第一章 学案7.docx

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第一章学案7

学案7　电势差与电场强度的关系

[学习目标]　1.理解在匀强电场中电势差与电场强度的关系：

U＝Ed，并了解其适用条件.2.会用U＝Ed或E＝

解决有关问题．

[导学探究]　如图1所示的一个匀强电场，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为U，A、B之间相距为d.现将一个电荷量为q的电荷由A移到B.

图1

（1）从力和位移的角度计算静电力所做功的大小；通过A、B间的电势差计算静电力做功的大小．

（2）比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系．

（3）B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？

答案　

（1）WAB＝Fd＝qEd　WAB＝qUAB　

（2）UAB＝Ed　（3）UAC＝Ed

[知识梳理]　匀强电场中电势差与电场强度的关系

（1）匀强电场中两点间的电势差UAB＝Ed.

此公式只适用于匀强电场，其中d为A、B两点沿电场方向的距离．

（2）公式E＝

说明电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，且场强方向就是电势降低最快的方向．

（3）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等．

[即学即用]　对公式E＝

的理解，下列说法正确的是（　　）

A．此公式适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差

B．A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大

C．公式中d是指A点和B点之间的距离

D．公式中的d是匀强电场中A、B两个等势面间的垂直距离

答案　D

解析　公式E＝

只适用于匀强电场，A错；公式中的d是A、B两个等势面间的垂直距离，A点和B点间距离大，等势面间的垂直距离不一定大，故B、C错，D正确．

一、对电场强度的进一步理解

关于场强的三个表达式的比较

区别

公式

物理含义

引入过程

适用范围

说明

E＝

电场强度大小的定义式

E与F、q无关，是反映某点电场的性质

一切电场

q为试探电荷的电荷量

E＝k

真空中点电荷场强的决定式

由E＝

和库仑定律导出

在真空中，场源电荷Q是点电荷

Q为场源电荷的电荷量

E＝

匀强电场中场强的决定式

由F＝qE和W＝qU导出

匀强电场

d为沿电场方向的距离

例1　如图2所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上做一个半径为10cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1350V，

图2

（1）求匀强电场的场强大小．

（2）若在圆心O处放置电荷量为10－8C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向．（结果保留三位有效数字）

解析　

（1）由题图知A、B两点在匀强电场方向上的距离d＝r＋

＝0.15m，所以匀强电场场强E＝

＝9000V/m.

（2）设正点电荷在C处产生的电场强度为E1，则

E1＝

＝9×103N/C，方向由O指向C.

C处另有匀强电场，场强E＝9×103N/C，方向水平向右，与E1垂直，根据矢量合成的平行四边形定则，C处合电场的场强为E′＝

≈1.27×104N/C，方向与E1、E成45°角．

答案　

（1）9000V/m　

（2）1.27×104N/C，方向与水平方向成45°角

二、对电势差与电场强度关系的理解

例2　如图3所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100V/m，则O、P两点的电势差可表示为（　　）

图3

A．UOP＝－10sinθ（V）B．UOP＝10sinθ（V）

C．UOP＝－10cosθ（V）D．UOP＝10cosθ（V）

答案　A

解析　由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的，沿着电场线的方向电势是降低的，所以P点的电势高于O点的电势，O、P两点的电势差UOP为负值．根据电势差与场强的关系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsinθ＝－10sinθ（V），所以A正确．

例3　如图4所示，P、Q两金属板间的电势差为50V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4cm.求：

图4

（1）P板及A点的电势．

（2）保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5cm，则A点的电势将变为多少？

解析　板间场强方向水平向左，可见Q板电势最高．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．利用公式E＝

可求出板间匀强电场的场强，再由U＝Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势．

（1）场强E＝

＝

V·m－1＝5×102V·m－1

Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×（10－4）×10－2V＝30V

所以A点电势φA＝－30V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50V

（2）当Q板向左平移5cm时，两板间距离d″＝（10－5）cm＝5cm

Q板与A点间距离变为d＝（10－4）cm－5cm＝1cm

电场强度E′＝

＝

V·m－1

＝1.0×103V·m－1

Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2V＝10V

所以A点电势φA＝－10V.

