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全国高考文科数学试题及答案

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文科数学

本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。

第I卷1至3页,第n卷4至6页。

注意事项:

1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮

擦干净后,在选涂其他答案标号。

第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作

答,答案无效。

3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一、选择题:

本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的。

(1)已知集合A={x|x=3n+2,n-N},B={6,8,12,14},则集合A-B中元素的个数为

(A)5(B)4(C)3(D)2

TT

(2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=

(A)(-7,-4)(B)(7,4)(C)(-1,4)(D)(1,4)

(3)已知复数z满足(z-1)i=i+1,则z=

(A)-2-I(B)-2+I(C)2-I(D)2+i

(4)如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,

4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为

10111

(A)(B)(C)(D)

351020

1

(5)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:

y2=8x的焦点重合,A,

2

(A)3

(B)6

(C)9

(D)12

B是C的准线与E的两个焦点,贝U|AB|=

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:

“今有委米依垣内角,

下周八尺,高五尺。

问:

积及为米几何?

”其意思为:

“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?

”已

知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有

A.14斛B.22

M2

斛C.36斛D.66斛

(7)已知住J是公差为1

的等差数列,

17

(A)—

2

19

(B)—

2

(C)10(D)12

f(x)的单调递减区间为

(A)(2k

 

-1

(A)(k亠,k

(A)(2k-_,2k

4

(10)已知函数

t=0.01,则输出的n=

(D)8

(A)-7

4

(B)-4

—2、x<1

“Tx彳、1,且f(a)=-3,则f(6-a)=

l-log2(x+l)fi>l

31

(C)-(D)--

44

 

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正

(A)1

(B)2

(C)4

(D)8

(12)设函数y=f(x)的图像关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=

(A)-1(B)1(C)2(D)4

第口卷

注意事项:

第n卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试卷上作答,答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。

二填空题:

本大题共4小题,每小题5分

(13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和。

若-Sn=126,则n=.

(14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f

(1))处的切线过点(2,7),则a=.

|Fx+y-2<0

x-2y+1兰0

(15)x,y满足约束条件(2x-y+2>0,贝yz=3x+y的最大值为.

2

(16)已知F是双曲线C:

x2-止=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6.6).当AAPF周长最小是,该三角形的面积为三.解答题:

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

(17)(本小题满分12分)

2

已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sinB=2sinAsinC

(I)若a=b,求cosB;

(n)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积

(18)(本小题满分12分)

如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE±平面ABCD.

(n)若/ABC=120,AE丄EC,三棱锥一ACD的体积为,匕,求该三棱锥的侧面积

3

(19)(本小题满分12分)

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:

千元)对年销售量

y(单位:

t)和年利润z(单位:

千元)的影响,对近8年的年宣传费暑[和年销售量(i=1,2,•…,

8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。

620-.

600-.■*

580-♦

560-*

540-■

520-

500r*

j[电」」」丄—I'I—I

4SU343638404244464850525456

年壷传费/千元

1

1

x

->y

w

8

迟(Xi—X)2

i:

i

8

Z(Wj-w)2

i4

8

Z(x-x)(yi-勺)

iA

8

Z(Wi-w)(yi-y)

i吕

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

18

表中W=px1,,W=—Ew18i=!

(I)根据散点图判断,y二abx与y二C・d、&哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的

回归方程类型?

(给出判断即可,不必说明理由)

(H)根据(I)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;

(川)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。

根据(n)的结果回答下列问题:

(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?

(ii)年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?

附:

对于一组数据(U1vl),(U2v2)..(Unvn),其回归线V=很亠卩U的斜率和截距的

最小二乘估计分别为:

^(u,

二二—一

(20)(本小题满分12分)

..22

已知过点A(0,1)且斜率为k的直线I与圆C(x-2)+(y-3)=1交于M,N两点.

(1)求K的取值范围;

(2)若OM•ON=12,其中0为坐标原点,求丨MN|.

