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1、中考数学一轮复习精品讲义相交线与平行线2012年中考数学一轮复习精品讲义(第5章相交线与平行线)第五章 相交线与平行线 本章小结 小结1 本章概述 本章的主要内容是两条直线的位置关系相交与平行.特别是垂直和平行关系是平面几何所要研究的基本内容之一.这一章的内容是很重要的基本知识，是几何学习的重要阶段，要引起高度重视.教材在给出对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的基础上又给出了对顶角、邻补角的性质、垂线的基本性质和平行线的判定和性质，最后给出平移的概念、性质以及利用平移绘制图案 小结2 本章学习重难点 【本章重点】了解对顶角、余角、补角的概念；掌握等角的余角相等，等角的补角相等；掌握垂线

2、、垂线段的概念；知道两条直线平行，同位角相等以及同位角相等，两直线平行，进一步探索平行线的性质和判定. 【本章难点】掌握垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义；通过具体实例认识平移；能按要求作出简单平面图形平移后的图形，利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用 小结3 中考透视 中考所考查的内容主要体现在以下几个方面： 1. 对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的理解，对顶角、邻补角以及垂线性质的应用，包括实际应用. 2. 同位角、内错角、同旁内角的含义，能由线找出角、由角说出线. 3. 平行线的识别与特征，以及在实际问题中的应用. 4. 简单命题的证明知识网络结构图专

3、题总结及应用 一、 知识性专题 专题1 有关基本图形的问题 【专题解读】 本章中主要考查数图形的个数问题，构造基本图形以及基本图形的组合，如平行线与角平分线的组合，平行线与平行线的组合等. 例1 如图5-132所示，直线AB,CD,EF都经过点O，图中共有几对对顶角？ 分析 数基本图形不能重复，不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角，图中有3组两条直线相交，故对顶角有23=6（对）.解：共有6对对顶角. 【解题策略】 数图形个数及书写时，应注意顺序性，这样不易重复和遗漏. 例2 如图5-133所示，图中共有几对同旁内角？ 分析 我们知道两条直线被第三条直线所截共形成八个角，其中有两对同旁内

4、角.图形中有两个“三线八角”，即CD,EF被GH所截，形成两对同旁内角，AB,EF被GH所截，又形成两对同旁内角，所以共有4对同旁内角. 解：图中共有4对同旁内角. 【解题策略】 注意观察同旁内角的特点. 例3 如图5-134所示，ABCD,P为AB,CD之间的一点，已知1=32，2=25，求BPC的度数. 分析 此图不是我们所学的“三线八角”的基本图形，需添加一些线（辅助线）把它们转化成我们熟悉的基本图形. 解：如图5-134所示，过点P作射线PNAB. 因为ABCD(已知)， 所以PNCD(平行于同一条直线的两直线平行)， 所以4=2=25（两直线平行，内错角相等）. 因为PNAB(已知)

5、， 所以3=1=32（两直线平行，内错角相等）. 所以BPC=3+4=32+25=57. 【解题策略】 构造基本图形就是将残缺的基本图形补全. 例4 如图5-135所示，已知ABCD,EF分别交AB,CD于G,H,GM,HN分别平分AGF,EHD.试说明GMHN. 分析 要说明GMHN,可说明1=2，而由GM,HN分别为AGF,EHD的平分线，可知1= AGF,2= EHD,又由ABCD,有AGF=EHD,故有1=2，从而结论成立. 解：因为GM,HN分别平分AGF,EHD(已知)， 所以1= AGF, 2= EHD(角平分线定义). 又因为ABCD(已知)， 所以AGF=EHD(两直线平行，

6、内错角相等)， 所以1=2， 所以GMHN（内错角相等，两直线平行）. 【解题策略】 此题考查平行线的性质、判定以及角平分线的综合应用. 例5 如图5-136所示，已知ABCD,BCDE.试说明B=D. 分析 条件为直线平行，故可根据平行线的性质说明. 解：因为ABCD(已知)， 所以B=C(两直线平行，内错角相等). 因为BCDE(已知)， 所以C=D(两直线平行，内错角相等). 【解题策略】 此题重点考查了平行线的性质的应用. 例6 如图5-137所示，已知ABCD,G为AB上任一点，GE,GF分别交CD于E,F.试说明1+2+3=180. 分析 要说明180问题，想到了“平角”和“两直线

7、平行，同旁内角互补”这两个知识点，故可用它们解决问题. 解：因为ABCD(已知)， 所以4=2，3=5（两直线平行，内错角相等）. 因为4+1+5=180（平角定义）， 所以2+1+3=180（等量代换）. 【解题策略】 此题把说明2+1+3=180转化为说明1+5+4=180，应用等量代换解决了问题. 例7 如图5-138所示，AB,DC相交于点O,OE,OF分别平分AOC,BOC.试说明OEOF 解：因为OE,OF分别平分AOC与BOC(已知)， 所以1= AOC,2= BOC(角平分线定义). 所以1+2= AOC+ BOC = (AOC+BOC). 又因为AOC+BOC=180(邻补角

