初中奥数系列相似三角形A级第02讲学生版.docx

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初中奥数系列相似三角形A级第02讲学生版

相似三角形的判定

内容

基本要求

略高要求

较高要求

相似

了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系

会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小

相似三角形

了解两个三角形相似的概念

会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题

相似多边形

知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似

会用相似多边形的性质解决简单问题

1．相似定义，性质，判定，应用和位似

2．相似的判定和证明

3．相似比的转化

相似三角形的由来

两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的实际高度，于是，命令祭司们去丈量．可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面前，祭司们个个束手无策．既然，人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来量呢？

一时，金字塔的高度成了一个难题．国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解答．

有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难题．他想了好几个解题的方案，但都行不通．失败并没使他灰心．法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到树上．于是，他转了个圈，又走下去．太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里．这时，他突然看到自己的影子，于是想：

是不是可以请太阳来帮忙呢？

在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度怩？

﹁他自言自语起来．

想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起來．经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度．于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来．然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的招字．国王得到“有人揭下招字”的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式．测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁．看热闹的人黑压压一片，喧闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视着自己的影子．看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子．当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。

这时，助手们立即测出了金字塔的阴影CD的长．接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告訴大家．场上，发出一阵热烈的观呼声．当然，法涅斯利用了相似三角形的原理测得了塔高．在法捏斯以前，还沒有人知道这个原理呢！

法捏斯第一次发现、利用这个原理．在那个时代，这是一个伟大的创举！

在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：

在任意两個对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等．从而，找到了在任何季节里，在任何时候都能测塔高的方法．

模块一相似三角形的判定

☞角对应相等、边对应成比例，三角形相似

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．

如图，在与中，，，则与相似，记作，符号读作“相似于”．

相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．

【例1】如图，已知四边形是平行四边形．求证：

．

☞平行定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．

常见题模型如下：

方法点播：

前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：

线段中点，中线，线段间的倍、分关系，以及角平分线等．

【例2】如图，，且，若，求的长．

【巩固】在中，，的延长线交的延长线于，求证：

．

【拓展】如图所示，在中，，，分别为边的中点，点为边上一点，过点作交于点，以为一边作正方形，若，求正方形与矩形的公共部分的面积．

【

☞三条边对应成比例，两三角形相似

如图，在与中，若，则有．

方法点播：

利用三边对应成比例证明三角形相似时，如果是填空和选择题，会直接给出三边的长度数或者根据方格数自己算出长度，学生只需要对应的列出比例式就可以．解答题中需要由其他的相似导出成比例的三组对边，或者有一类题型要求找某一点时，一定要注意分类讨论，不要丢掉某种情况．

【例3】如图所示，如果分别在上，且．

求证：

．

【巩固】如图，已知是内一点，分另是的中点．求证：

．

☞两角对应相等，两三角形相似

如图，在与中，若，则有．

常见题型中的几何模型有以下几种：

方法点播：

在解三角形相似问题时，遇到以上第一图和第三图的“”字形图形时，就马上想到有一个公共角，遇到第二图的“”字形时就立马想到有一对对顶角可以利用，遇到直角三角形就想到有无数对互余的角，可以找到两对以上相等的角．

【例4】如图，在等腰梯形中，，过作，为梯形内一点，连接并延长交于，交于，再连接．若．

求证：

．

【巩固】如图，在矩形中，，将其折叠使落在对角线上，得到折痕，那么的长度为（　　）

【例5】如图所示，,交于点为上一点，且．

求证：

（1）；

（2）．

【巩固】如图，中，，点是内一点，使得，

，则．

☞两边对应成比例且夹角相等，三角形相似

如图，在与中，若且，则有．

方法点播：

利用这一性质解题关键之处就是借助很容易求出的相似三角形得到比例线段，再结合本来相等的两个角同时加上同样大小的角和相等来解题．

【例6】已知，如图，为内一点连结，以为边在外作．求证：

．

【巩固】在和中，，如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次为（）．

【拓展】如图，在中，垂足为，且，垂足为，交的延长线于点．求证：

．

1．如图，是斜边上的中线，过点作垂线直于的直线交于点，交的延长线于点，求证：

．

2．如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求．

3．如图，已知中，，，与相交于，则的值为（）

．．1．．2

4．在中，点为边上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接．

（1）求的长；

（2）设的长为，的面积为．当为何值时，最大，并求出最大值．

1．通过本堂课你学会了．

2．掌握的不太好的部分．

3．老师点评：

①．

②．

③．

1．已知的三条边长分别为、、，的三条边长分别为、、，这两个三角形是否相似？

为什么？

2.如图，在直角梯形中，，为上一点，以为顶点的三角形与

以为顶点的三角形相似，那么这样的点有几个？

为什么？

3．如图所示，在中，，，，、分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于,过点作交于，当点与点重合时，点停止运动，设．

（1）求点到的距离的长；

（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．

4．如图所示，已知四边形是菱形，，且，求的长．

5.如图，矩形的两边、分别位于轴、轴上，点的坐标为，是边上

的点，将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处，若点在一反比例函数的

图象上，那么该函数的解析式是（　　）