教师版规律题动点题.docx

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教师版规律题动点题

七年级下学期规律题汇总

　一．选择题（共3小题）

1．（2017春•祁阳县期末）在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（　　）

A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定

【解答】解：

∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，

∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，

∴l2⊥l8．

∵l1⊥l2，

∴l1∥l8．

故选：

A．

【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．

2．（2011•硚口区模拟）已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n=3时，共有2个交点；当n=4时，共有5个交点；当n=5时，共有9个交点；…依此规律，n条直线共有交点（）

当共有交点个数为27时，则n的值为（　　）

A．n+n2B．n（n+3）C．n-1D．

A．6B．7C．8D．9

【解答】解：

∵当n≥3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n﹣1．即：

当n=3时，共有2个交点；

当n=4时，共有5（=2+3）个交点；

当n=5时，共有9（=5+4）个交点；

…，

∴n条直线共有交点2+3+4+…+（n﹣1）=

个．

解方程

=27，得n=8或﹣7（负值舍去）．

故选：

C．

【点评】本题考查了平面内直线的交点个数与直线的条数、位置之间的关系，属于竞赛题型，有一定难度．找到用含n的代数式表示交点个数的规律是解题的关键．

3．（2017春•武侯区校级期中）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，

第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，

第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．

若∠En=1度，那∠BEC等于　2n　度

【解答】解：

如图①，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠B=∠1，∠C=∠2，

∵∠BEC=∠1+∠2，

∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，

∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=

∠ABE+

∠DCE=

∠BEC．

∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，

∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=

∠ABE1+

∠DCE1=

∠CE1B=

∠BEC；

如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=

∠ABE2+

∠DCE2=

∠CE2B=

∠BEC；

…

以此类推，∠En=

∠BEC．

∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度．

故答案为：

2n．

【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：

两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．

　4．（2017春•东阳市期末）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，

第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，

第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．

（1）如图①，求证：

∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图②，求证：

∠BE2C=

∠BEC；

（3）猜想：

若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？

（直接写出结论）．

【解答】解：

（1）如图①，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠B=∠1，∠C=∠2，

∵∠BEC=∠1+∠2，

∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，

∴由

（1）可得，

∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=

∠ABE+

∠DCE=

∠BEC；

∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，

∴由

（1）可得，

∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=

∠ABE1+

∠DCE1=

∠CE1B=

∠BEC；

（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=

∠ABE2+

∠DCE2=

∠CE2B=

∠BEC；

…

以此类推，∠En=

∠BEC，

∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度．

【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：

两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．

　5．（2016春•新昌县校级期中）如图，a∥b，直线a，b被直线c所截，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2分别平分∠EAC1，∠FBC1；AC3，BC3分别平分∠EAC2，∠FBC2交于点C3…依次规律，得点Cn，则∠C3=　22.5　度，∠Cn=　

　度．

【解答】解：

∵a∥b，

∴∠EAB+∠ABF=180°，

∵AC1，BC1分别平分∠EAB，

∴∠C1=90°．

观察，发现规律：

∠C1=90°，∠C2=

∠C1=45°，∠C3=

∠C2=22.5°，∠C4=

∠C3=11.25°，…，

∴∠Cn=

°．

故答案为：

22.5；

．

【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线，解题的关键是找出变化规律“∠Cn=

°”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线以及角平分线找出部分∠Cn的度数，根据数据的变化找出变化规律是关键．

6．（2013秋•翠屏区校级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠2n=　180（2n﹣1）　度．

【解答】解：

在转折的地方依次作AB的平行线，

根据两直线平行，同旁内角互补得∠1+∠2+∠3+…+∠2n=180（2n﹣1）度．

故填180（2n﹣1）．

【点评】本题重点考查了平行线的性质，但需作辅助线并总结规律．　

常出现的问题．

7．（2015春•静宁县校级月考）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：

（1）如图a，图中共有　2　对对顶角；

（2）如图b，图中共有　6　对对顶角；

（3）如图c，图中共有　12　对对顶角；

（4）研究

（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成　（n﹣1）n　对对顶角；

（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成　4030056　对对顶角．

【解答】解：

（1）如图a，图中共有1×2=2对对顶角；

（2）如图b，图中共有2×3=6对对顶角；

（3）如图c，图中共有3×4=12对对顶角；

（4）研究

（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，

若有n条直线相交于一点，则可形成n（n﹣1）对对顶角；

（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成（2008﹣1）×2008=4030056对对顶角．

【点评】本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．即若有n条直线相交于一点，则可形成（n﹣1）n对对顶角．

