北师大版八年级数学下册教案1.docx
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北师大版八年级数学下册教案1
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三、课堂练习
解下列不等式组
（1）
（2）
［解］
（1）
解不等式
（1），得x＜2
解不等式
（2），得x＞3
在同一数轴上表示不等式
（1）、
（2）的解集，
所以，原不等式组无解.
（2）
解：
解不等式
（1），得x＞2
解不等式
（2），得x＞3
在同一数轴上表示不等式
（1），
（2）的解集，如下图
所以，原不等式组的解集为x＞3.
第二章分解因式
2.1分解因式
一、教学目标
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
二、教学过程
一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.
解法一：
S=×+×+×=++=2
解法二：
S=×+×+×=（++）=×4=2
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
［例1］将下列各式分解因式：
（1）3x+6;
（2）7x2－21x;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
（4）－24x3－12x2+28x.
分析：
首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
解：
（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;
（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c
=ab（8a2b－12b2c+c）
（4）－24x3－12x2+28x
=－4x（6x2+3x－7）
三、课堂练习
1.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb（m）
（2）4kx－8ky（4k）
（3）5y3+20y2（5y2）
（4）a2b－2ab2+ab（ab）
2.把下列各式分解因式
（1）8x－72=8（x－9）
（2）a2b－5ab=ab（a－5）
（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）
（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）
（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）
（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）
四、课后作业
1.解：
（1）2x2－4x=2x（x－2）;
（2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）;
（3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）;
（4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）;
（5）－24x2y－12xy2+28y3
=－（24x2y+12xy2－28y3）
=－4y（6x2+3xy－7y2）;
（6）－4a3b3+6a2b－2ab
=－（4a3b3－6a2b+2ab）
=－2ab（2a2b2－3a+1）;
（7）－2x2－12xy2+8xy3
=－（2x2+12xy2－8xy3）
=－2x（x+6y2－4y3）;
（8）－3ma3+6ma2－12ma
=－（3ma3－6ma2+12ma）
=－3ma（a2－2a+4）;
2.利用因式分解进行计算
（1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21
=12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1
=12.1×（1.3+0.9－1.2）
=12.1×1=12.1
（2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.4
=13.2×（2.34+0.66－2）
=13.2×1=13.2
（3）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时
πR12+πR22+πR32
=π（R12+R22+R32）
=3.14×（202+162+122）
=2512
2.2提公因式法
一、教学目标
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
例1把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
分析：
这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.
解：
a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）
［例2］把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2.
分析：
虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.
解：
（1）a（x－y）+b（y－x）
=a（x－y）－b（x－y）
=（x－y）（a－b）
（2）6（m－n）3－12（n－m）2
=6（m－n）3－12［－（m－n）］2
=6（m－n）3－12（m－n）2
=6（m－n）2（m－n－2）.
二、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）;
（2）y－x=__________（x－y）;
（3）b+a=__________（a+b）;
（4）（b－a）2=__________（a－b）2;
（5）－m－n=__________－（m+n）;
（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.
解：
（1）2－a=－（a－2）;
（2）y－x=－（x－y）;
（3）b+a=+（a+b）;
（4）（b－a）2=+（a－b）2;
（5）－m－n=－（m+n）;
（6）－s2+t2=－（s2－t2）.
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
解：
（1）x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）;
（2）3a（x－y）－（x－y）
=（x－y）（3a－1）;
（3）6（p+q）2－12（q+p）
=6（p+q）2－12（p+q）
=6（p+q）（p+q－2）;
（4）a（m－2）+b（2－m）
=a（m－2）－b（m－2）
=（m－2）（a－b）;
（5）2（y－x）2+3（x－y）
=2［－（x－y）］2+3（x－y）
=2（x－y）2+3（x－y）
=（x－y）（2x－2y+3）;
（6）mn（m－n）－m（n－m）2
=mn（m－n）－m（m－n）2
=m（m－n）［n－（m－n）］
=m（m－n）（2n－m）.
补充练习
把下列各式分解因式
解：
1.5（x－y）3+10（y－x）2
=5（x－y）3+10（x－y）2
=5（x－y）2［（x－y）+2］
=5（x－y）2（x－y+2）;
2.m（a－b）－n（b－a）
=m（a－b）+n（a－b）
=（a－b）（m+n）;
3.m（m－n）+n（n－m）
=m（m－n）－n（m－n）
=（m－n）（m－n）=（m－n）2;
4.m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）
=m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q）
=（m－n）（p－q）（m+n）;
5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）
=（b－a）2－a（b－a）+b（b－a）
=（b－a）［（b－a）－a+b］
=（b－a）（b－a－a+b）
=（b－a）（2b－2a）
=2（b－a）（b－a）
=2（b－a）2
2.3运用公式法
（一）
一、教学目标
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
二、教学过程
1.请看乘法公式
（a+b）（a－b）=a2－b2
（1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a2－b2=（a+b）（a－b）
（2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.