答案　

（1）－50V　－30V　

（2）－10V

[方法技巧]

（1）公式UAB＝Ed中的“d”指电场中两点沿电场方向的距离，如果电场中两点不沿场强方向，d的取值应为两点连线在场强方向的投影．

（2）在应用公式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向我们可根据题意另作判断．

（3）电场强度与电势差的关系式也可写作E＝

，它的意义是：

电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．

三、非匀强电场中的电势差与电场强度的关系

例4　如图5所示为某一电场的电场线和等势面．已知φa＝5V，φc＝3V，ab＝bc，则（　　）

图5

A．φb＝4VB．φb>4V

C．φb<4VD．上述情况都有可能

解析　由于是非匀强电场，不能根据公式U＝Ed进行定量计算，只能进行定性分析，由电场线的疏密可以分析ab和bc间的平均场强Eab>Ebc，所以Uab>Ubc，C正确．

答案　C

[总结提升]

（1）公式U＝Ed只能适用于计算匀强电场的电势差，不能计算非匀强电场的电势差，但可以定性分析非匀强电场场强和电势差．

（2）在一幅等势面图中，若相邻等势面间的电势差相等，相邻等势面的间距越小（等势面越密），场强E＝

就越大．

针对训练　如图6所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出．仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则（　　）

图6

A．a一定带正电，b一定带负电

B．a加速度减小，b加速度增大

C．MN电势差|UMN|等于NQ两点电势差|UNQ|

D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小

答案　B

解析　由带电粒子的运动轨迹，结合曲线运动的特点可知带电粒子所受的电场力方向，因为电场线的方向不确定，故不能判断带电粒子带电的性质，故A选项错误；由电场线的疏密可知，a加速度将减小，b加速度将增大，故B选项正确；因为是非匀强电场，故MN电势差并不等于NQ两点电势差，故C选项错误；因为等势线1与2之间的电场强度比2与3之间的电场强度要大，故1、2之间的电势差要大于2、3之间的电势差，但两粒子的带电荷量大小不确定，故无法比较动能变化量的大小，故D选项错误．

1．关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是（　　）

A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积

B．沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等

C．电势降低的方向必是场强方向

D．在相同距离的两点上，电势差大的场强也大

答案　B

解析　本题的关键是理解匀强电场中场强与电势差的关系，公式E＝

中，d是沿场强方向上两点的距离，由此很容易判断出A、D错，B正确；场强的方向是电势降低最快的方向，电场降低的方向不一定是场强方向，故C错．

2．如图7所示，匀强电场的电场强度E＝100V/m，A、B两点相距LAB＝10cm，A、B连线与电场线的夹角为60°，则UBA为（　　）

图7

A．－10VB．10V

C．－5VD．－3V

答案　C

3.如图8所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a至c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以断定（　　）

图8

A．Ea＞Eb＞EcB．φa＞φb＞φc

C．φa－φb＝φb－φcD．Ea＝Eb＝Ec

答案　B

4．（多选）如图9所示，A、B两板间电压为600V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12cm，C点离A板4cm，下列说法正确的是（　　）

图9

A．E＝2000V/m，φC＝200V

B．E＝5000V/m，φC＝－200V

C．电子在C点具有的电势能为－200eV

D．电子在C点具有的电势能为200eV

答案　BD

解析　A板接地，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600V，则B板电势为－600V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝

＝

＝50V/cm＝5000V/m，φC＝EdC＝50V/cm×（－4cm）＝－200V，A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200eV，C错误，D正确．

一、选择题（1～6题为单选题，7～10题为多选题）

1．下列说法正确的是（　　）

A．由公式E＝

得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比

B．由公式E＝

得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小

C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积

D．公式E＝

只适用匀强电场

答案　D

2．正常情况下空气是不导电的，但是如果空气中的电场很强，空气也可以被击穿，空气被击穿时会看到电火花或闪电．若观察到某次闪电的火花长约100m，且已知空气的击穿场强为3×106V/m，那么发生此次闪电的电势差约为（　　）

A．3×108VB．3×106V

C．3×104VD．3×10－5V

答案　A

解析　将空气中的电场视为匀强电场，由U＝Ed，可得U＝3×108V，故选A.

3．如图1所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为（　　）

图1

A．竖直向下，E＝0.4N/C

B．水平向右，E＝0.4N/C

C．水平向左，E＝40N/C

D．水平向右，E＝40V/m

答案　D

解析　电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝

＝

V/m＝40V/m，故D项正确．

4.如图2所示的匀强电场场强为103N/C，ab、cd平行于电场线，ac、bd垂直于电场线，ab＝cd＝4cm，ac＝bd＝3cm.则下述计算结果正确的是（　　）

图2

A．a、b之间的电势差为40V

B．a、c之间的电势差为50V

C．将q＝－5×10－3C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25J

D．将q＝－5×10－3C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25J

答案　A

解析　由U＝Ed得Uab＝103×0.04V＝40V，A正确；a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝（－5×10－3）×40J＝－0.2J，D错误．

5．如图3所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5cm，电势差为25V，在电场中P点固定放置电荷量为5×10－9C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的（　　）

