大学物理习题答案第六章.docx

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大学物理习题答案第六章

[习题解答]

6-2一个运动质点的位移与时间的关系为

m,

其中x的单位是m，t的单位是s。

试求：

（1）周期、角频率、频率、振幅和初相位；

（2）t=2s时质点的位移、速度和加速度。

解

（1）将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式

相比较，可以得到

（2）t=2s时质点的位移

t=2s时质点的速度

t=2s时质点的加速度

.

6-3一个质量为2.5kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。

若弹簧受

10N的拉力，其伸长量为

5.0cm，求物体的振动周期。

解根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数

于是，振动系统的角频率为

所以，物体的振动周期为

.

6-4求图6-5所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1

和k2。

力为

解以平衡位置O为坐标原点，建立如图

6-5所示的坐标系。

若物体向右移动了

x，则它所受的

根据牛顿第二定律，应有

改写为

图6-5

所以

6-5求图6-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2。

图6-6

解以平衡位置O为坐标原点，建立如图6-6所示的坐标系。

当物体由原点O向右移动x时，弹簧1伸长了x1，

弹簧2伸长了x2，并有

.

物体所受的力为

式中k是两个弹簧串联后的劲度系数。

由上式可得

于是，物体所受的力可另写为

由上式可得

所以

装置的振动角频率为

装置的振动频率为

6-6仿照式（6-15）的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

解由教材中的例题6-3，单摆的角位移与时间t的关系可以写为

=0cos（t+）,

单摆系统的机械能包括两部分,一部分是小物体运动的动能

另一部分是系统的势能，即单摆与地球所组成的系统的重力势能

单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即

所以上式可以化为

于是就得到

由此可以求得单摆系统中物体的速度为

.

这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

6-7与轻弹簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动，振幅为A，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。

若在t=0时，小球的运动状态分别为

（1）x=A；

（2）过平衡位置，向x轴正方向运动；

（3）过x=处，向x轴负方向运动；

x轴正方向运动。

试确定上述各状态的初相位。

解

（1）将t=0和x=A代入

得

由上两式可以解得

由上两式可以解得

由上两式可以解得

6-8长度为l的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l+s，并仍在弹性限度之内。

若将

重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。

（1）

证明重物的运动是简谐振动；

（2）求此简谐振动的振幅、角频率和频率；

（3）若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系

解

（1）以悬挂了重物后的平衡位置O为坐标原点，建立如图

因为当重物处于坐标原点O时重力与弹力相平衡，即

图6-7

.

（1）

当重物向下移动x时，弹簧的形变量为（s+x），物体的运动方程可以写为

将式

（1）代入上式，得

.

（2）

重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。

（2）令

方程式

（2）的解为

振幅可以根据初始条件求得：

当t=0时，x0=s，v0=0，于是

角频率和频率可以根据式（3）求得：

（3）位移与时间的关系：

由,以及当t=0时，x0=s，v0=0，根据式（4），可以

得到

.

由以上两式可解得

.

故有

6-9一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率作简谐振动。

若物体与木板之间

的静摩擦系数为0，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。

解设物体的质量为m，以平衡位置O为坐标原点建立如图6-8所示的坐标系

由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟随木板一起在水

平方向上作频率为的简谐振动。

振动系统的加速度为

图6-8

可见，加速度a的大小正比与振幅A，在最大位移处加速度为最大值

.

最大加速度amax对应于最大振幅Amax，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重物与木板

之间的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。

所以可以列出下面的方程式

由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为

图6-9下面的运动方程

由简谐振动

可以求得加速度

.

当振动达到最高点时，木板的加速度的大小也达到最大值，为

负号表示加速度的方向向下。

如果这时物体仍不脱离木板，物体就能够跟随木板一起上下振动。

将式

（2）代入式

（1），得

.