利用平方差公式进行的因式分解.第
（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第
（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
观察式子a2－b2,找出它的特点.
答：
是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.
如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.
如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.
9m2－4n2=（3m）2－（2n）2
=（3m+2n）（3m－2n）
3.例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－b2.
解：
（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－b2=（3a）2－（b）2
=（3a+b）（3a－b）.
［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2;
（2）2x3－8x.
解：
（1）9（m+n）2－（m－n）2
=［3（m+n）］2－（m－n）2
=［3（m+n）+（m－n）］［3（m+n）－（m－n）］
=（3m+3n+m－n）（3m+3n－m+n）
=（4m+2n）（2m+4n）
=4（2m+n）（m+2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）
=2x（x+2）（x－2）
说明：
例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的
（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的
（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.
三、课堂练习
1.判断正误
解：
（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（×）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（√）
（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;（×）
（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.（×）
2.把下列各式分解因式
解：
（1）a2b2－m2
=（ab）2－m2
=（ab+m）（ab－m）;
（2）（m－a）2－（n+b）2
=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］
=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;
（3）x2－（a+b－c）2
=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］
=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;
（4）－16x4+81y4
=（9y2）2－（4x2）2
=（9y2+4x2）（9y2－4x2）
=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）
3.解：
S剩余=a2－4b2.
当a=3.6,b=0.8时，
S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）
答：
剩余部分的面积为10.4cm2.
四、课后作业
1.解：
（1）a2－81=（a+9）（a－9）;
（2）36－x2=（6+x）（6－x）;
（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;
（4）m2－9n2=（m+3n）（m－3n）;
（5）0.25q2－121p2
=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;
（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;
（7）9a2p2－b2q2
=（3ap+bq）（3ap－bq）;
（8）a2－x2y2=（a+xy）（a－xy）;
2.解：
（1）（m+n）2－n2=（m+n+n）（m+n－n）=m（m+2n）;
（2）49（a－b）2－16（a+b）2
=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2
=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］
=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）
=（11a－3b）（3a－11b）;
（3）（2x+y）2－（x+2y）2
=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］
=（3x+3y）（x－y）
=3（x+y）（x－y）;
（4）（x2+y2）－x2y2
=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;
（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）
=3a（x+y2）（x－y2）
（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）
=（p2+1）（p+1）（p－1）.
3.解：
S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）
=π（R+r）（R－r）
当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，
S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）
答：
两圆所围成的环形的面积为186.83cm2.
Ⅵ.活动与探究
把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式
解：
（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc
=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc
=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc
=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2
=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］
=（b+c）［a2+bc+ab+ac］
=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］
=（b+c）（a+b）（a+c）
运用公式法
（二）
一、教学目标
1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.
二、教学过程
在前面我们不仅学习了平方差公式
（a+b）（a－b）=a2－b2
而且还学习了完全平方公式
（a±b）2=a2±2ab+b2
三、新课
判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.
1.例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）（m+n）2－6（m+n）+9.
［师］分析：
大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.
解：
（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2
（2）（m+n）2－6（m+n）+9=（m+n）2－2·（m+n）×3+32=［（m+n）－3］2=（m+n－3）2.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2;
（2）－x2－4y2+4xy.
［师］分析：
对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
解：
（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
（2）－x2－4y2+4xy
=－（x2－4xy+4y2）
=－［x2－2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2
四、课堂练习
1.
（1）是完全平方式
x2－x+=x2－2·x·+（）2=（x－）2
（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求.
（3）是完全平方式
m2+3mn+9n2
=（m）2＋2×m×3n+（3n）2
=（m+3n）2
（4）不是完全平方式
2.
（1）x2－12xy+36y2
=x2－2·x·6y+（6y）2
=（x－6y）2;
（2）16a4+24a2b2+9b4
=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2
=（4a2+3b2）2
（3）－2xy－x2－y2
=－（x2+2xy+y2）
=－（x+y）2;
（4）4－12（x－y）+9（x－y）2
=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2
=［2－3（x－y）］2
=（2－3x+3y）2
五、课后作业
1.