图3

A．上方30cmB．下方30cm

C．上方25cmD．下方25cm

答案　B

解析　匀强电场的场强E＝

＝

V/m＝500V/m，设距P点L处的合场强为零，则k

＝9×109×

V/m＝500V/m，故L＝0.3m，负点电荷在L处的电场竖直向上，该点在电场中P点的下方，B正确．

6．如图4所示，充电的平行板电容器两板间形成匀强电场，以A点为坐标原点，AB方向为位移x的正方向，能正确反映电势φ随位移x变化的图象是（　　）

图4

答案　C

7．如图5所示，在电场中任意取一条电场线，电场线上的a、b两点相距为d，则（　　）

图5

A．a点场强一定大于b点的场强

B．a点的电势一定高于b点的电势

C．a、b两点间的电势差一定等于Ed（E为a点的场强）

D．a、b两点间的电势差在数值上等于单位正电荷由a点沿任意路径移动到b点的过程中电场力所做的功

答案　BD

解析　场强方向不能表示场强大小，A项错；沿场强方向电势降低，B项对；因为此电场不一定是匀强电场，C项错；由电势差的定义知D项对．

8.如图6所示，一电场的电场线分布关于y轴（沿竖直方向）对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是（　　）

图6

A．M点的电势比P点的电势高

B．将负电荷由O点移动到P点，电场力做正功

C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差

D．M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差

答案　AD

解析　根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断M点的电势比P点的电势高，A正确．负电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误．根据U＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确．

9．在场强为E＝1×102V/m的匀强电场中，有相距d＝2×10－2m的a、b两点，则a、b两点间的电势差可能为（　　）

A．1VB．2V

C．3VD．4V

答案　AB

解析　由U＝Ed可知当d最大时，U最大，代入数值可得U最大值为2V；当a、b位于同一等势面上时，U＝0，则最小值为零，故A、B可能，C、D不可能．

10．如图7所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有（　　）

图7

A．φA＞φB＞φCB．EC＞EB＞EA

C．UAB＜UBCD．UAB＝UBC

答案　ABC

解析　由题图中电场线的分布规律可知，电场不是匀强电场，C附近稠密，A附近稀疏，C附近的场强大于A附近的场强，选项B正确；由公式U＝Ed知：

UBC＞UAB，选项C正确，D错误；由电场线的方向是电势降低的方向得选项A正确．故选A、B、C.

二、非选择题

11．如图8所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们之间的距离为2cm，两点的连线与场强方向成60°角．将一个电荷量为－2×10－5C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.1J．问：

图8

（1）在此过程中，电场力对该电荷做了多少功？

（2）A、B两点的电势差UAB为多大？

（3）匀强电场的场强为多大？

答案　

（1）－0.1J　

（2）5000V　（3）5×105V/m

解析　

（1）电势能增加多少，电场力就做多少负功，故电场力对电荷做了－0.1J的功．

（2）由W＝qU，得

UAB＝

＝

V＝5000V.

（3）由U＝Ed，得E＝

＝

＝5×105V/m.

12．如图9所示，平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102V/m，极板间距离d＝5cm，电场中C点和D点分别到A、B两板的距离均为0.5cm，B板接地，求：

图9

（1）C、D两点的电势、两点间电势差各为多少？

（2）将点电荷q＝2×10－2C从C点匀速移到D点时外力做多少功？

答案　

（1）－5.4V　－0.6V　－4.8V　

（2）9.6×10－2J

解析　

（1）因正极板接地，故板间各点电势均小于零，由U＝Ed得

UBD＝EdBD＝1.2×102×0.5×10－2V＝0.6V，

即φD＝－0.6V.

由于dCB＝5cm－0.5cm＝4.5cm＝4.5×10－2m，

所以UCB＝－EdCB＝－1.2×102×4.5×10－2V

＝－5.4V＝φC.

所以UCD＝φC－φD＝－5.4V－（－0.6V）＝－4.8V.

（2）因为匀速移动，外力所做的功等于克服电场力所做的功W外＝|qUCD|＝2×10－2×4.8J＝9.6×10－2J.

13.如图10所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：

图10

（1）小球应带何种电荷及其电荷量；

（2）小球受到的合外力；

（3）在入射方向上小球运动的最大位移xm.（电场足够大）

答案　

（1）正电荷　

（2）

mg　（3）

解析　

（1）作电场线如图（a）所示．由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图（b）所示．只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动．由图（b）知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝

，所以q＝

＝

.

（2）由图（b）知，

F合＝

＝

mg.

（3）由动能定理得－F合xm＝0－

mv

所以xm＝

＝

.