8、定义)， 所以1+2= 180=90， 所以OEOF(垂直定义). 【解题策略】 根据角平分线定义将1和2分别转化为 AOC和 BOC是解此题的关键. 例8 如图5-139所示，已知ABCD,CED=90.试说明1+2=90. 解：因为ABCD(已知)， 所以3=1，4=2（两直线平行，内错角相等）. 因为3+4+CED=180(平角定义)， CED=90(已知)， 所以3+4=90， 所以1+2=90（等量代换）. 【解题策略】 根据两直线平行分别将1和2转化为3和4，再根据平角定义由3+4+CED=180和已知CED=90可说明1+2=90.例9 如图5-140所示，在三角形ABC中，CD

9、AB于D,FGAB于G,EDBC.试说明1=2. 解：因为CDAB,FGAB(已知)， 所以CDB=FGB=90(垂直定义)， 所以2=3（两直线平行，同位角相等）. 因为DEBC(已知)， 所以1=3（两直线平行，内错角相等）， 所以1=2（等量代换）. 【解题策略】 多次运用平行线的性质说明1，2，3的关系. 二、规律方法专题 专题2 基本命题的计算与证明 【专题解读】 基本命题的计算与证明涉及的题型有（1）有关角的计算； (2)有关角相等的判定；（3）判定平行问题；（4）判定垂直问题；（5）判定共线问题. 例10 如图5-141所示，已知4=70，3=110，1=46，求2的度数. 分析

10、 由3+4=180，知ABCD,故2=180-1. 解：因为4=70，3=110（已知）， 所以4+3=180， 所以ABCD(同旁内角互补，两直线平行)， 所以2=180-1=180-46=134（两直线平行，同旁内角互补）. 【解题策略】 此题考查由同旁内角互补判定两直线平行，由两直线平行可行同旁内角互补，从而计算相关的角. 例11 如图5-142所示，ABCD,EBDF.试说明1=2. 解：因为ABCD(已知)， 所以1+3=2+4（两直线平行，内错角相等）. 因为EBDF(已知)， 所以3=4（两直线平行，内错角相等）， 所以1=2（等式性质）. 【解题策略】 判定角相等的方法有： （

11、1）同角（等角）的余角相等； （2）同角（等角）的补角相等； （3）对顶角相等； （4）角平分线定义； （5）两直线平行，同位角相等； （6）两直线平行，内错角相等. 例12 如图5-143所示，DFAC,1=2.试说明DE=AB. 分析 要说明DEAB,可说明1=A,而由DFAC,有2=A.又因为1=2，故有1=A,从而得出结论. 解：因为DFAC(已知)， 所以2=A(两直线平行，同位角相等). 因为1=2（已知），所以1=A（等量代换）， 所以DEAB(同位角相等，两直线平行). 【解题策略】 判定平行的方法有： （1）平行于同一条直线的两直线平行； （2）垂直于同一条直线的两直线平行；

12、 （3）同位角相等，两直线平行； （4）内错角相等，两直线平行； （5）同旁内角互补，两直线平行. 例13 如图5-144所示，1=2，CDEF.试说明EFAB. 分析 要说明EFAB,可说明2=90，而由CDEF,可得1+2=180，又1=2，所以有1=2=90，从而得出结论. 解：因为CDEF(已知)， 所以1+2=180（两直线平行，同旁内角互补）. 又因为1=2（已知），所以1=2=90， 所以EFAB（垂直定义）. 【解题策略】 判定垂直的方法有： （1）说明两条相交线的一个交角为90； （2）说明邻补角相等； （3）垂直于平行线中的一条，也必垂直于另一条. 例14 如图5-145所

13、示，直线AB,CD相交于点O,OE平分AOC,OF平分BOD.试说明E,O,F三点在一条直线上. 分析 要说明E,O,F三点共线，只需说明EOF=180. 解：因为AB,CD相交于点O（已知）， 所以AOC=BOD(对顶角相等). 因为OE,OF分别平分AOC与BOD（已知）， 所以1= AOC, 2= BOD(角平分线定义)， 所以1=2（等量代换）. 因为1+EOD=180(邻补角定义)， 所以2+EOD=180(等量代换)， 即EOF为平角，所以E,O,F三点共线. 【解题策略】 判定三点共线问题的方法有： （1）构成平角； （2）利用平行公理说明； （3）利用垂线的性质说明. 三、思想