(21).(本小题满分12分)

设函数x。

(I)讨论f(x)的导函数f'(X)零点的个数;

2

(n)证明:

当a0时,f(x)_2a•aIn。

a

请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

(22)(本小题满分10分)选修4-1:

几何证明选讲

如图,AB是OO的直径,AC是OO的切线,BC交OO于点E。

(I)若D为AC的中点,证明:

DE是OO的切线;

(n)若ca=J3ce求/ACB的大小。

(23)(本小题满分10分)选修4-4;坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中。

直线C1:

22

x=-2,圆C2:

x-1]亠iy-21,以坐标原点为

极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

(I)求G,C2的极坐标方程;

(II)若直线C3的极坐标方程为R,设C2与C3的交点为M,N,求LC2MN的

4

面积

(24)(本小题满分10分)选修4-5:

不等式选讲

已知函数f(x)=|x•1|-2|x-a|,a0.

(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;

(n)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围

AG

二GC—x,GB二GD

2

•选择题

参考答案

(1)D

(2)A

(3)C

(4)C

(5)B

(6)B

(7)B

(8)D

(9)C

(10)A

(11)B

(12)C

•填空题

(I)由题设及正弦定理可得b2=2ac

又a=b,可得b=2c,a-2c

2

(n)由(I)知b=2ac

因为B=90:

,由勾股定理得a2•c2二b2

故a2•c2二2ac,得c=a=.2

所以LABC的面积为112分

(18)解:

(I)因为四边形ABCD为菱形,所以AC_BD

因为BE_平面ABCD,所以AC_BE,故AC_平面BED

又AC二平面AEC,所以平面AEC_平面BED

(n)设AB二x,在菱形ABCD中,由.ABC二120,可得

因为AE_EC,所以在RtAEC中,可得E^—x

BE

由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE/cd二11AC|_GDBE二

由BE_平面ABCD,知LEBG为直角三角形,可得

32243

故x=29分

从而可得AE二EC二ED=「6

所以EAC的面积为3,LEAD的面积与ECD的面积均为-.5

故三棱锥E-ACD的侧面积为32512分

(19)解:

(I)由散点图可以判断,y=c•d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类

型2分

(n)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程,由于

8__

a瓦(w—w)(yi-y)1088d宀翼=68

\(Wi-w)21.6

i吕

AA

c=y-dw=563-686.8=100.6

A

所以y关于w的线性回归方程为y=100.668w,因此y关于x的线性回归方程

A

y=100.668匸

(川)(i)由(n)知,当x=49时,年销售量y的预报值

y=100.668.49=576.6

年利润z的预报值

A

z=576.60.2-49=66.329分

(ii)根据(n)的结果知,年利润z的预报值

A

z=0.2(100.668x)-x--x13.6、x20.12

136A

所以,当、二6.8,即46.24时,z取得最大值,

2

故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大

(20)解:

(I)由题设,可知直线I的方程为y二kx•1

 

(n)设M(为,yj,N(X2,y2)

当a0时,因为e2x单调递增,-旦单调递增,所以「(x)在(0,

x

:

:

)单调递增,又f(a)・0,

(1k2)x2-4(1k)x7=0

=(1k2)x1x2k(x1x2)1

4k(1k)

一28

1k

由题设可得4k(1:

k)•8=12,解得k=1,所以I的方程为y=x•1

1+k2

(21)解:

故当a0时,

f(x)亠2aaln2

a

12分

时,f(x)0

最小值为f(x0)

(22)解:

故.OED=90:

,DE是LO的切线

设CE=1,AE二x,由已知得AB=2.3,BE=.12-x2

(23)解:

)将'=一代入「2-2「eoL-4sin=4,得J一3、、.2^■•牛Q解得

4

打=2.2,J='、2,故—一“2,即|MN|=2

1

由于C2的半径为i,所以LC2MN的面积为一io分

2

(24)解:

(I)当a=1时,f(x)1化为|x■1|-2|x-1|-10

当x乞-1时,不等式化为x-4.0,无解;

2

当-1:

x:

:

1时,不等式化为3x-2•0,解得x:

:

:

1;

3

当x_1时,不等式化为-x•20,解得1空x:

2

2

所以f(x).1的解集为{x|—:

X:

2}5分

(n)由题设可得,

3

f(x)=3x1—2a,-1込x込a,

-x12a,xa.

2a—1所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(,0),

3

B(2a1,0),C(a,a1),LABC的面积为2(a-1)2

3

22由题设得一(a1)26,故a2

3

所以a的取值范围为(2,•二)

10分

 

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