中考数学一轮复习精品讲义相交线与平行线.docx

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中考数学一轮复习精品讲义相交线与平行线

2012年中考数学一轮复习精品讲义（第5章相交线与平行线）

第五章相交线与平行线本章小结小结1本章概述本章的主要内容是两条直线的位置关系――相交与平行.特别是垂直和平行关系是平面几何所要研究的基本内容之一.这一章的内容是很重要的基本知识，是几何学习的重要阶段，要引起高度重视.教材在给出对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的基础上又给出了对顶角、邻补角的性质、垂线的基本性质和平行线的判定和性质，最后给出平移的概念、性质以及利用平移绘制图案．小结2本章学习重难点【本章重点】了解对顶角、余角、补角的概念；掌握等角的余角相等，等角的补角相等；掌握垂线、垂线段的概念；知道两条直线平行，同位角相等以及同位角相等，两直线平行，进一步探索平行线的性质和判定.【本章难点】掌握垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义；通过具体实例认识平移；能按要求作出简单平面图形平移后的图形，利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．小结3中考透视中考所考查的内容主要体现在以下几个方面：

1.对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的理解，对顶角、邻补角以及垂线性质的应用，包括实际应用.2.同位角、内错角、同旁内角的含义，能由线找出角、由角说出线.3.平行线的识别与特征，以及在实际问题中的应用.4.简单命题的证明．

知识网络结构图

专题总结及应用一、知识性专题专题1有关基本图形的问题【专题解读】本章中主要考查数图形的个数问题，构造基本图形以及基本图形的组合，如平行线与角平分线的组合，平行线与平行线的组合等.例1如图5-132所示，直线AB,CD,EF都经过点O，图中共有几对对顶角？

分析数基本图形不能重复，不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角，图中有3组两条直线相交，故对顶角有2×3=6（对）.

解：

共有6对对顶角.【解题策略】数图形个数及书写时，应注意顺序性，这样不易重复和遗漏.例2如图5-133所示，图中共有几对同旁内角？

分析我们知道两条直线被第三条直线所截共形成八个角，其中有两对同旁内角.图形中有两个“三线八角”，即CD,EF被GH所截，形成两对同旁内角，AB,EF被GH所截，又形成两对同旁内角，所以共有4对同旁内角.解：

图中共有4对同旁内角.【解题策略】注意观察同旁内角的特点.例3如图5-134所示，AB∥CD,P为AB,CD之间的一点，已知∠1=32°，∠2=25°，求∠BPC的度数.分析此图不是我们所学的“三线八角”的基本图形，需添加一些线（辅助线）把它们转化成我们熟悉的基本图形.解：

如图5-134所示，过点P作射线PN∥AB.因为AB∥CD（已知），所以PN∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），所以∠4=∠2=25°（两直线平行，内错角相等）.因为PN∥AB（已知），所以∠3=∠1=32°（两直线平行，内错角相等）.所以∠BPC=∠3+∠4=32°+25°=57°.【解题策略】构造基本图形就是将残缺的基本图形补全.例4如图5-135所示，已知AB∥CD,EF分别交AB,CD于G,H,GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD.试说明GM∥HN.分析要说明GM∥HN,可说明∠1=∠2，而由GM,HN分别为∠AGF,∠EHD的平分线，可知∠1=∠AGF,∠2=∠EHD,又由AB∥CD,有∠AGF=∠EHD,故有∠1=∠2，从而结论成立.解：

因为GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD（已知），所以∠1=∠AGF,∠2=∠EHD（角平分线定义）.又因为AB∥CD（已知），所以∠AGF=∠EHD（两直线平行，内错角相等），所以∠1=∠2，所以GM∥HN（内错角相等，两直线平行）.【解题策略】此题考查平行线的性质、判定以及角平分线的综合应用.例5如图5-136所示，已知AB∥CD,BC∥DE.试说明∠B=∠D.分析条件为直线平行，故可根据平行线的性质说明.解：

因为AB∥CD（已知），所以∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）.因为BC∥DE（已知），所以∠C=∠D（两直线平行，内错角相等）.【解题策略】此题重点考查了平行线的性质的应用.例6如图5-137所示，已知AB∥CD,G为AB上任一点，GE,GF分别交CD于E,F.试说明∠1+∠2+∠3=180°.分析要说明180°问题，想到了“平角”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个知识点，故可用它们解决问题.解：

因为AB∥CD（已知），所以∠4=∠2，∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）.因为∠4+∠1+∠5=180°（平角定义），所以∠2+∠1+∠3=180°（等量代换）.【解题策略】此题把说明∠2+∠1+∠3=180°转化为说明∠1+∠5+∠4=180°，应用等量代换解决了问题.例7如图5-138所示，AB,DC相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC.试说明OE⊥OF解：

