福建省龙岩市长汀一中届高三周考数学理试题附答案.docx
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福建省龙岩市长汀一中届高三周考数学理试题附答案
福建省龙岩市长汀一中2015届高三2月周考
数学（理）试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1.是虚数单位，复数，．若的虚部为，则等于
2.A．2B．-2C．1D．-1
3.要得到函数的图象，只须将的图象上的所有的点
4.A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
5.C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
6.根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是
7.A.
B.
C.
D.
４.已知函数，则“”是“函数在上为增函数”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.已知命题“直线与平面有公共点”是真命题，那么下列命题：
①直线上的点都在平面内；
②直线上有些点不在平面内；
③平面内任意一条直线都不与直线平行．
其中真命题的个数是
A.3B.2C.1D.0
6.已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为
A.127B.255C.511D.1023
7.设则中奇数的个数为
A．2B．3C．4D．5
8.已知点是△所在平面内的一点，边AB的中点为D，若，其中，则点一定在
A．AB边所在的直线上B．BC边所在的直线上
C．AC边所在的直线上D．△的内部
9.对于任意给定的实数，直线与双曲线，最多有一个交点，则双曲线的离心率等于
A．B．C．D．
10.对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：
①，； ②，；
③，；④，，
则在区间上的存在唯一“友好点”的是
A．①②B．③④C．②③D．①④
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
11.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为.
12.已知函数，则的值等于．
13.已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入，输出，则在图中“？
”处可填入的算法语句是（写出以下所有满足条件的序号）．
①；
②；
③；
④．
14.在区间上任取两个数，，能使函数在区间内有零点的概率等于________.
15.设数列是由集合，且，中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，a5＝30，a6＝36，…，若＝，且，，则的值等于____________．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分13分）
已知平面向量a，b=，定义函数
（Ⅰ）求函数的值域；
（Ⅱ）若函数图象上的两点、的横坐标分别为和，为坐标原点，求△的面积．
17.（本小题满分13分）
某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：
编号
性别
投篮成绩
3
男
90
7
女
60
11
男
75
15
男
80
19
女
85
23
男
80
27
男
95
31
男
80
35
男
80
39
女
60
43
男
75
47
女
55
甲抽取的样本数据
编号
性别
投篮成绩
1
男
95
8
男
85
10
男
85
17
男
80
23
男
60
24
男
90
27
男
80
31
女
80
35
女
65
37
女
35
41
女
60
46
女
75
乙抽取的样本数据
（Ⅰ）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？
优秀
非优秀
合计
男
女
合计
12
（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？
说明理由.
下面的临界值表供参考：
0.15
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（参考公式：
，其中）
18.（本小题满分13分）
如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，底面，，且．
（Ⅰ）求多面体的体积；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
19.（本小题满分13分）
已知，曲线上任意一点分别与点、连线的斜率的乘积为．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与轴、轴分别交于、两点，若曲线与直线没有公共点，求证：
．
20.（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，讨论函数在区间上的单调性；
（Ⅲ）证明不等式对任意成立．
21.本题有
（1）．
（2）．（3）三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
22.
（1）（本小题满分7分）选修4-2：
矩阵与变换
23.已知线性变换：
对应的矩阵为，向量β．
24.（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；
25.（Ⅱ）若向量α在作用下变为向量β，求向量α．
26.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆的极坐标方程为．现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆上的动点的直角坐标为，求的最大值，并写出取得最大值时点P的直角坐标．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：
不等式选讲
已知不等式的解集为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
参考答案
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．
解：
（Ⅰ）依题意得………………………………1分
…………………………………………………………………3分
所以函数的值域为．………………………………………………………5分
（Ⅱ）方法一由（Ⅰ）知，
，，………………………………6分
从而 .………………………………………………7分
∴，
……………………………………………9分
根据余弦定理得
.
∴，…………………………………………………………………10分
△的面积为.…………13分
方法二同方法一得：
.…………………………………………7分
则.………………………………………………8分
.……………………………………………10分
所以，
△的面积为.……………13分
方法三同方法一得：
.…………………………………………7分
直线的方程为，即.………………………………8分
点到直线的距离为.……………………10分
又因为，………………………………………………………11分
所以△的面积为.…………………13分
的观测值3.841，……………………………9分
所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关．……………………10分
（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．……………………11分
由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．……………………13分
18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．
（Ⅰ）如图，连接ED，
∵底面且，∴底面,
∴,
∵,
∴面,----------------1分
∴,--------2分
-------------3分
∴多面体的体积
．--------------5分
（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为轴，AD所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0,0,0）,E（0,0,2）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,F（0,2,1）,
所以------7分
设平面ECF的法向量为，
则 得：
取y=1,得平面的一个法向量为------9分
设直线与平面所成角为，
所以----11分
（Ⅲ）取线段CD的中点；连接，直线即为所求．---------------12分
图上有正确的作图痕迹………………………………13分
19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分．
解：
（Ⅰ）设曲线上任意一点的坐标为．
依题意，且，………………３分
整理得．所以，曲线的方程为：
，．………5分
（Ⅱ）由得，
，……7分
由已知条件可知，，所以
，
从而， 即．………………13分
20．（本小题满分14分）
本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．
解：
．
（Ⅰ）当时，，切线的斜率，
所以切线方程为，即．……3分
（Ⅱ）当时，因为，所以只要考查的符号．
由，得，
当时，，从而，在区间上单调递增；
当时，由解得．……6分
当变化时，与的变化情况如下表：
函数在区间单调递减，在区间上单调递增．……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在区间上单调递增；所以，
即对任意成立．……11分
取，，
得，即，．……13分
将上述n个不等式求和,得到:
，
即不等式对任意成立．……14分
21．
（1）选修4-2：
矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．满分7分．
解：
（Ⅰ）依题意，所以，
所以．----------3分
（Ⅱ）由，得．----------7分
经检验，符合题意．---------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．根据柯西不等式，
得，-----------------5分
所以，
当且仅当时，取得最大值，时，取得最小值，
因此的取值范围是．-------------7分
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