物体不脱离木板的条件是

取其最小值，并代入式（3），得

于是可以求得物体和木板一起振动的最大振幅，为

6-11一个系统作简谐振动，周期为T，初相位为零。

问在哪些时刻物体的动能与势能相等？

解初相位为零的简谐振动可以表示为

振动系统的动能和势能可分别表示为

因为

所以势能可以表示为

当时，应有

即

由上式解得

将代入上式，得

6-12质量为10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为1.0s，当t=0时，位移为+24cm，

求：

（1）时物体的位置以及所受力的大小和方向；

（2）由起始位置运动到x=12cm处所需要的最少时间；

（3）在x=12cm处物体的速度、动能、势能和总能量。

解首先根据已知条件得出位移与时间关系的具体形式。

一般形式为

.

将,,,各量代入上式，同时，根据

，求得,，于是得到简谐振动的具体形式为

方向沿x轴的反方向。

（2）由起始位置运动到x=12cm处所需要的最少时间

题目要求最少时间，上式中应取正号。

所以

（3）在x=12cm处

.

物体的速度为

物体的动能为

物体的势能为

4.0ms2，求：

所以物体的总能量

6-13质量为0.10kg的物体以2.0102m的振幅作简谐振动，其最大加速度为

（1）振动周期；

（2）通过平衡位置的动能；

（3）总能量。

解

（1）最大加速度与角频率之间有如下关系

所以

由此可求得振动周期，为

（2）到达平衡位置时速率为最大，可以表示为

故通过平衡位置时的动能为

（3）

和

求合振动的振幅和初相位。

总能量为

6-14一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：

（式中x的单位是m，t的单位是s），

解已知A1=0.05m、=/3、A2=0.06m和2=2/3，故合振动的振幅为

合振动的初相位为

但是不能取/3，这是因为x1和x2是两个相位相反的振动，如果它们的振幅相等，则合振动是

静止状态，如果它们的振幅不等，则合振动与振幅较大的那个振动同相位。

在我们的问题中，，所以合振动与x2同相位。

于是，在上面的结果中，合振动得初相位只能取

6-15有两个在同一直线上的简谐振动：

m和m，试问：

（1）它们合振动的振幅和初相位各为多大？

（2）若另有一简谐振动m，分别与上两个振动叠加，为何值时，x1+x3的

振幅为最大？

为何值时，x2+x3的振幅为最小？

解

（1）合振动的振幅为

合振动的初相位

（2）当时，合振动的振幅为最大，所以

这时合振动的振幅为

.

当时，合振动的振幅为最小，所以这时合振动的振幅为

.

6-16在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04m和0.03m，当它们的合振动

振幅为0.06m时，两个分振动的相位差为多大？

解合振动的振幅平方可以表示为

所以

6-17一个质量为5.00kg的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动。

在无阻尼的情况

解无阻尼时

有阻尼时

.

根据关系式

解出，得

将代入下式就可求得阻力系数

.

6-21某一声波在空气中的波长为0.30m，波速为340ms1。

当它进入第二种介质后，波长变为0.81m。

求它在第二种介质中的波速。

解由于波速u、波长和波的频率之间存在下面的关系

当声波从一种介质进入另一种介质时，频率不会改变，所以

于是可以求得声波在第二种介质中的波速，为

6-22在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长是否可能相等？

为什么？

如果

这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长是否可能相等？

为什么？

解根据书中160页波在介质中的传播速率的表达式（6-50）至（6-52），可以看到，波的传播速率是由介质自身的特性所决定。

所以，两列不同频率的简谐波在同一种介质中，是以相同的速率传播的

故有

.

可见，频率不同的两列波，其波长不可能相同。

当这两列不同频率的波在不同的介质中传播时，上面的关系式不成立。

只要两种介质中的波速之

比等于它们的频率之比，两列波的波长才会相等。

6-23已知平面简谐波的角频率为=15.2102rads1，振幅为A=1.25102m，波长为=1.10

m，求波速u，并写出此波的波函数。

解波的频率为

.