因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOC（已知），所以∠1=∠AOC,∠2=∠BOC（角平分线定义）.所以∠1+∠2=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）.又因为∠AOC+∠BOC=180°（邻补角定义），所以∠1+∠2=×180°=90°，所以OE⊥OF（垂直定义）.【解题策略】根据角平分线定义将∠1和∠2分别转化为∠AOC和∠BOC是解此题的关键.例8如图5-139所示，已知AB∥CD,∠CED=90°.试说明∠1+∠2=90°.解：

因为AB∥CD（已知），所以∠3=∠1，∠4=∠2（两直线平行，内错角相等）.因为∠3+∠4+∠CED=180°（平角定义），∠CED=90°（已知），所以∠3+∠4=90°，所以∠1+∠2=90°（等量代换）.【解题策略】根据两直线平行分别将∠1和∠2转化为∠3和∠4，再根据平角定义由∠3+∠4+∠CED=180°和已知∠CED=90°可说明∠1+∠2=90°.

例9如图5-140所示，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G,ED∥BC.试说明∠1=∠2.解：

因为CD⊥AB,FG⊥AB（已知），所以∠CDB=∠FGB=90°（垂直定义），所以∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.因为DE∥BC（已知），所以∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），所以∠1=∠2（等量代换）.【解题策略】多次运用平行线的性质说明∠1，∠2，∠3的关系.二、规律方法专题专题2基本命题的计算与证明【专题解读】基本命题的计算与证明涉及的题型有

（1）有关角的计算；

（2）有关角相等的判定；（3）判定平行问题；（4）判定垂直问题；（5）判定共线问题.例10如图5-141所示，已知∠4=70°，∠3=110°，∠1=46°，求∠2的度数.分析由∠3+∠4=180°，知AB∥CD,故∠2=180°-∠1.解：

因为∠4=70°，∠3=110°（已知），所以∠4+∠3=180°，所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以∠2=180°-∠1=180°-46°=134°（两直线平行，同旁内角互补）.【解题策略】此题考查由同旁内角互补判定两直线平行，由两直线平行可行同旁内角互补，从而计算相关的角.例11如图5-142所示，AB∥CD,EB∥DF.试说明∠1=∠2.解：

因为AB∥CD（已知），所以∠1+∠3=∠2+∠4（两直线平行，内错角相等）.因为EB∥DF（已知），所以∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），所以∠1=∠2（等式性质）.【解题策略】判定角相等的方法有：

（1）同角（等角）的余角相等；

（2）同角（等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）角平分线定义；（5）两直线平行，同位角相等；（6）两直线平行，内错角相等.例12如图5-143所示，DF∥AC,∠1=∠2.试说明DE=AB.分析要说明DE∥AB,可说明∠1=∠A,而由DF∥AC,有∠2=∠A.又因为∠1=∠2，故有∠1=∠A,从而得出结论.解：

因为DF∥AC（已知），所以∠2=∠A（两直线平行，同位角相等）.因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠A（等量代换），所以DE∥AB（同位角相等，两直线平行）.【解题策略】判定平行的方法有：

（1）平行于同一条直线的两直线平行；

（2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）同位角相等，两直线平行；（4）内错角相等，两直线平行；（5）同旁内角互补，两直线平行.例13如图5-144所示，∠1=∠2，CD∥EF.试说明EF⊥AB.分析要说明EF⊥AB,可说明∠2=90°，而由CD∥EF,可得∠1+∠2=180°，又∠1=∠2，所以有∠1=∠2=90°，从而得出结论.解：

因为CD∥EF（已知），所以∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.又因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠2=90°，所以EF⊥AB（垂直定义）.【解题策略】判定垂直的方法有：

（1）说明两条相交线的一个交角为90°；

（2）说明邻补角相等；（3）垂直于平行线中的一条，也必垂直于另一条.例14如图5-145所示，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.试说明E,O,F三点在一条直线上.分析要说明E,O,F三点共线，只需说明∠EOF=180°.解：

因为AB,CD相交于点O（已知），所以∠AOC=∠BOD（对顶角相等）.因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOD（已知），所以∠1=∠AOC,∠2=∠BOD（角平分线定义），所以∠1=∠2（等量代换）.因为∠1+∠EOD=180°（邻补角定义），所以∠2+∠EOD=180°（等量代换），即∠EOF为平角，所以E,O,F三点共线.【解题策略】判定三点共线问题的方法有：

（1）构成平角；

（2）利用平行公理说明；（3）利用垂线的性质说明.三、思想方法专题专题3转化思想【专题解读】在计算过程中，我们总是想办法将未知的转化为已知的.例15如图5-146所示，直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOE,且∠COA:

∠AOD=7:

