中国矿业大学运筹学64学时复习题及答案.docx
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中国矿业大学运筹学64学时复习题及答案
部分习题
一、(该题已经讲过了)某公司制造三种产品A、B、C,需要两种资源(劳动力和原材料),现要确定总利润最大的生产计划,列出下述线性规划
求:
(1)线性规划问题的最优解;
首先将问题标准化:
cj
3
1
5
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
0
x4
x5
45
30
6
3
3
4
5
【5】
1
0
0
1
9
6
3
1
5
0
0
0
5
x4
x3
15
6
3
3/5
-1
4/5
0
1
1
0
-1
1/5
0
-3
0
0
-1
最优解为X*=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(0,0,6,15,0)T,最优目标值z*=30
(2)求对偶问题的数学模型及其最优解;
y1*=0,y2*=1
(3)最优解不变的情况下,求产品A的利润允许变化范围;
最优解不变的情况下,
(4)假定能以10元的价格购进15单位的材料,这样做是否有利,为什么?
有利
单位材料的影子价格是1元,10元钱购进15单位的材料的单位价格为2/3元,低于影子价格。
同时,在保持最优基不变的情况下
购进15吨的原材料,最优基不变。
该材料的影子价格仍为1元。
(5)当可利用的资源增加到60单位时,求最优解。
cj
3
1
5
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
5
x4
x3
-15
12
3
3/5
-1
4/5
0
1
1
0
【-1】
1/5
0
-3
0
0
-1
0
5
x5
x3
15
9
-3
6/5
1
3/5
0
1
-1
1/5
1
0
-3
-2
0
-1
0
最优解为X*=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(0,0,9,0,15)T,最优目标值z*=45
(6)当产品B的原材料消耗减少为2个单位时,是否影响当前的最优解,为什么?
x2在最有表是非基变量,该产品的原材料消耗只影响x2的检验数。
(7)增加约束条件2x1+x2+3x3≤20,对原最优解有何影响,对对偶解有何影响?
增加的约束条件,相当于增加了一个约束方程
cj
2
4
1
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
5
0
x4
x3
x6
15
6
20
3
3/5
2
-1
4/5
1
0
1
3
1
0
0
-1
1/5
0
0
0
1
0
-3
0
0
-1
0
0
5
0
x4
x3
x6
15
6
2
3
3/5
4/5
-1
4/5
-7/5
0
1
0
1
0
0
-1
1/5
-3/5
0
0
1
0
-3
0
0
-1
0
对原问题的最优解无影响,对对偶问题的最优解也无影响。
二、考虑下列线性规划
MaxZ=2X1+3X2
2X1+2X2+X3=12
X1+2X2+X4=8
4X1+X5=16
4X2+X6=12
Xj≥0(j=1,2,…6)
其最优单纯形表如下:
基变量
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X3
0
0
0
1
-1
-1/4
0
X1
4
1
0
0
0
1/4
0
X6
4
0
0
0
-2
1/2
1
X2
2
0
1
0
1/2
-1/8
0
σj
0
0
0
-3/2
-1/8
0
1)当C2=5时,求新的最优解
2)当b3=4时,求新的最优解
3)当增加一个约束条件2X1+X2≤12,问最优解是否发生变化,如果发生变化求新解?