波速为

所以波函数可以写为

6-24一平面简谐波沿x轴的负方向行进，其振幅为1.00cm，频率为550Hz，波速为330ms1，求波长，并写出此波的波函数。

解波长为

波函数为

6-25在平面简谐波传播的波线上有相距3.5cm的A、B两点，B点的相位比A点落后45。

已

知波速为15cms1，试求波的频率和波长

解设A和B两点的坐标分别为x1和x2，这样两点的相位差可以表示为

由上式可以求得波长，为

波的频率为

6-27波源作简谐振动，位移与时间的关系为y=（4.00103）cos240tm，它所激发的波以30.0ms1的速率沿一直线传播。

求波的周期和波长，并写出波函数。

解设波函数为

.

已知,,,根据这些数据可以分别求得波的周期和波

长。

波的频率为

波的周期和波长分别为

于是，波函数可以表示为

6-29沿绳子行进的横波波函数为，式中长度的单位是cm，时间的单

位是s。

试求：

（1）波的振幅、频率、传播速率和波长；

（2）绳上某质点的最大横向振动速率。

解波函数可写为

其中

.

（1）由已知条件可以得到

.

（2）绳上质点的横向速率为

所以

6-30证明公式。

解根据

和,

所以可以将波速的表达式作如下的演化

故有

波的波速分别为

解将平面简谐波波函数

分别对x和t求二阶偏导数：

（1）

.

（2）

将以上两式同时代入纵波波动方程[即教材中第167页式（6-62）]，得

将式

（1）和式

（2）同时代入横波波动方程[即教材中第169页式（6-64）]，得

6-32在某温度下测得水中的声速为1.46103ms1，求水的体变模量。

解已知水中的声速为u=1.46103ms1，水的密度为，将这些数据代

入下式

就可以求得水的体变模量，得

.

6-33频率为300Hz、波速为330ms1的平面简谐声波在直径为16.0cm的管道中传播，能流密度为10.0103Js1m2。

求：

（1）平均能量密度；

（2）最大能量密度；

（3）两相邻同相位波面之间的总能量。

解

（1）平均能量密度：

根据

将已知量和代入上式，就可以求得平均能量密度，

（2）最大能量密度wmax：

（3）两相邻同相位波面之间的总能量W：

将已知量

代入下式得

6-34P和Q是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波源，其频率为、波长为，P和Q相距3/2。

R为P、Q连线延长线上的任意一点，试求：

（1）自P发出的波在R点引起的振动与自Q发出的波在R点引起的振动的相位差；

图6-10

（2）R点的合振动的振幅。

（1）建立如图6-10所示的坐标系，P、Q和R的坐标分别为x1、x2和x，P和Q的振动分别为

和.

P点和Q点在R点引起的振动分别为

两者在R点的相位差为

两者在R点的相位差也可以写为

可见，P点和Q点在R点引起的振动相位是相反的，相位差为

（2）R点的合振动的振幅为

可见，R点是静止不动的。

实际上，由于在的上述表达式中不含x，所以在x轴上、Q点右侧

的各点都是静止不动的。

6-35弦线上的驻波相邻波节的距离为65cm，弦的振动频率为2.3102Hz，求波的传播速率u和波长。

解因为相邻波节的距离为半波长，所以

波速为

6-36在某一参考系中，波源和观察者都是静止的，但传播波的介质相对于参考系是运动的。

假

设发生了多普勒效应，问接收到的波长和频率如何变化？

解在这种情况下，接收到的频率为

同时，因为，所以，即没有多普勒效应。

6-37火车汽笛的频率为，当火车以速率V通过车站上的静止观察者身边时，观察者所接收到的笛声频率的变化为多大？

已知声速为u。

解火车远去时，观察者所接收到的笛声频率为

火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为

.

观察者所接收到的笛声频率的变化为