2,求∠BOE的度数.分析欲求∠BOE,因为∠BOE与∠AOE互为邻补角，所以可先求∠AOE,而∠AOE=2∠AOD,所以只需求∠AOD即可，由已知条件可求得∠AOD.解：

∵∠COA+∠AOD=180°,∠COA:

∠AOD=7:

2,∴∠COA=×180°=140°,∠AOD=×180°=40°.∵OD平分∠AOE,∴∠AOE=2∠AOD=2×40°=80°,∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-80°=100°.【解题策略】互为邻补角的两个角的和为180°、对顶角相等是在有关求角的大小的问题中常用的两个等量关系，要注意发现图形中的这两种角，它们常隐藏在直线条件的背后.2011中考真题相交线与平行线精选一、选择题1.（2011云南保山2，3分）如图，l1∥l2，∠1=120°，则∠2=.

考点：

平行线的性质；对顶角、邻补角。

分析：

由邻补角的定义，即可求得∠3的度数，又由l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．解答：

解：

∵∠1=120°，∴∠3=180°�∠1=60°，∵l1∥l2，∴∠2=∠3=60°．故答案为：

60．点评：

此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．2.（2011•南通）如图，AB∥CD，∠DCE=80°，则∠BEF=（　　）A、120°B、110°C、100°D、80°考点：

平行线的性质；对顶角、邻补角。

专题：

计算题。

分析：

根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入求出即可．解答：

解：

∵AB∥CD，∴∠DCE+∠BEF=180°，∵∠DCE=80°，∴∠BEF=180°�80°=100°．故选C．点评：

本题主要考查对平行线的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°是解此题的关键．3.（2011山东日照，3，3分）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（　　）A．70°B．80°C．90°D．100°考点：

三角形内角和定理；平行线的性质。

专题：

计算题。

分析：

根据两直线平行，同位角相等，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．解答：

解：

∵AB∥CD，∠C=125°，∴∠EFB=125°，∴∠EFA=180�125=55°，∵∠A=45°，∴∠E=180°�∠A�∠EFA=180°�45°�55°=80°．故选B．点评：

本题应用的知识点为：

两直线平行，同位角相等；三角形内角和定理．4.（2011山西，5，2分）如图所示，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（）A．35°B．70°C．110°D．120°考点：

平行线的性质，三角形的外角，多学科综合专题：

相交线与平行线分析：

由DC∥OB得∠ADC＝∠AOB＝35°，又由反射角相等知∠ADC＝∠ODE＝35°，因为∠DEB是△ODE的外角，所以∠DEB＝∠ODE＋∠AOB＝70°．解答：

B点评：

利用反射角相等得出∠ADC＝∠ODE＝35°．掌握平行线的性质，三角形的外角以及反射角相等．5.（2011台湾，8，4分）如图中有四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（　　）A．∠2＝∠4＋∠7B．∠3＝∠1＋∠6C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°考点：

三角形内角和定理；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。

分析：

根据对顶角的性质得出∠1＝∠AOB，再用三角形内角和定理得出得出∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，即可得出答案．解答：

解：

∵四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角，∵∠1＝∠AOB，∵∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，∴∠1＋∠4＋∠6＝180°．故选C．点评：

此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．6.（2011x疆建设兵团，3，5分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（　　）A、40°B、65°C、75°D、115°考点：

平行线的性质．分析：

由∠A＝40°，∠AOB＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．解答：

解：

∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．∴∠B＝180°�∠A�∠AOB＝180°�40°�75°＝65°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝65°．故选B．点评：

此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等的定理的应用．7.（2011重庆綦江，5，4分）如图，直线a∥b，AC�AAB，AC交直线b于点C，∠1＝65°，则∠2的度数是（　　）A．65°B．50°C．35°D．25°考点：

平行线的性质。

专题：

几何计算题。

分析：

首先由AC�AAB与∠1＝65°，求得∠B的度数，然后由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．解答：

解：

∵AC�AAB，∴∠BAC＝90°，∴∠1＋∠B＝90°，∵∠1＝65°，∴∠B＝25°，∵a∥b，∴∠2＝∠B＝25°．故选D．点评：

此题考查了平行线的性质与垂直的定义．题目比较简单，解题时要注意数形结合思想的应用．8.（2010重庆，4，4分）如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于（）A．60°B．50°C．45°D．40°考点：

平行线的性质分析：

根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD的度数．解答：

解：

∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°�80°�60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．点评：

本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．9.（2011湖北潜江，5，3分）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（　　）A．23°B．16°C．20°D．26°考点：

平行线的性质。

专题：

计算题。

分析：

根据平行线的性质得到∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180，求出∠ECD，根据∠BCE＝∠BCD―∠ECD求出即可．解答：

解：

∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°，∴∠ECD＝180°―∠FEC＝26°，∴∠BCE＝∠BCD―∠ECD＝46°―26°＝20°．故选C．点评：

