新课标最新浙教版九年级数学上学期《相似三角形的性质及应用》同步练习1及答案精编试题.docx

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新课标最新浙教版九年级数学上学期《相似三角形的性质及应用》同步练习1及答案精编试题

4.5相似三角形的性质及其应用

（二）

1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为（C）

A.1∶2　　B.1∶3　　C.1∶4　　D.1∶16

2．已知△ABC的三边长分别为4，2，3，△ABC与△A′B′C′相似，△A′B′C′的周长为15，则△A′B′C′的最大边长为（C）

A.4　B.C.　D.6

3．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边长AB，BC，AC的中点，则△DEF与△ABC的面积之比为（A）

A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶

（第3题）　　（第4题）

4．如图，D，E分别为△ABC的边长AB，AC上的中点，则△ADE与四边形BCED的面积的比为（B）

A.1∶2B.1∶3C.1∶4　D.1∶1

5．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28，则△ABC的面积为__36__．

6．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，∠1＝∠B，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，则△ADE的周长为10．

（第6题）

7．如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，求的值．

（第7题）

【解】　∵＝，

∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC＝a.

∵BF⊥AC，四边形ABCD为矩形，

∴易得△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，

∴BC2＝CE·AC，AB2＝AE·AC，

∴a2＝CE·a，（2a）2＝AE·a，

∴CE＝，AE＝，∴＝.

易得△CEF∽△AEB，∴＝＝.

8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若＝，S△ABC＝25，求S▱BFED.

（第8题）

【解】　∵DE∥BC，EF∥AB，

∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB.

∴＝，＝.

∵＝，∴＝，＝.

∵S△ABC＝25，∴S△ADE＝4，S△CEF＝9，

∴S▱BFED＝25－4－9＝12.

9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为（D）

（第9题）

A.B.

C.D.

【解】　∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，

∴BE∶EC＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4.

∵DE∥AC，

∴△DOE∽△AOC，△BDE∽△BAC，

∴＝＝，∴S△DOE∶S△AOC＝＝.

10．如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半．若AB＝，则此三角形移动的距离AA′＝－1．

（第10题）

【解】　设BC与A′C′交于点E.

易知AC∥A′C′，∴△BEA′∽△BCA，

∴S△BEA′∶S△BCA＝A′B2∶AB2＝1∶2.

∵AB＝，∴A′B＝1，

∴AA′＝AB－A′B＝－1.

11．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）.

（第11题）

【解】　过点F作FG⊥AE于点G.

∵△ABC∽△ADE，∴＝＝4，

∴S△ADE＝，∴正三角形ADE的边长为1.

∵∠EAD＝∠CAB＝60°，

∴∠EAF＝∠BAD＝45°，∴FG＝AG.

在Rt△EGF中，设EG＝x，则易得FG＝x，

∴x＋x＝1，∴x＝，∴FG＝.

∴S△AEF＝AE·FG＝.

12．如图，已知A是反比例函数y＝在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边向右作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在反比例函数y＝上运动，则k的值是－3__．

（第12题）

（第12题解）

【解】　∵反比例函数y＝的图象关于原点对称，

∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB.

连结OC，如解图．

∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，

∴OC⊥AB，∠BAC＝60°.

∴AC＝2OA.∴OC＝OA.

过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F.

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，

∴∠AEO＝∠OFC＝90°，

∴∠AOE＝90°－∠FOC＝∠OCF，

∴△OFC∽△AEO，且相似比＝，

∴＝＝3.

设点A的坐标为（a，b）．

∵点A在双曲线y＝上，∴S△AEO＝ab＝，∴S△OFC＝FC·OF＝.

设点C的坐标为（x，y）．

∵点C在第四象限，∴FC＝x，OF＝－y.

∴FC·OF＝x·（－y）＝－xy＝3.

∵点C在双曲线y＝上，∴k＝xy＝－3.

（第13题）

13．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，并将△ABC分成面积分别为S1，S2，S3的三块．若S1∶S2∶S3＝1∶4∶10，BC＝15，求DE，FG的长．

【解】　∵DE∥FG∥BC，

∴△ADE∽△AFG∽△ABC，

∴＝，＝，

即＝，＝.

设S1＝k，则S2＝4k，S3＝10k，

∴＝＝，＝＝，

∴DE＝，FG＝5.

14．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处．

（第14题）

（1）如图①，已知折痕与边BC相交于点O.

①求证：

△OCP∽△PDA.

②若△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，求边AB的长．

（2）若图①中的P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数．

（3）如图②，在

（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP.动点M在线段AP上（点M不与点P，A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，过点M作ME⊥BP于点E.试问：

在点M，N移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？

若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长度．

【解】　

（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.

由折叠的性质，得∠APO＝∠B＝∠C＝90°，

∴∠POC＝90°－∠CPO＝∠APD.

又∵∠C＝∠D，∴△OCP∽△PDA.

②∵△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，△OCP∽△PDA，

∴＝＝＝＝，

∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP.

∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.

设OP＝x，则OB＝x，OC＝8－x.

在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，OC＝8－x，

∴x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，

∴AB＝AP＝2OP＝10，∴边AB的长为10.

（2）∵P是CD边的中点，∴DP＝DC.

∵DC＝AB，AB＝AP，∴DP＝AP.

∵∠D＝90°，∴∠DAP＝30°.

∵∠DAB＝90°，∠OAP＝∠OAB，

∴∠OAB＝30°.

（3）过点M作MQ∥AN交PB于点Q.

∵AP＝AB，MQ∥AN，

∴∠APB＝∠ABP，∠ABP＝∠MQP，

∴∠APB＝∠MQP，∴MP＝MQ.

∵ME⊥PQ，∴PE＝QE＝PQ.

∵BN＝MP，MP＝MQ，∴BN＝MQ.

∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.

又∵∠QFM＝∠BFN，QM＝BN，

∴△MFQ≌△NFB（AAS），

∴QF＝BF，∴QF＝QB，

∴EF＝EQ＋QF＝PQ＋QB＝PB.

由

（1）中的结论，得CP＝4，BC＝8，∠C＝90°，

∴PB＝＝4，∴EF＝PB＝2，

∴在

（1）的条件下，在点M，N移动的过程中，线段EF的长度不变，为2.