解当C2=5时
σ4=-5/2
σ5=1/8>0所以最优解发生变化
基变量
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0
X3
0
0
0
1
-1
-1/4
0
2
X1
4
1
0
0
0
1/4
0
0
X6
4
0
0
0
-2
1/2
1
5
X2
2
0
1
0
1/2
-1/8
0
σj
0
0
0
-5/2
1/8
0
0
X3
2
0
0
1
-2
0
1/2
2
X1
2
1
0
0
1
0
-1/2
0
X5
8
0
0
0
-4
1
2
5
X2
3
0
1
0
0
0
1/4
σj
0
0
0
-2
0
-1/4
最优解为X1=2,X2=3,Z=19
2)当b3=4时
基变量
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0
X3
3
0
0
1
-1
-1/4
0
2
X1
1
1
0
0
0
1/4
0
0
X6
-3
0
0
0
-2
1/2
1
3
X2
5/2
0
1
0
1/2
-1/8
0
σj
0
0
0
-3/2
-1/8
0
0
X3
9/2
0
0
1
0
-1/2
1
2
X1
1
1
0
0
0
1/4
0
0
X4
3/2
0
0
0
1
-1/4
-1/2
3
X2
7/4
0
1
0
0
0
1/4
σj
0
0
0
0
-1/2
-3/4
此时最优解为X1=1,X2=7/4,Z=29/4
3)增加一个约束条件
基变量
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X3
0
0
0
1
-1
-1/4
0
0
X1
4
1
0
0
0
1/4
0
0
X6
4
0
0
0
-2
1/2
1
0
X2
2
0
1
0
1/2
-1/8
0
0
X7
12
2
1
0
0
0
0
1
σj
0
0
0
-3/2
-1/8
0
0
X3
0
0
0
1
-1
-1/4
0
0
X1
4
1
0
0
0
1/4
0
0
X6
4
0
0
0
-2
1/2
1
0
X2
2
0
1
0
1/2
-1/8
0
0
X7
2
0
0
0
-1/2
-3/8
0
1
σj
0
0
0
-3/2
-1/8
0
0
由于X7=2大于0,所以最优解不变
三、用对偶单纯形法求下面问题
解:
Cj
4
6
0
0
min{(zj-cj)/ai*j}
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
ai*j<0
0
x3
80
1
(2)
1
0
{4,3*}
0
x4
75
3
1
0
1
OBJ=
0
zj
0
0
0
0
zj-cj
4
6
0
0
Cj
4
6
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
6
x2
40
1/2
1
1/2
0
0
x4
35
(5/2)
0
1/2
1
{2/5*,6}
OBJ=
240
zj
3
6
3
0
zj-cj
1
0
3
0
Cj
4
6
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
6
x2
33
0
1
3/5
1/5
4
x1
14
1
0
1/5
2/5
OBJ=
254
zj
4
6
14/5
2/5
zj-cj
0
0
14/5
2/5
答:
最优解为x1=14,x2=33,目标函数值为254。
四、A、B两个煤矿负责供应甲、乙、丙三个城市煤炭。
已知A、B两矿年产量、三个城市的需求量以及从两煤矿至各城市煤炭运价如下表。
由于供不应求,经协商,甲城市必要时可少供应0-30万吨,乙城市需求须全部满足,丙城市需求不少于270万吨。
试求:
将甲、乙两矿煤炭全部分配出去,满足上述条件又使总运费最低的调运方案。
产销
甲
乙
丙
产量
A
B
15
21
18
25
22
16
400
450
销量(T)
320
250
350
解:
(1)依题意得产销平衡表如下:
产销
甲’
甲’’
乙
丙’
丙’’
产量
A
B
C
15
21
M
15
21
0
18
25
M
22
16
M
22
16
0
400
450
70
销量(T)
290
30
250
270
80
(2)做初始的调运方案(伏格尔法)
产销
甲’
甲’’
乙
丙’
丙’’
产量
A
150
15
15
250
18
22
22
400
B
21
21
25
16
16
450
140
30
270
10
C
M
0
M
M
0
70
70
销量(T)
290
30
250
270
80
(3)用位势法进行检验
产销
甲’
甲’’
乙
丙’
丙’’
U
A
0
15
0
15
0
18
12
22
12
22
-6
B
21
21
25
16
16
0
0
0
1
0
0
C
M
0
M
M
0
-16
M-5
-5
M-8
0
V
21
21
24
16
16
(4)做闭回路调整
调整后为:
产销
甲’
甲’’
乙
丙’
丙’’
产量
A
150
15
15
250
18
22
22
400
B
21
21
25
16
16
450
140
270
40
C
M
0
M
M
0
70
30
40
销量(T)
290
30
250
270
80
(5)进行进一步检验
产销
甲’
甲’’
乙
丙’
丙’’
U
A
0
15
0
15
0
18
12
22
12
22
-6
B
21
21
25
16
16
0
0
5
1
0
0
C
M
0
M
M
0
-16
M-5
0
M-8
M
0
V
21
16
24
16
16
(6)调整后的方案为最优方案
最低费用=150×15+250×18+140×21+270×16+40×16+30×0+40×0=14650
五、分配甲、乙、丙、丁四人去完成5项任务。
每人完成各项任务时间如下表所示。
由于任务数多于人数,故规定其中有一人可兼完成两项任务,其余三人每人完成一项,试确定总花费时间最少的指派方案。
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解:
假设增加一个人戊完成各项工作的时间取A、B、C、D、E最小值。
得效率矩阵为:
各行减最小值,各列减最小值:
得
变换得
进一步
最有指派方案
甲——B,乙——C,D,丙——E,丁——A
最低费用=29+26+20+32+24=131
六、某厂拟建两种不同类型的冶炼炉。
甲种炉每台投资为2个单位,乙种炉每台投资为1个单位,总投资不能超过10个单位;又该厂被许可用电量为2个单位,乙种炉被许可用电量为2个单位,但甲种炉利用余热发电,不仅可以满足本身需要,而且可供出电量1个单位。
已知甲种炉每台收益为6个单位,乙种炉每台收益为4个单位。
试问:
应建甲、乙两种炉各多少台,使之收益最大?