14、方法专题 专题3 转化思想 【专题解读】 在计算过程中，我们总是想办法将未知的转化为已知的. 例15 如图5-146所示，直线AB,CD相交于点O,OD平分AOE,且COA:AOD=7:2,求BOE的度数. 分析 欲求BOE,因为BOE与AOE互为邻补角，所以可先求AOE,而AOE=2AOD,所以只需求AOD即可，由已知条件可求得AOD. 解：COA+AOD=180,COA:AOD=7:2, COA= 180=140,AOD= 180=40. OD平分AOE, AOE=2AOD=240=80, BOE=180-AOE=180-80=100. 【解题策略】 互为邻补角的两个角的和为180、对顶角

15、相等是在有关求角的大小的问题中常用的两个等量关系，要注意发现图形中的这两种角，它们常隐藏在直线条件的背后. 2011中考真题相交线与平行线精选 一、选择题 1.（2011云南保山2，3分）如图，l1l2，1=120，则2= .考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。 分析：由邻补角的定义，即可求得3的度数，又由l1l2，根据两直线平行，同位角相等，即可求得2的度数 解答：解：1=120， 3=1801=60， l1l2， 2=3=60 故答案为：60 点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义注意两直线平行，同位角相等 2. （2011南通）如图，ABCD，DCE=80，则BEF=（） A、120

16、 B、110 C、100 D、80 考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。 专题：计算题。 分析：根据平行线的性质推出DCE+BEF=180，代入求出即可 解答：解：ABCD，DCE+BEF=180，DCE=80，BEF=18080=100故选C 点评：本题主要考查对平行线的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，根据平行线的性质推出DCE+BEF=180是解此题的关键 3. （2011山东日照，3，3分）如图，已知直线ABCD，C=125，A=45，那么E的大小为（） A70 B80 C90 D100 考点：三角形内角和定理；平行线的性质。 专题：计算题。 分析：根据两直线平行，同位角相等，求

17、得EFA=55，再利用三角形内角和定理即可求得E的度数 解答：解：ABCD，C=125， EFB=125， EFA=180125=55， A=45， E=180AEFA=1804555=80 故选B 点评：本题应用的知识点为：两直线平行，同位角相等；三角形内角和定理 4. （2011山西，5，2分）如图所示，AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，AOB35，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则DEB的度数是（ ） A35 B 70 C 110 D 120 考点：平行线的性质，三角形的外角，多学科综合 专题：相交线与平行线 分析：由DCOB得A

18、DC AOB35，又由反射角相等知ADCODE 35，因为DEB是ODE的外角，所以DEBODEAOB70 解答：B 点评：利用反射角相等得出ADCODE 35掌握平行线的性质，三角形的外角以及反射角相等 5. （2011台湾，8，4分）如图中有四条互相不平行的直线L1L2L3L4所截出的七个角关于这七个角的度数关系，下列何者正确（） A247 B316 C146180 D235360 考点：三角形内角和定理；对顶角邻补角；三角形的外角性质。 分析：根据对顶角的性质得出1AOB，再用三角形内角和定理得出得出AOB46180，即可得出答案 解答：解：四条互相不平行的直线L1L2L3L4所截出的七

19、个角， 1AOB， AOB46180， 146180 故选C 点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键 6. （2011x疆建设兵团，3，5分）如图，ABCD，AD和BC相交于点O，A40，AOB75 则C等于（） A、40 B、65 C、75 D、115 考点：平行线的性质 分析：由A40，AOB75，根据三角形内角和定理，即可求得B的度数，又由ABCD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得C的值 解答：解：A40，AOB75 B180AAOB180407565， ABCD， CB65 故选B 点评：此题考查了平行线的性质与三角形内角

20、和定理解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等的定理的应用 7. （2011重庆綦江，5，4分）如图，直线ab，ACAAB，AC交直线b于点C，165，则2的度数是（） A65 B50 C35 D25 考点：平行线的性质。 专题：几何计算题。 分析：首先由ACAAB与165，求得B的度数，然后由ab，根据两直线平行，同位角相等，即可求得2的度数 解答：解：ACAAB， BAC90， 1B90， 165， B25， ab， 2B25 故选D 点评：此题考查了平行线的性质与垂直的定义题目比较简单，解题时要注意数形结合思想的应用 8. （2010重庆，4，4分）如图，ABCD，C80，CAD60，则B

21、AD的度数等于( ) A60 B50 C 45 D 40 考点：平行线的性质 分析：根据三角形的内角和为180，即可求出D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道BAD的度数 解答：解：C=80，CAD=60，D=1808060=40，ABCD，BAD=D=40故选D 点评：本题考查了三角形的内角和为180，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中 9. （2011湖北潜江，5，3分）如图，ABEFCD，ABC46，CEF154，则BCE等于（ ） A23 B16 C20 D26 考点：平行线的性质。 专题：计算题。 分析：根据平行线的性质得到BCDABC46，FECECD180，求出E