8、27．（2010春•朝阳区校级期中）已知：

AB∥CD

（1）若图

（1），点M在直线AC的右侧，试判断∠A、∠C和∠M的关系，并说明理由；

（2）若图

（2），点M1和点M2在直线AC的右侧，试判断∠A、∠C、∠M1、∠M2的关系，并说明理由；

（3）若图（3），点M1、M2、M3…Mn在直线AC的右侧，试判断∠A、∠C、∠M1、∠M2…∠Mn的关系（直接与出结果，不需要说明理由）．

【解答】解：

（1）过点M作MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴MN∥AB∥CD，

∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，

∵∠AMC=∠1+∠2，

∴∠A+∠B+∠AMC=360°；

（2）分别过点M1和点M2作M1N1∥AB，M2N2∥AB，

∵AB∥CD，

∴M1N1∥M2N2∥AB∥CD，

∴∠1+∠A=180°，∠2+∠3=180°，∠4+∠C=180°，

∵∠BM1M2=∠1+∠2，∠M1M2D=∠3+∠4，

∴∠A+∠BM1M2+∠M1M2D+∠C=540°；

（3）由

（1）

（2）可得规律：

∠A+∠C+∠M1+∠M2+…+∠Mn=180°（n+1）．

【点评】此题考查了平行线的性质，考查了学生的观察归纳能力．此题难度较大，解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

9．（2017春•嘉祥县期中）

（1）如图甲，AB∥CD，∠2与∠1+∠3的关系是什么？

并写出推理过程；

（2）如图乙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系；

（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7还有类似的数量关系吗？

若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．

【解答】解：

（1）∠2=∠1+∠3．

证明：

过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，

∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；

（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．

理由：

分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，

∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；

（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．

理由：

分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，

∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．

结论：

开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．

【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

10．（2017春•丰城市期末）数学思考：

（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论

推广延伸：

（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；

②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系

拓展应用：

（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为　B　

A.180°+α+β﹣γB.180°﹣α﹣γ+β　C．β+γ﹣α　D．α+β+γ　

②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是　30°　．

【解答】解：

（1）证明：

如图1，过点P作OP∥AB，

∵AB∥CD，

∴OP∥AB∥CD，

∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，

∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，

即∠APC=∠PAB+∠PCD；

（2）①如图2，过点A2作A2O∥AA1，

由

（1）可知∠B1=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠A3，

所以，∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3；

②如图3，由①可知：

∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1；

（3）①如图4，过∠x的顶点作CD∥AB，

则∠x=（180°﹣α）+（β﹣γ）=180°﹣α﹣γ+β，

②如图5，由

（1）可知，40°+∠GHM+50°=∠G+∠M，

∵∠G=90°，∠M=30°，

∴∠GHM=90°+30°﹣40°﹣50°=30°．

故答案为：

B；30°．

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并作出辅助线是解题的关键，难点在于总结出A系列的角的和等于B系列的角的和．

11．（2009•西宁）阅读下列材料并填空：

（1）探究：

平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？

我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画

条直线，平面内有3个点时，一共可以画

条直线，平面上有4个点时，一共可以画

条直线，平面内有5个点时，一共可以画　10　条直线，…平面内有n个点时，一共可以画　

　条直线．

（2）迁移：

某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？

有2个球队时，要进行

场比赛，有3个球队时，要进行

场比赛，有4个球队时，要进行　6　场比赛，…那么有20个球队时，要进行　190　场比赛．

【解答】解：

（1）当平面上有2个点时，可以画

=

条直线；

当平面上有3个点时，可以画

=

=3条直线；

…

当平面上有n（n≥2）个点时，可以画

条直线；

因此当n=5时，一共可以画

=10条直线．

（2）同

（1）可得：

当比赛中有n（n≥2）个球队时，一共进行

场比赛，

因此当n=4时，要进行

=6场比赛．当n=20时，要进行

=190场比赛．

【点评】此题是探求规律题，读懂题意，找出规律是解题的关键．

12．（2008秋•无锡期末）

（1）如图1中，三条直线a、b、l1两两相交，则图中共有　6　对同旁内角；

（2）如图2中，若l2∥l1，则图中共有　16　对同旁内角；

（3）如图3中，若ln∥…l2∥l1，则图中共有　2n2+4n　对同旁内角．

【解答】解：

（1）直线a，b被直线l1所截，有2对同旁内角，直线a，l1被直线b所截，也有2对同旁内角，直线b，l1被直线la所截，也有2对同旁内角，所以图中共有6对同旁内角；