该问题也可如下表表示。
(要求用割平面法求解该整数规划问题)
甲种炉(x1)
乙种炉(x2)
限量
每台投资/单位
2
1
10
用电量/单位
-1
2
2
收益/单位
6
4
解:
设x1,x2为甲乙种炉应建台数,则
用单纯形法求最优解,见下表。
基变量
b
X1
X2
X3
X4
X3
10
2
1
1
0
5
X4
2
-1
2
0
1
--
-z
0
6
4
0
0
X1
5
1
1/2
1/2
0
10
X4
7
0
5/2
1/2
1
14/5
-z
-30
0
1
-3
0
X1
18/5
1
0
2/5
-1/5
X2
14/5
0
1
1/5
2/5
-z
-32.8
0
0
-16/5
-2/5
最优解为
确定割平面方程:
从而,构造割平面,并且标准化,加入最优表中,用对偶单纯形法求最优解,见下表。
基变量
b
X1
X2
X3
X4
X5
X1
18/5
1
0
2/5
-1/5
0
X2
14/5
0
1
1/5
2/5
0
X5
-4/5
0
0
-1/5
-2/5
1
-z
-32.8
0
0
-16/5
-2/5
0
基变量
b
X1
X2
X3
X4
X5
X1
4
1
0
1/2
0
-1/2
X2
2
0
1
0
0
1
X4
2
0
0
1/2
1
-5/2
-z
-32
0
0
-3
0
-1
。
此解为整数解,故计算停止。
七、某公司打算将3千万元资金用于改造扩建所属的3个工厂,每个工厂的利润增长额与所分配的投资有关。
各工厂在获得不同的投资额时所能增加的利润如下表所示,问应如何分配资金,使公司总的利润为最大。
利润投资
工厂
0
1千万
2千万
3千万
1
0
2.5
4
10
2
0
3
5
8.5
3
0
2
6
9
解:
K为阶段变量,k=1,2,3
Sk:
第k阶段所剩的资金数
Xk:
第k阶段分配给第k个工厂的资金数
gk(xk):
将xk分配给第k个工厂的效益
状态转移方程:
Sk+1=Sk-xk
递推关系:
第三阶段,k=3
X3=s3
x3
s3
g3(x3)
f3(s3)
x*3
0
1
2
3
0
0
0
0
1
2
2
1
2
6
6
2
3
9
9
3
第二阶段:
s3=s2-x2,0s23,0x2s2
x2
s2
f2(s2)
x*2
0
1
2
3
0
0+0
0
0
1
0+2
3+0
2
1
2
0+6
3+2
5+0
6
0
3
0+9
3+6
5+2
8.5+0
9
0,1
第三阶段
S1=3
S2=s1-x1,0x1s1
x1
s1
f1(s1)
x*1
0
1
2
3
3
0+9
2.5+6
4+3
10+0
10
3
最优分配方案为,x1*=3,x2*=0,x3*=0
最佳获益值:
10千万。
八、甲乙乒乓球队进行团体对抗赛,每对由三名球员组成,双方都可排成三种不同的阵容,每一种阵容可以看成一种策略,双方各选一种策略参赛。
比赛共赛三局,规定每局胜者得1分,输者得-1分,可知三赛三胜得3分,三赛二胜得1分,三赛一胜得-1分,三赛三负得-3分。
甲队的策略集为S1={α1,α2,α3},乙队的策略集为S1={β1,β2,β3},根据以往比赛得分资料,可得甲队的赢得矩阵为A,如下:
试问这次比赛各队应采用哪种阵容上场最为稳妥。
解:
甲队的α1,α2,α3三种策略可能带来的最少赢得,即矩阵A中每行的最小元素分别为:
1,-3,-1,