22、CD，根据BCEBCDECD求出即可 解答：解：ABEFCD，ABC46，CEF154， BCDABC46，FECECD180， ECD180FEC26， BCEBCDECD462620 故选C 点评：本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键 10. （2011河池）如图，ABCD，AC与BD相交于点O，A=30，COD=105则D的大小是（） A、30 B、45 C、65 D、75 考点：平行线的性质；三角形内角和定理。 分析：首先根据两直线平行，内错角相等得出C=A=30，然后由COD的内角和为180，求出D的大小 解答：解：ABCD， C=A

23、=30 在COD中，C+COD+D=180， D=18030105=45 故选B 点评：本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，属于基础题型，比较简单 11. （2011安顺）如图，己知ABCD，BE平分ABC，CDE=150，则C的度数是（） A、100 B、110 C、120 D、150 考点：平行线的性质。 分析：由CDE=150，根据邻补角的定义，即可求得CDB的度数，又由ABCD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得ABD的度数，由BE平分ABC，求得ABC的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补，求得C的度数 解答：解：CDE=150， CDB=180CDE=30， ABCD，

24、 ABE=CDB=30， BE平分ABC， ABC=2ABD=60， ABCD， ABC+C=180， C=180ABC=120 故选C 点评：此题考查了平行线的性质，邻补角的定义与角平分线的定义解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用 12. （2011德州，4，3分）如图，直线l1l2，1=40，2=75，则3等于（） A、55 B、60 C、65 D、70 考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质。 分析：设2的对顶角为5，1在l2上的同位角为4，结合已知条件可推出1=4=40，2=5=75，即可得出3的度数 解答：解：直线l1l2，1=

25、40，2=75， 1=4=40，2=5=75， 3=65 故选C 点评：本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质和对顶角的性质，关键在于根据已知条件找到有关相等的角 13. （2011临沂，3，3分）如图己知ABCD，1=70，则2的度数是（） A、60 B、70 C、80 D、110 考点：平行线的性质。 分析：由ABCD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得2的度数，又由邻补角的性质，即可求得2的度数 解答：解：ABCD， 1=3=70， 2+3=180， 2=110 故选D 点评：此题考查了平行线的性质注意数形结合思想的应用 14. （2011泰安，8，3分）如图，lm，等腰直角三角

26、形ABC的直角顶点C在直线m上，若20，则的度数为（） A25 B30 C20 D35 考点：平行线的性质；对顶角邻补角；三角形的外角性质。 专题：计算题。 分析：根据平角的定义求出ACR，根据平行线的性质得出FDCACR70，求出AFD，即可得到答案 解答：解： 20，ACB90， ACR180902070， lm， FDCACR70， AFDFDCA704525， aAFD25， 故选A 点评：本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角邻补角等知识点的理解和掌握，求出AFD的度数是解此题的关键 15. （2011四川泸州，4，2分）如图，1与2互补，3=135，则4的度数是（）

27、A.45 B.55 C.65 D.75 考点：平行线的判定与性质；对顶角、邻补角专题：计算题 分析：因为1与2互补，所以ab，又因为3=5，所以4与5互补，则4的度数可求 解答：解：1与2互补， ab， 3=5， 5=135， ab， 4与5互补， 4=180135=45 故选A 点评：本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键 16. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 1=32，那么2的度数是（） A、32 B、58 C、68 D、60 【 答案】B 【考点】平行线的性质；余角和补角 【专题】计算题 【分析】本题主要利用

28、两直线平行，同位角相等及余角的定义作答 【解答】解：根据题意可知1+2=90，所以2=90-1=58故选B 【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质互为余角的两角的和为90解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果 17（2011南充，3，3分）如图，直线DE经过点A，DEBC，B=60，下列结论成立的是（） A、C=60 B、DAB=60 C、EAC=60 D、BAC=60 考点：平行线的性质。 专题：几何图形问题。 分析：根据平行线的性质，根据内错角相等，逐个排除选项即可得出结果 解答：解：A、无法判断，故本选项错误， B、B=60，DAB=60，故本

29、选项正确， C、无法判断，故本选项错误， D、无法判断，故本选项错误， 故选B 点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，难度适中. 18. （2011四川雅安，5,3分）如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1l2，若1=72，2=58，则3=（） A.45 B.50 C.60 D.58 考点：平行线的性质。 专题：证明题。 分析：根据两直线l1l2，推知内错角3=5；然后由对顶角2=4、三角形内角和定理以及等量代换求得3=50 解答：解：l1l2， 3=5（两直线平行，内错角相等）； 又2=4（对顶角），1=72，2=58， 5=50（三角形内角和定理）， 3=50（等量代换） 故选B 点评：本题考查是平行线的性质：两直线平行，内错角相等 19. （2011四川省宜宾市，4，3分）如图，直线AB、CD相交于点E，DFAB. 若D=70， 则CEB等于( ) A.70 B.8