（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;
（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;
（3）y2+y+=（y+）2;
（4）25m2－80m+64=（5m－8）2;
（5）+xy+y2=（+y）2;
（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2
2.
（1）（x+y）2+6（x+y）+9
=［（x+y）+3］2
=（x+y+3）2;
（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2
=［a－（b+c）］2
=（a－b－c）2;
（3）4xy2－4x2y－y3
=y（4xy－4x2－y2）
=－y（4x2－4xy+y2）
=－y（2x－y）2;
（4）－a+2a2－a3
=－（a－2a2+a3）
=－a（1－2a+a2）
=－a（1－a）2.
3.设两个奇数分别为x、x－2,得
x2－（x－2）2
=［x+（x－2）］［x－（x－2）］
=（x+x－2）（x－x+2）
=2（2x－2）
=4（x－1）
第三章分式
3.1分式
一、教学目标
1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.
2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.
3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.
二、教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
这一问题中有哪些等量关系？
如果原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月.
根据题意，可得方程____________.
根据题意，我认为这个问题的等量关系是：
实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.
（1）
这个问题的等量关系也可以是：
原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.
（2）
在这个问题中，涉及到了三个基本量：
工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作时间.
如果用第
（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？
因为第
（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷.
原计划完成一期工程需个月，
实际完成一期工程需c个月，
根据等量关系
（1）可列出方程：
+4=.
用等量关系
（2）设未知数，列方程呢？
因为等量关系
（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x－4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程.
同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？
我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如，,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易.
像这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.
2.例题讲解
（1）下列各式中，哪些是整式？
哪些是分式？
5x－7,3x2－1,,,－5,,,.
（2）①当a=1，2时，分别求分式的值.
②当a为何值时，分式有意义？
③当a为何值时，分式的值为零？
（1）中5x－7,3x2－1,,－5,是整式；,,是分式.
（2）解：
①当a=1时，==1;
当a=2时，==.
②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
由分母2a=0，得a=0.
所以，当a取零以外的任何实数时，分式有意义.
③分式的值为零，包含两层意思：
首先分式有意义，其次，它的值为零.因此a的取值有两个要求：
所以，当a=－1时，分母不为零，分子为零，分式为零.
三、随堂练习
1.当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；
（2）;（3）
分析：
当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
解：
（1）由分母x－1=0，得x=1.
所以，当x取除1以外的任何实数时，分式都有意义.
（2）由分母x2－9=0，得x=±3.
所以，当x取除3和－3以外的任何实数时，分式都有意义.
（3）由分母x2+1可知，x取任何实数时，x2是一个非负数，所以x2+1不管x取何实数时，x2+1都不会为零.即x取任何实数，都有意义.
2.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1kg这种混合饮料需多少甲种饮料？
解：
根据题意，调制1kg这种混合饮料需kg甲种饮料.
3.2分式的乘除法
一、教学目标
1.分式乘除法的运算法则，
2.会进行分式的乘除法的运算.
二、教学过程
探索、交流——观察下列算式：
×=,×=,
÷=×=,÷=×=.
猜一猜×=?
÷=?
观察上面运算，可知：
两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.
即×=;
÷=×=.
这里字母a,b,c,d都是整数，但a,c,d不为零.
1.分式的乘除法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
2.例题讲解
［例1］计算：
（1）·;
（2）·.
分析：
（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；
（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.
解：
（1）·=
==;
（2）·
==.
［例2］计算：
（1）3xy2÷;
（2）÷
分析：
（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；
（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.
解：
（1）3xy2÷=3xy2·
==x2;
（2）÷
=×
=
=
=
3.做一做
通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V=πR3（其中R为球的半径），那么
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意，可得：
（1）整个西瓜的体积为V1=πR3;
西瓜瓤的体积为V2=π（R－d）3.
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：
==
=（）3=（1－）3.
（3）我认为买大西瓜合算.
由=（1－）3可知，R越大，即西瓜越大，的值越小，（1－）的值越大，（1－）3也越大，则的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西瓜更合算.
三、随堂练习
1.计算：
（1）·;
（2）（a2－a）÷;（3）÷
2.化简：
（1）÷;
（2）（ab－b2）÷
解：
1.
（1）·===;
（2）（a2－a）÷=（a2－a）×
==（a－1）2
=a2－2a+1
（3）÷=×
==（x－1）y=xy－y.
2.
（1）÷
=×
=
=（x－2）（x+2）=x2－4
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