用《几何画板》解决书本问题rdquo结题报告.docx

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用《几何画板》解决书本问题rdquo结题报告

用《几何画板》解决书本问题”结题报告

数学实验

指导师方益初侯传岳

（本文获温州市第六届普通高中学生研究性学习活动三等奖）

[内容摘要]

你知道斐波那契数列图像的规律吗？

你知道在木星上观察天体运动的轨迹是什么吗？

你知道怎样又快又有效地解决立体几何中线面垂直、线面平行等问题吗？

那么就让我们这课题组带领你用神奇的数学工具——《几何画板》，解除以上问题及其他书本上的问题吧！

而这正也是我们研究此课题的目的，即在《几何画板》中亲身体验、发现规律、解决数学与物力问题。

最后我们将向大家展示用几何画板工具制作的美图。

那么，现在就请你跟随我们的研究过程一起来了解几何画板的魅力。

[关键词]

几何画板动态变化轨迹自主研究数学实验

一、研究背景

从数学面临的问题来分析，我们的数学学习还常常采用“抽象的逻辑推理”。

我们学习数学是脱离于生活的一种纯符号的逻辑演绎，使大部分同学怕学，甚至厌学。

伟大艺术家罗丹曾说过：

“生活中不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛。

”艺术如此，数学亦然。

在实际数学的学习过程中，我们不难发现有很多同学怕学数学，认为数学太抽象，不易理解。

其实，生活中随处可见数学的影子，数学存在于我们生活的方方面面，是我们有时把数学与生活的天然联系被活活地割裂开来了，鲜活的数学异化成了纯粹的符号系统，成了游离于生活之外的另一抽象的世界。