（2）图2中，l2∥l1，则图中共有6×2+4×1=16对同旁内角；

（3）图3中，若ln∥…l2∥l1，则图中共有6n+4（1+2+3+…+n﹣1）对，即2n2+4n对同旁内角．

【点评】本题是规律总结的问题，应运用数形结合的思想求解．

　动点题汇总

三．解答题（共21小题）

1．（2017秋•硚口区期末）如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．

（1）求∠BOD的度数；

（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．

①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；

②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．

【解答】解：

（1）∵∠COE=60°，OA平分∠COE，

∴∠AOC=30°，

又∵∠AOB=90°，

∴∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；

（2）①分两种情况：

当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°，

即9t+30°﹣3t=45°，

解得t=2.5；

当OF平分∠AOB时，AOF=45°，

即9t﹣150°﹣3t=45°，

解得t=32.5；

综上所述，当t=2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；

②t的值为12s或36s．

分两种情况：

当OE平分∠BOD时，∠BOE=

∠BOD，

即9t﹣60°﹣3t=

（60°﹣3t），

解得t=12；

当OF平分∠BOD时，∠DOF=

∠BOD，

即3t﹣（9t﹣240°）=

（3t﹣60°），

解得t=36；

综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．

【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．

2．（2017春•南安市期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：

∠BAN=2：

1．

（1）填空：

∠BAN=　60　°；

（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？

若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

【解答】解：

（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：

∠BAN=2：

1，

∴∠BAN=180°×

=60°，

故答案为：

60；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0＜t＜90时，如图1，

∵PQ∥MN，

∴∠PBD=∠BDA，

∵AC∥BD，

∴∠CAM=∠BDA，

∴∠CAM=∠PBD

∴2t=1•（30+t），

解得t=30；

②当90＜t＜150时，如图2，

∵PQ∥MN，

∴∠PBD+∠BDA=180°，

∵AC∥BD，

∴∠CAN=∠BDA

∴∠PBD+∠CAN=180°

∴1•（30+t）+（2t﹣180）=180，

解得t=110，

综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；

（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．

理由：

设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°﹣2t，

∴∠BAC=60°﹣（180°﹣2t）=2t﹣120°，

又∵∠ABC=120°﹣t，

∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°，

∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣（180°﹣t）=t﹣60°，

∴∠BAC：

∠BCD=2：

1，

即∠BAC=2∠BCD，

∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：

两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

3．（2017秋•邢台期末）已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC=50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：

∠DOE=90°，∠DEO=30°）．

（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE=　40°　．

（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．

（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=

∠AOE时，求∠BOD的度数．

（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．

【解答】解：

（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，

又∵∠BOC=50°，

∴∠COE=40°；

（2）∵OE平分∠AOC，

∴∠COE=∠AOE=

∠COA，

∵∠EOD=90°，

∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，

∴∠COD=∠DOB，

∴OD所在射线是∠BOC的平分线；

（3）设∠COD=x°，则∠AOE=4x°，

∵∠DOE=90°，∠BOC=50°，

∴5x=40，

∴x=8，

即∠COD=8°

∴∠BOD=58°．

（4）如图，

分两种情况：

在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，

5t=140，

t=28；

当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了1320°，

5t=320，

t=64．

所以当t=28秒或64秒时，OE与直线OC重合．

综上所述，t的值为28或64．

故答案为：

40°．

【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．

4．（2017春•上虞区期末）如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°

（1）说明OB∥AC成立的理由．

（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．

（3）在

（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：

∠OFB的比值是否随之发生变化？

若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．

（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．

【解答】解：

（1）∵BC∥OA，

∴∠B+∠O=180°，

∴∠O=180°﹣∠B=60°，

而∠A=120°，

∴∠A+∠O=180°，

∴OB∥AC；

（2）∵OE平分∠BOF，

∴∠BOE=∠FOE，

而∠FOC=∠AOC，

∴∠EOF+∠COF=

∠AOB=

×60°=30°，

即∠EOC=30°；

（3）比值不改变．

∵BC∥OA，

∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，

∵∠FOC=∠AOC，

∴∠AOF=2∠AOC，

∴∠OFB=2∠OCB，

即∠OCB：

∠OFB的值为1：

2；

（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，

∵∠OEB=∠AOE，

∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x，

而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=180°﹣x﹣120°=60°﹣x，

∵∠OEB=∠OCA，

∴30°+x=60°﹣x，

解得x=15°，

∴∠OCA=60°﹣x=60°﹣15°=45°．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质：

同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

5．（2017春•南沙区期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．

（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？

并说明理由．

【解答】解：

（1）如图1，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；

（2）∠AKC=

∠APC．

理由：

如图2，过K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，

∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，

过P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，

∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK+∠DCK=

∠BAP+