在这些最少赢得中最好的结果是1,即甲队应采取策略α1,无论对手采用什么策略,甲队至少得1分。
而对乙队来说,策略β1,β2,β3可能带来的最少赢得,即矩阵A中每列的最大因素(因为两人零和策甲队得分越多,就使得乙队得分越少),分别为:
3,1,3,
其中乙队最好的结果为甲队得1分,这时乙队采取β2策略,不管甲队采用什么策略甲队的得分不会超过1分(即乙队的失分不会超过1)。
这样可知甲队应采用α1策略,乙队应采取β2策略。
把这种最优策略α1和β2分别称为局中人甲队、乙队的最优纯策略。
这种最优纯策略只有当赢得矩阵A=(aij)中等式
maxminaij=minmaxaij
ijji
成立时,局中人才有最优纯策略,并把(α1,β2)称为对策G在纯策略下的解,又称(α1,β2)为对策G的鞍点。
九、矩阵对策的混合策略
解:
首先设甲使用α1的概率为X1’,使用α2的概率为X2’,并设在最坏的情况下(即乙出对其最有利的策略情况下),甲的赢得的平均值等于V。
这样我们建立以下的数学关系:
1.甲使用α1的概率X1’和使用α2的概率X2’的和为1,并知概率值具有非负性,即X1’+X2’=1,且有X1’≧0,X2’≧0.
2.当乙使用β1策略时,甲的平均赢得为:
5X1’+8X2’,此平均赢得应大于等于V,即5X1’+8X2’≧V
3.当乙使用β2策略时,甲的平均赢得为:
9X1’+6X2’,此平均赢得应大于等于V,即9X1’+6X2’≧V
第二步,我们来考虑V的值,V的值与赢得矩阵A的各因素的值是有关的,如果A的各元素的值都大于零,即不管甲采用什么策略,乙采用什么策略,甲的赢得都是正的。
这时的V值即在乙出对其最有利的策略时甲的平均赢得也显然是正的。
因为A的所有元素都取正值,所以可知V﹥0.
第三步,作变量替换,令Xi=
(i=1,2)
考虑到V﹥0,这样把以上5个数量关系式变为:
X1+X2=
,X1≧0,X2≧0,
5X1+8X2≧1
9X1+6X2≧1
对甲来说,他希望V值越大越好,也就是希望
的值越小越好,最后,我们就建立起求甲的最优混合策略的线性规划的模型如下:
minX1+X2
约束条件:
5X1+8X2≧1
9X1+6X2≧1
X1≧0,X2≧0
同样求出乙最优混合策略,设y1’,y2’分别为乙出策略β1,β2的概率,V为甲出对其最有利的策略的情况下,乙的损失的平均值。
同样我们可以得到:
y1’+y2’=1,
5y1+9y2≦V
8y1+6y2≦V
y1’≧0,y2’≧0.
同样作变量替换,令yi=
(i=1,2)
得关系式:
y1+y2=
5y1+9y2≦1
8y1+6y2≦1
y1≧0,y2≧0.
乙希望损失越少越好,即V越小越好而
越大越好,这样我们也建立了求乙的最优混合策略的线性规划的模型如下:
maxy1+y2
约束条件:
5y1+9y2≦1
8y1+6y2≦1
y1≧0,y2≧0.
十、绘制工程图,计算各工作的最早开始时间和最早完工时间,并给出关键路线。
工序
内容
工时(天)
紧前工序
A
B
C
D
E
F
G
初步研究
研究选点
准备调研方案
联系调研点
培训工作人员
实地调研
写调研报告并汇总
1
2
4
2
3
5
4
/
A
A
B
B、C
D、E
F
解:
(1)工程图如下:
(2)各工序时间如下图,
工程
ES
EF
A
0
1
B
1
3
C
1
5
D
3
5
E
5
8
F
8
13
G
13
17
(3)关键路线是A---C---E---F---G