二、课题的理论涵义

“体验”就是指在实际生活情境中去感受，去验证，去应用，去实践，从而发现知识，理解知识，掌握知识，解决实际问题。

即将各种感官的协同作用参与活动的过程。

创设问题情景体验，通过自身的实践活动来认识知识，发现事物发展的规律。

即在亲身体验中学习数学，发现规律，运用学到的知识自己去解决生活中的实际问题。

三、实验的条件分析

自2007年以来，学校以素质教育为目标，对同学学习的兴趣和能力有了一定的研究。

同时，《几何画板》软件的成熟，因而为本课题的研究作了有力的铺垫。

四、实验的目标与方略

（一）目标

本课题将围绕体验学习、研究数学的学习模式，进行以下几方面的研究。

1、对数学内容进行研究，通过亲身的体验去发展智力，提高数学能力。

对抽象的，难理解的数学问题创设体验性情景，达到：

*创设体验情景，理解数学现象。

*引导参与体验，发现数学规律。

*体验运用数学，解决实际问题。

2、构建体验性学习模式：

提供体验教学情景——开展体验活动——发现验证——实践运用——评价体验。

3、探索促进体验性学习数学的策略。

A、重视体验情景的创设。

B、重视操作，实践活动。

C、重视培养数学语言表达能力。

D、重视联系生活实际。

（二）研究方法

1、主要采用自然实验法，以几何画板为实验平台，将数学问题以图形的方式展现出来，通过操作直观的来解决问题。

2、主要通过讨论、分析实验结果，结合实践撰写经验总结。

（三）实验步骤

1、准备阶段（2007.10）

a.建立课题组，学习有关理论和研究方法；

b.实验研究方案的构思与设计；

c.确立课题组成员。

2、实际研究阶段（2007.10—2008.4）

a.学习《几何画板》的基本操作；

b.实验探究；

c.分析探究结果，总结潜在规律。

3、撰写总结报告（2008.4）

五、小组成员分工及任务

1、任务组成员

第一任务组：

匡博渊、姜博

第二任务组：

姜少波、叶罗凯

第三任务组：

陈瑶瑶、蒋特丽

第四任务组：

谢光泽、周旋

第五任务组：

叶坚强、张砚涵

2、任务分配

第一任务组：

负责数列及函数问题的图形方法的探究

第二任务组：

负责书本上的数学问题的探究

第三任务组：

负责老师上课知识的总结

第四任务组：

负责轨迹的探究

第五任务组：

负责几何画板的美图搜集

六、研究成果：

（1）数列及函数问题的图形方法的探究。

在几何画板实践课上，问题由同学们发现，规律由同学们探究，方法由同学们选择，结果由同学们评价。

在体验数学实践操作的过程中，同学们大多有探索新知的欲望，积极提出自己的新见解、新发现、新思路。

例一：

在学习等差数列，首先老师引导我们猜一猜，等差数列的增减可能和什么有关系？

我们在讨论后回答：

可能和公差和首项有关系。

这样的讨论探究的体验中提出了可能的问题。

老师便再进一步引导同学们讨论如何验证，我们通过

《几何画板》经过实验验证，得出正确答案：

等差数列的增减性只与公差有关，而且等差数列各项在坐标系中的点构成一个一次函数（如图1-1所示）。

在实验过程中同学们之间讨论：

等差数列前n项和的变化趋势是什么呢？

结论：

差数列前n项和的变化趋势是一个二次函数，且当公差d>0时开口向上，当公差d<0时开口向下。

运用同样的方法，我们还探究了等比数列的性质，在用迭代法画出图象（如图1-2）后，可知：

等比数列第n项的变化

趋势是一个指数函数；当公比q>1时，是一个增长速度逐渐变快的指数函数；当公比0

等比数列前n项和的变化趋势是一个指数函数；当公比q>1时，是一个增长速度逐渐变快的指数函数；当公比0

图1-3

1.2对斐波那契数列的探究。

在书中曾有一课外阅读中提及斐波那契孰劣的一些性质。

所以，我们也对这个神奇的数列加以研究。

首先我们用几何画板的迭代的方法画出斐波那契数列趋势图象（如图1.2.1）。

我们可形象地看出斐波那契数列的增长是一个越来越快的趋势。

一次，偶然间

我们发现当以斐波那契数列的前一项为纵坐标，以后一项为横坐标时，画出的两点之间的折线，逐渐趋于一条直线（如图1.2.2）。

后来我们又在Excel中进行了验证，我们惊讶的发现：

这个比值竟然无限地接近于黄金分割率！

（如表所示）

我们从中也感受到了数学的魅力。

（2）书本上的数学问题的探究。

2.1-2.6见于附件

2.7作业本立体几何题目的几何画板探究

2.7.1：

正方体ABCD-A1B1C1D1中，有AC1⊥平面B1CD1（如图2.7.1.1）。

我们可以运用几何画板中的“过直线外一点做平面的垂线”工具来验证。

显然，我们可看到：

做出的线AP（蓝线）与线段AC1是重合的。

由此，以上命题可被验证。

2.7.2：

正方体ABCD-A1B1C1D1中，有平面AB1C⊥平面APC（如图2.7.2.1）。

我们可以度量平面AB1C与平面APC的夹角来证明（如图2.7.2.2）。

（4）轨迹的探究

4.1大家知道太阳系是以太阳为中心的天体系统，各行星都以近圆的轨道绕日运动。

那么，如果人站在地球上，各个天体又是怎样运动的呢？

在土星上呢？

在月球上呢？

我们通过几何画板中的向量工具就可画出其图像，达到形象直观的效果（如图4.1.1）。

由此我们也可看出：

几何画板不但在数学方面有着广泛的应用，而且在物理天体运动中的应用也较为突出。

4.2到两定点距离之比成定值的点，是成何种形式分布时，通过一般的方法：

我们会从计算推理的层次进行分析，写出表达式，从而进行判断。

但这种方法计算量很大，且技巧性较大。

我们运用《几何画板》中的颜色参数功能，以比值为颜色参数，使P点运动后便可得出比值相同（颜色相同）的区域成类圆状，如图4.2.1所示。

图4.2.1

进一步探究可设颜色参数在1.6-1.7范围内有意义的情形，在此运动则图4.2.2所示的图形，显然为圆形。

图4.2.2

通过此例，我们可体会到：

《几何画板》可以直观的表述数学问题，使抽象的问题简单化，使我们在实验的过程探索解决问题的手段和方法，充分展现了个体的主导地位。

4.3对于任意指数函h（x）=ax与其反函数的交点必定在y＝x上吗？

事实上，我们在研究这个问题时，运用几何画板工具，对其指数函数的底数a进行分类讨论。

那么有0

第一步，首先绘制函数h（x）=ax第二步，绘制其反函数g（x）=㏒ax第三步绘制出其对称轴y=x。

当a≥1时所存在的交点均在y=x上，如图4.3.1所示。

当0

通过实验，不难发现，对于任意指数函数h（x）=ax与其反函数的交点未必在其对称轴y=x上。

图4.3.2

通过实验，不难发现，对于任意指数函数h（x）=ax与其反函数的交点未必在其对称轴Y=X上。

由此，经过思考。

我提出如下猜想，对于任意函数与反函数交点，都未必在Y=X上，但我们可以肯定的是它们必与Y=X对称。

4.4已知平面上的点P，

，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是多少？

这个问题如果在实际中很难用代数方法计算。

但通过几何画板的动画处理，我们可清晰地看到它具体的范围（如图4.4.1）。

它是一个两个同心圆一个半径为2，一个半径为6，的中间的圆环，由此我们便可顺利的求解。

图2.4-2

七、课题总结：

通过借助几何画板，我们开展了一系列的数学试验活动。

原本非常抽象的数学概念和问题，在几何画板上变得非常形象生动，使我们更加深入地理解了数学的内涵。

通过数学实验活动，大大激发了组员学习数学的浓厚兴趣，还使同学们在体验中牢固地掌握了知识，培养了同学们分析问题、解决问题的能力。

在数学的体验性学习中，锻炼了同学们从提出抽象数学问题到探索出解决问题的有效方法，这样同学们同样会养成分析解决问题的能力。

（1）培养了非智力因素。

随着教学内容的不断生活化，实践活动的不断增多和探究手段的充分利用，为我们提供了具有开放性和选择性的发展空间，有利于促进同学们的情感、意志、性格等非智力因素的健康发展。

体验性数学教学活动，激发了同学们的学习兴趣，培养了同学们良好、积极向上、健康的情感体验，养成了良好的学习习惯，培养了同学们坚韧、不屈不饶的学习意志。

（2）培养创新意识和探究能力。

在几何画板实践课上，问题由同学们发现，规律由同学们探究，方法由同学们选择，结果由同学们评价。

在体验数学实践操作的过程中，同学们大多有探索新知的欲望，积极提出自己的新见解、新发现、新思路。

（3）突出了学习者主体地位，体现学习个性化。

我们通过《几何画板》，直观的表述数学问题，使抽象的问题简单化，使我们在实验的过程探索解决问题的手段和方法，充分展现了个体的主导地位。