中国矿业大学运筹学64学时复习题及答案.docx

1、中国矿业大学运筹学64学时复习题及答案部分习题一、 （该题已经讲过了）某公司制造三种产品A、B、C，需要两种资源（劳动力和原材料），现要确定总利润最大的生产计划，列出下述线性规划求：（1）线性规划问题的最优解；首先将问题标准化：cj31500CBXBbx1x2x3x4x500x4x54530 63 345【5】1001963150005x4x315633/5-14/50110-11/50-300-1最优解为X*=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(0,0,6,15,0)T，最优目标值z*=30（2）求对偶问题的数学模型及其最优解；y1*=0,y2*=1 (3) 最优解不变的情况下，求产品A的

2、利润允许变化范围；最优解不变的情况下， （4）假定能以10元的价格购进15单位的材料，这样做是否有利，为什么？有利单位材料的影子价格是1元，10元钱购进15单位的材料的单位价格为2/3元，低于影子价格。同时，在保持最优基不变的情况下购进15吨的原材料，最优基不变。该材料的影子价格仍为1元。（5）当可利用的资源增加到60单位时，求最优解。cj31500CBXBbx1x2x3x4x505x4x3-151233/5-14/50110【-1】1/50-300-105x5x3159-36/513/501-11/510-3-20-10最优解为X*=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(0,0,9,0,15

3、)T，最优目标值z*=45（6）当产品B的原材料消耗减少为2个单位时，是否影响当前的最优解，为什么？x2在最有表是非基变量，该产品的原材料消耗只影响x2的检验数。（7）增加约束条件2x1+x2+3x320，对原最优解有何影响，对对偶解有何影响？增加的约束条件，相当于增加了一个约束方程 cj241000CBXBb x1x2x3x4x5x6050x4x3x615620 33/52-14/510 13 1 0 0-11/500010-30 0 -10050x4x3x615623 3/5 4/5-14/5-7/5 0 1 0 1 00 -11/5 -3/5 0 0 1 0 -3 00-1 0对原问题的

4、最优解无影响，对对偶问题的最优解也无影响。二、 考虑下列线性规划MaxZ=2X1+3X22X1+ 2X2+X3=12X1+2X2 +X4=84X1 +X5=164X2 +X6=12Xj0（j=1,2,6）其最优单纯形表如下：基变量X1X2X3X4X5X6X30001-1-1/40X1410001/40X64000-21/21X220101/2-1/80j000-3/2-1/801） 当C2=5时，求新的最优解2） 当b3=4时，求新的最优解3） 当增加一个约束条件2X1+X212，问最优解是否发生变化，如果发生变化求新解？解当C2=5时4=5/25=1/80所以最优解发生变化基变量X1X2X3

5、X4X5X60X30001-1-1/402X1410001/400X64000-21/215X220101/2-1/80j000-5/21/800X32001201/22X1210010-1/20X58000-4125X23010001/4j000-20-1/4最优解为X1=2，X2=3,Z192）当b3=4时基变量X1X2X3X4X5X60X33001-1-1/402X1110001/400X6-3000-21/213X25/20101/2-1/80j000-3/2-1/800X39/20010-1/212X1110001/400X43/20001-1/4-1/23X27/4010001/4

6、j0000-1/2-3/4此时最优解为X1=1，X2=7/4,Z29/43)增加一个约束条件基变量X1X2X3X4X5X6X7X30001-1-1/400X1410001/400X64000-21/210X220101/2-1/800X7122100001j000-3/2-1/800X30001-1-1/400X1410001/400X64000-21/210X220101/2-1/800X720001/23/801j000-3/2-1/800由于X72大于0，所以最优解不变三、用对偶单纯形法求下面问题解：Cj 4600min( zj - cj)/ai*jCBXBbx1x2x3x4ai*j00

7、x3801(2)104,3*0x4753101OBJ=0zj 0000zj - cj4600Cj 4600CBXBbx1x2x3x46x2401/211/200x435(5/2)01/212/5*,6OBJ=240zj 3630zj - cj1030Cj 4600CBXBbx1x2x3x46x233013/51/54x114101/52/5OBJ=254zj 4614/52/5zj - cj0014/52/5答：最优解为x1 =14，x2 =33，目标函数值为254。四、A、B两个煤矿负责供应甲、乙、丙三个城市煤炭。已知A、B两矿年产量、三个城市的需求量以及从两煤矿至各城市煤炭运价如下表。由于

