃同时发
现-走私®h其位宜c第4題图位于哨所A北偏东53。
的方向上■位于哨所〃南匍东:
I37。
的方向匕!
（1）求观察哨所4与走私船所在的位进C•的孙离：
；
（2）若观察咱所.4发现龙私給从C处以16海里/小!
时的速度向正东方向逃•并立即派细私艇沿北偏[东76。
的方向前去拦就.求级私艇的速庞为多少时.j恰好在。
处成功拦戯.（结果保留根号）[
（参考数据：
品37。
=co63°-y,coa37°=sin53°-\
I■斗,伽76。
*4）;
54
I解：
（1）在厶仙C中■厶亿〃=180。
-乙3-乙BAC二!
180°-37°-53°=90°.
在KtABC中川口〃二鑰.
••・AC・AB•皿37。
=25x卜15（海里）.
答：
观察町所人号走私船所在的位置C的踊离约为
15海里；
（2）如解虬过点e作ch丄.w.垂足为点仏曲题盘易
知・O、C、M在一条直线匕
第4题解图
（f.KiA/tCWrp/JV=4C•sinZClW»15x斗=12
J
（海里）.
4W=4C-cwZG4W*）5x；=9（海》ft）・
在RlZ\4O制中JanZD/l/lf=
/I.W
・•・VD=/1I/-tan76°*36（海甲.）・
・•・A〃=J亦+If/F«十36’=9、,17（海甲）.
••・CDuMD-AfCZ（海里）.
设组私艇的速度为r海妙小时，则VJ,解
得心6y/rr,
经检^.r=6帀是原方程的解.
存：
当缈私艇以毎小时约6/I7海里的速度行驶时.恰好在〃处成功拦截走私斛.
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