本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键．10.（2011•河池）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，∠A=30°，∠COD=105°．则∠D的大小是（　　）A、30°B、45°C、65°D、75°考点：

平行线的性质；三角形内角和定理。

分析：

首先根据两直线平行，内错角相等得出∠C=∠A=30°，然后由△COD的内角和为180°，求出∠D的大小．解答：

解：

∵AB∥CD，∴∠C=∠A=30°．在△COD中，∵∠C+∠COD+∠D=180°，∴∠D=180°�30°�105°=45°．故选B．点评：

本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，属于基础题型，比较简单．11.（2011•安顺）如图，己知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C的度数是（　　）A、100°B、110°C、120°D、150°考点：

平行线的性质。

分析：

由∠CDE=150°，根据邻补角的定义，即可求得∠CDB的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ABD的度数，由BE平分∠ABC，求得∠ABC的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠C的度数．解答：

解：

∵∠CDE=150°，∴∠CDB=180°�∠CDE=30°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CDB=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=60°，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°，∴∠C=180°�∠ABC=120°．故选C．点评：

此题考查了平行线的性质，邻补角的定义与角平分线的定义．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．12.（2011•德州，4，3分）如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（　　）A、55°B、60°C、65°D、70°考点：

三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质。

分析：

设∠2的对顶角为∠5，∠1在l2上的同位角为∠4，结合已知条件可推出∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，即可得出∠3的度数解答：

解：

∵直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，∴∠3=65°．故选C．点评：

本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质和对顶角的性质，关键在于根据已知条件找到有关相等的角．13.（2011•临沂，3，3分）如图．己知AB∥CD，∠1=70°，则∠2的度数是（　　）A、60°B、70°C、80°D、110考点：

平行线的性质。

分析：

由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数，又由邻补角的性质，即可求得∠2的度数．解答：

解：

∵AB∥CD，∴∠1=∠3=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°．故选D．点评：

此题考查了平行线的性质．注意数形结合思想的应用．14.（2011泰安，8，3分）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β＝20°，则∠α的度数为（　　）A．25°B．30°C．20°D．35°考点：

平行线的性质；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。

专题：

计算题。

分析：

根据平角的定义求出∠ACR，根据平行线的性质得出∠FDC＝∠ACR＝70°，求出∠AFD，即可得到答案．解答：

解：

∵∠β＝20°，∠ACB＝90°，∴∠ACR＝180°－90°－20°＝70°，∵l∥m，∠FDC＝∠ACR＝70°，∴∠AFD＝∠FDC－∠A＝70°－45°＝25°，∴∠a＝∠AFD＝25°，故选A．点评：

本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角．邻补角等知识点的理解和掌握，求出∠AFD的度数是解此题的关键．15.（2011四川泸州，4，2分）如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（　　）A.45°B.55°C.65°D.75°考点：

平行线的判定与性质；对顶角、邻补角．专题：

计算题．分析：

因为∠1与∠2互补，所以a∥b，又因为∠3=∠5，所以∠4与∠5互补，则∠4的度数可求．解答：

解：

∵∠1与∠2互补，∴a∥b，∵∠3=∠5，∴∠5=135°，∵a∥b，∴∠4与∠5互补，∴∠4=180°－135°=45°．故选A．点评：

本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．16.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　）A、32°B、58°C、68°D、60°【答案】B【考点】平行线的性质；余角和补角．【专题】计算题【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．【解答】解：

根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1=58°．故选B．【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．17．（2011•南充，3，3分）如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=60°，下列结论成立的是（　　）A、∠C=60°B、∠DAB=60°C、∠EAC=60°D、∠BAC=60°考点：

平行线的性质。

专题：

几何图形问题。

分析：

根据平行线的性质，根据内错角相等，逐个排除选项即可得出结果．解答：

解：

A、无法判断，故本选项错误，B、∠B=60°，∴∠DAB=60°，故本选项正确，C、无法判断，故本选项错误，D、无法判断，故本选项错误，故选B点评：

本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．.18.（2011四川雅安，5,3分）如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，若∠1=72°，∠2=58°，则∠3=（　　）A.45°B.50°C.60°D.58°考点：

平行线的性质。

专题：

证明题。

分析：

根据两直线l1∥l2，推知内错角∠3=∠5；然后由对顶角∠2=∠4、三角形内角和定理以及等量代换求得∠3=50°．解答：

解：

∵l1∥l2，∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）；又∵∠2=∠4（对顶角），∠1=72°，∠2=58°，∴∠5=50°（三角形内角和定理），∴∠3=50°（等量代换）．故选B．点评：

本题考查是平行线的性质：

两直线平行，内错角相等．19.（2011四川省宜宾市，4，3分）如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB.若∠D=70°，则∠CEB等于（）A.70°B.8