8、供不应求，经协商，甲城市必要时可少供应030万吨，乙城市需求须全部满足，丙城市需求不少于270万吨。试求：将甲、乙两矿煤炭全部分配出去，满足上述条件又使总运费最低的调运方案。产 销甲乙丙产量AB152118252216400450销量（T）320250350解：(1)依题意得产销平衡表如下：产 销甲甲乙丙 丙产量ABC1521M152101825M2216M2216040045070销量（T）2903025027080(2)做初始的调运方案（伏格尔法）产 销甲甲乙丙 丙产量A1501515250182222400B21212516164501403027010CM0MM07070销量（T）29

9、03025027080（3）用位势法进行检验产 销甲甲乙丙 丙UA01501501812221222-6B2121251616000100CM0MM0-16M-5-5M-80V2121241616 (4) 做闭回路调整调整后为：产 销甲甲乙丙 丙产量A1501515250182222400B212125161645014027040CM0MM0703040销量（T）2903025027080（5）进行进一步检验产 销甲甲乙丙 丙UA01501501812221222-6B2121251616005100CM0MM0-16M-50M-8M0V2116241616(6) 调整后的方案为最优方案最低

10、费用15015250181402127016401630040014650五、分配甲、乙、丙、丁四人去完成5项任务。每人完成各项任务时间如下表所示。由于任务数多于人数，故规定其中有一人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项，试确定总花费时间最少的指派方案。ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345解：假设增加一个人戊完成各项工作的时间取A、B、C、D、E最小值。得效率矩阵为：各行减最小值，各列减最小值：得变换得进一步最有指派方案甲B，乙C,D，丙E，丁A最低费用2926203224131六、某厂拟建两种不同类型的冶炼炉。甲种炉每台投资为2

11、个单位，乙种炉每台投资为1个单位，总投资不能超过10个单位；又该厂被许可用电量为2个单位，乙种炉被许可用电量为2个单位，但甲种炉利用余热发电，不仅可以满足本身需要，而且可供出电量1个单位。已知甲种炉每台收益为6个单位，乙种炉每台收益为4个单位。试问：应建甲、乙两种炉各多少台，使之收益最大？该问题也可如下表表示。（要求用割平面法求解该整数规划问题）甲种炉(x1) 乙种炉(x2) 限 量每台投资/单位2110用电量/单位-122收益/单位64解：设x1,x2为甲乙种炉应建台数，则用单纯形法求最优解，见下表。基变量bX1X2X3X4X31021105X42-1201-z06400X1511/21/2

12、010X4705/21/2114/5-z-3001-30X118/5102/5-1/5X214/5011/52/5-z-32.800-16/5-2/5最优解为确定割平面方程： 从而，构造割平面，并且标准化，加入最优表中，用对偶单纯形法求最优解，见下表。基变量bX1X2X3X4X5X118/5102/5-1/50X214/5011/52/50X5-4/500-1/5-2/51-z-32.800-16/5-2/50基变量bX1X2X3X4X5X14101/20-1/2X2201001X42001/21-5/2-z-3200-30-1。此解为整数解，故计算停止。七、某公司打算将3千万元资金用于改造扩

13、建所属的3个工厂，每个工厂的利润增长额与所分配的投资有关。各工厂在获得不同的投资额时所能增加的利润如下表所示，问应如何分配资金，使公司总的利润为最大。 利润 投资工厂01千万2千万3千万102.541020358.530269解：K为阶段变量，k=1,2,3 Sk:第k阶段所剩的资金数 Xk：第k阶段分配给第k个工厂的资金数 gk（xk）：将xk分配给第k个工厂的效益 状态转移方程：Sk+1= Sk-xk 递推关系：第三阶段，k=3X3=s3x3s3g3(x3)f3(s3)x*301230000122126623993第二阶段：s3=s2-x2， 0s23， 0x2s2x2s2f2(s2)x*

