高考精品复习第三篇导数及其应用第3讲 导数的应用二.docx

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高考精品复习第三篇导数及其应用第3讲导数的应用二

第3讲　导数的应用

（二）

【高考会这样考】

1．利用导数求函数的极值．

2．利用导数求函数闭区间上的最值．

3．利用导数解决某些实际问题．

【复习指导】

本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.

基础梳理

1．函数的极值

（1）判断f（x0）是极值的方法

一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极小值．

（2）求可导函数极值的步骤

①求f′（x）；

②求方程f′（x）＝0的根；

③检查f′（x）在方程f′（x）＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．

2．函数的最值

（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．

（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．

（3）设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f（x）在（a，b）内的极值；

②将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）；

（2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0；

（3）比较函数在区间端点和f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；

（4）回归实际问题作答．

两个注意

（1）注意实际问题中函数定义域的确定．

（2）在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

三个防范

（1）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．

（2）f′（x0）＝0是y＝f（x）在x＝x0取极值的既不充分也不必要条件．

如①y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导；

②f（x）＝x3，f′（0）＝0，但x＝0不是f（x）＝x3的极值点．

（3）若y＝f（x）可导，则f′（x0）＝0是f（x）在x＝x0处取极值的必要条件．

双基自测

1．（2011·福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（　　）．

A．2B．3C．6D．9

解析　f′（x）＝12x2－2ax－2b，由函数f（x）在x＝1处有极值，可知函数f（x）在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤2＝2＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．

答案　D

2．已知函数f（x）＝x4－x3＋2x2，则f（x）（　　）．

A．有极大值，无极小值B．有极大值，有极小值

C．有极小值，无极大值D．无极小值，无极大值

解析　f′（x）＝x3－4x2＋4x＝x（x－2）2

f′（x），f（x）随x变化情况如下

x

（－∞，0）

0

（0,2）

2

（2，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

0

＋

f（x）

0

因此有极小值无极大值．

答案　C

3．（2010·山东）已知某生产厂家的年利润y（单位：

万元）与年产量x（单位：

万件）的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（　　）．

A．13万件B．11万件

C．9万件D．7万件

解析　y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9（－9舍去）．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最大值，故选C.

答案　C

4．（2011·广东）函数f（x）＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

解析　f′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）

当x＜0时，f′（x）＞0，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故当x＝2时取得极小值．

答案　2

5．若函数f（x）＝在x＝1处取极值，则a＝________.

解析　∵f（x）在x＝1处取极值，∴f′

（1）＝0，

又f′（x）＝，

∴f′

（1）＝＝0，

即2×1×（1＋1）－（1＋a）＝0，故a＝3.

答案　3

考向一　函数的极值与导数

【例1】►（2011·重庆）设f（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′（x），若函数y＝f′（x）的图象关于直线x＝－对称，且f′

（1）＝0.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）的极值．

[审题视点]由条件x＝－为y＝f′（x）图象的对称轴及f′

（1）＝0求得a，b的值，再由f′（x）的符号求其极值．

解　

（1）因f（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1，

故f′（x）＝6x2＋2ax＋b.

从而f′（x）＝62＋b－，

即y＝f′（x）的图象关于直线x＝－对称，

从而由题设条件知－＝－，解得a＝3.

又由于f′

（1）＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.

（2）由

（1）知f（x）＝2x3＋3x2－12x＋1，

f′（x）＝6x2＋6x－12＝6（x－1）（x＋2）．

令f′（x）＝0，即6（x－1）（x＋2）＝0，

解得x1＝－2，x2＝1.

当x∈（－∞，－2）时，f′（x）＞0，

故f（x）在（－∞，－2）上为增函数；

当x∈（－2,1）时，f′（x）＜0，

故f（x）在（－2,1）上为减函数；

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，

故f（x）在（1，＋∞）上为增函数．

从而函数f（x）在x1＝－2处取得极大值f（－2）＝21，

在x2＝1处取得极小值f

（1）＝－6.

运用导数求可导函数y＝f（x）的极值的步骤：

（1）先求函数的定义域，再求函数y＝f（x）的导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）检查f′（x）在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值．

【训练1】（2011·安徽）设f（x）＝，其中a为正实数．

（1）当a＝时，求f（x）的极值点；

（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

解　对f（x）求导得f′（x）＝ex.①

（1）当a＝时，若f′（x）＝0，则4x2－8x＋3＝0，

解得x1＝，x2＝.

综合①，可知

x

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．

（2）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．

因此Δ＝4a2－4a＝4a（a－1）≤0，

由此并结合a＞0，知0＜a≤1.

考向二　函数的最值与导数

【例2】►已知a为实数，且函数f（x）＝（x2－4）（x－a）．

（1）求导函数f′（x）；

（2）若f′（－1）＝0，求函数f（x）在[－2,2]上的最大值、最小值．

[审题视点]先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值．

解　

（1）f（x）＝x3－ax2－4x＋4a，得f′（x）＝3x2－2ax－4.

（2）因为f′（－1）＝0，所以a＝，

有f（x）＝x3－x2－4x＋2，所以f′（x）＝3x2－x－4.

令f′（x）＝0，所以x＝或x＝－1.

又f＝－，f（－1）＝，f（－2）＝0，f

（2）＝0，

所以f（x）在[－2,2]上的最大值、最小值分别为、－.

一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f（x）必有最大值与最小值，在开区间（a，b）内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上单调递增，则f（a）是最小值，f（b）是最大值；反之，则f（a）是最大值，f（b）是最小值．

【训练2】函数f（x）＝x3＋ax2＋b的图象

在点P（1,0）处的切线与直线3x＋y＝0平行

（1）求a，b；

（2）求函数f（x）在[0，t]（t>0）内的最大值和最小值．

解　

（1）f′（x）＝3x2＋2ax

由已知条件

即解得

（2）由

（1）知f（x）＝x3－3x2＋2，

f′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2），

f′（x）与f（x）随x变化情况如下：

x

（－∞，0）

0

（0,2）

2

（2，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

2

－2

由f（x）＝f（0）解得x＝0，或x＝3

因此根据f（x）的图象

当0

最小值为f（t）＝t3－3t2＋2；

当2

最小值为f

（2）＝－2；

当t>3时，f（x）的最大值为f（t）＝t3－3t2＋2，最小值为

f

（2）＝－2.

考向三　用导数解决生活中的优化问题

【例3】►（2011·江苏）请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．

（1）若广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

[审题视点]由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义．

解　设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm）．由已知得a＝x，h＝＝（30－x），0＜x＜30.

（1）S＝4ah＝8x（30－x）＝－8（x－15）2＋1800，

所以当x＝15时，S取得最大值．

（2）V＝a2h＝2（－x3＋30x2），V′＝6x（20－x）．

由V′＝0得x＝0（舍去）或x＝20.

当x∈（0,20）时，V′＞0；当x∈（20,30）时，V′＜0.

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.

在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大（小）值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．

【训练3】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

y＝x3－x＋8（0

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？

最少为多少升？

解　

（1）设汽车以x千米/小时的速度行驶时，其耗油量为

f（x）＝