14、2012300+00010+23+02120+63+25+06030+93+65+28.5+090,1第三阶段S1=3S2=s1-x1, 0x1s1x1s1f1(s1)x*1012330+92.5+64+310+0103最优分配方案为，x1*=3,x2*=0,x3*=0最佳获益值：10千万。八、甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每对由三名球员组成，双方都可排成三种不同的阵容，每一种阵容可以看成一种策略，双方各选一种策略参赛。比赛共赛三局，规定每局胜者得1分，输者得-1分，可知三赛三胜得3分，三赛二胜得1分，三赛一胜得-1分，三赛三负得-3分。甲队的策略集为S1=1，2，3，乙队的策略集为S1=1，2

15、，3，根据以往比赛得分资料，可得甲队的赢得矩阵为A，如下：试问这次比赛各队应采用哪种阵容上场最为稳妥。解：甲队的1，2，3 三种策略可能带来的最少赢得，即矩阵A中每行的最小元素分别为： 1，-3，-1，在这些最少赢得中最好的结果是1，即甲队应采取策略1 ，无论对手采用什么策略，甲队至少得1分。而对乙队来说，策略1，2，3 可能带来的最少赢得，即矩阵A中每列的最大因素（因为两人零和策甲队得分越多，就使得乙队得分越少），分别为： 3，1，3，其中乙队最好的结果为甲队得1分，这时乙队采取2 策略，不管甲队采用什么策略甲队的得分不会超过1分（即乙队的失分不会超过1）。这样可知甲队应采用1 策略，乙队应

16、采取2 策略。把这种最优策略1 和2 分别称为局中人甲队、乙队的最优纯策略。这种最优纯策略只有当赢得矩阵A=（aij）中等式 max min aij = min max aij i j j i成立时，局中人才有最优纯策略，并把（1 ，2）称为对策G在纯策略下的解，又称（1 ，2）为对策G的鞍点。九、矩阵对策的混合策略解：首先设甲使用1 的概率为X1，使用2 的概率为X2，并设在最坏的情况下（即乙出对其最有利的策略情况下），甲的赢得的平均值等于V。这样我们建立以下的数学关系：1.甲使用1 的概率X1和使用2 的概率X2的和为1，并知概率值具有非负性，即X1+ X2=1，且有X10，X20.2.当

17、乙使用1 策略时，甲的平均赢得为：5X1+ 8X2，此平均赢得应大于等于V，即5X1+ 8X2V3.当乙使用2 策略时，甲的平均赢得为：9X1+ 6X2，此平均赢得应大于等于V，即9X1+ 6X2V第二步，我们来考虑V的值，V的值与赢得矩阵A的各因素的值是有关的，如果A的各元素的值都大于零，即不管甲采用什么策略，乙采用什么策略，甲的赢得都是正的。这时的V值即在乙出对其最有利的策略时甲的平均赢得也显然是正的。因为A的所有元素都取正值，所以可知V0.第三步，作变量替换，令Xi = (i=1，2)考虑到V0，这样把以上5个数量关系式变为：X1+ X2 =，X10，X20，5X1+ 8X2 19X1+

18、 6X2 1对甲来说，他希望V值越大越好，也就是希望的值越小越好，最后，我们就建立起求甲的最优混合策略的线性规划的模型如下：min X1+ X2约束条件： 5X1+ 8X2 19X1+ 6X2 1 X10，X20同样求出乙最优混合策略，设y1, y2分别为乙出策略1，2 的概率，V为甲出对其最有利的策略的情况下，乙的损失的平均值。同样我们可以得到：y1+ y2=1,5y1+ 9y2 V8y1+ 6y2 Vy10，y20.同样作变量替换，令yi = (i=1，2)得关系式： y1+ y2 =5y1+ 9y2 18y1+ 6y2 1y10，y20.乙希望损失越少越好，即V越小越好而越大越好，这样我们也建立了求乙的最优混合策略的线性规划的模型如下：max y1+ y2约束条件： 5y1+ 9y2 18y1+ 6y2 1y10，y20.十、绘制工程图，计算各工作的最早开始时间和最早完工时间，并给出关键路线。工序内容工时(天)紧前工序ABCDEFG 初步研究研究选点准备调研方案联系调研点培训工作人员实地调研写调研报告并汇总 124235 4 / A ABB、CD、E F解：（）工程图如下： （）各工序时间如下图， 工程ESEFA01B13C15D35E58F813G1317（）关键路线是A-C-E-F-G