湖南省郴州市二中届高三第六次月考理科数学+Word版含答案.docx

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湖南省郴州市二中届高三第六次月考理科数学+Word版含答案

湖南省郴州市二中2018届高三第六次月考

理科数学

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1．已知集合，，则=

A．B．C．D．

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则复数=

A．B．C．D．

3．已知向量，，若，则实数的值为

A．4B．或1C．D．4或1

4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为21，则判断框内应填

A．B．C．D．

5．已知：

，：

，则是的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为

A．528B．1020C．1038D．1040

7．若，满足不等式组，则成立的概率为

A．B．C．D．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．B．C．D．

9．如图，已知函数（，，）的图象关于点对称，且的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列是的单调递增区间的为

A．B．C．D．

10．已知抛物线：

（），直线交抛物线于、两点，过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点．若，则=

A．B．C．D．

11．已知三棱锥的底面是直角三角形，⊥，，⊥平面，是的中点．若此三棱锥的体积为，则异面直线与所成角的大小为

A．45°B．90°C．60°D．30°

12．已知函数，若，且，

则的取值范围是

A．B．

C．D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分．

13．若二项式的展开式中，的系数为3，则的值为． 

14．已知函数，若关于的不等式在[0，1]上有解，则实数的取值范围为．

15．如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为． 

16．如图，已知双曲线的左焦点为，左、右顶点分别为，，在双曲线上且在轴的上方，⊥轴，直线，与轴分别交于，两点，若（为双曲线的离心率），则=． 

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

某教师为了了解本校高三学生一模考试的数学成绩情况，将所教两个班级的数学成绩（单位：

分）绘制成如图所示的茎叶图．

（1）分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；

（2）若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；

（3）在

（2）的条件下，若用甲班学生数学成绩的频率估计概率，从该校高三年级中随机抽取3人，记这3人中数学成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，已知在等腰梯形中，，，，，=60°，沿，折成三棱柱．

（1）若，分别为，的中点，求证：

∥平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：

的左、右焦点分别为，，在椭圆上（异于椭圆的左、右顶点），过右焦点作∠的外角平分线的垂线，交于点，且（为坐标原点），椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线：

（）与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于，求当三角形的面积最大时，直线的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数，，．

（1）若，，求函数的单调区间；

（2）设．

（i）若函数有极值，求实数的取值范围；

（ii）若（），求证：

．

选考部分

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）[选修4─4：

坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，直线：

（是参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线：

．

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）判断直线与曲线的位置关系，若相交，求出弦长．

23．（本小题满分10分）[选修4─5：

不等式选讲]

已知（是常数，）．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数恰有两个不同的零点，求实数的取值范围．

答案

1．B【解析】依题意，由，得，，

即集合，，故选B．

2．A【解析】解法一　由复数的运算可得，

设，则，

所以，解方程组得，，所以，故选A．

解法二　由复数的运算可得，

所以．

3．B【解析】将两边平方得，将已知代入得，即，解得或1，故选B．

4．B【解析】初始值：

，=0；第一次循环：

=1，=1；第二次循环：

=2，=1+2=3；第三次循环：

=3，=3+3=6；第四次循环：

=4，=6+4=10；第五次循环：

=5，=10+5=15；第六次循环：

=6，=15+6=21；第七次循环：

=7．因为输出的值为21，所以结合选项可知判断框内应填，故选B．

5．A【解析】由，得，即；由，得，所以，即．因此是的充分不必要条件，故选A．

6．D【解析】，，，，，…，

所以，，故选D．

7．A【解析】作出，所对应的可行域（如图中△BDE及其内部所示），

表示可行域内的点与定点连线的斜率，当取图中△ABC内及边界上的点时，成立．由，可得，

由，可得，由，得，

故，，

则所求概率，故选A．

8．A【解析】由三视图可画出几何体的直观图为多面体ABCDEF，放在长方体中如图所示，则几何体的表面由四个全等且直角边长分别为2，3的直角三角形，两个边长分别为，，的等腰三角形及一个边长为2的正方形构成，故几何体的表面积为．

9．C【解析】由图知，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为，，过作⊥轴于，如图所示．

令（），则，得，所以，，设函数的最小正周期为，则，，，

所以．将（2，0）代入得，

因为，所以，，

所以=．

由，

解得，

令，得，的一个单调递增区间为，故选C．

10．B【解析】联立抛物线与直线的方程，消去得

．设，，则，，，∴．∵，∴，

∴，

即，

∴，将，代入，得，得或（舍去）．故选B．

11．C【解析】∵⊥平面，，

∴三棱锥的体积，∴=4，

∴，．

设的中点为，连接，，如图，则，

，，∴△是正三角形，

∴∠=60°．∵是的中点，则∥，

∴∠是异面直线与所成的角，

即异面直线与所成角的大小为60°．

12．D【解析】解法一：

先作出的图象如图所示，通过图象可知，若，，则，设=t，则（>0），

故，所以，，而，

所以，当且仅当时等号成立．

令，则，

故，

因为在上单调递增，

所以．

解法二：

先作出的图象如图所示，通过图象可知，若，，则，可得，

所以，所以，，

所以，当且仅当，即时，等号成立．

令，则，

所以,

因为在上单调递增，

所以．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分．

13．【解析】由二项展开式的通项可得，，即，因此．

14．【解析】由在[0，1]上有解，

可得，即．

令，则，

因为，所以，

则当，即时，，

即，故实数的取值范围是．

15．【解析】如图所示，连接，因为为圆内接四边形，所以180°，则，利用余弦定理得，

，解得，所以．

由，得，

因为=180°，所以，

．

16．+1【解析】由已知得，，，，．

由∽△可得，，即，解得．

由∽△可得，，即，解得．

由已知，可得，

所以，即，

整理得，故．

17．【解析】

（1）设等比数列的公比为，

因为，，

所以，故，所以，

因为，所以，（4分）

所以．（6分）

（2）由

（1）知，因为，

所以，（9分）

因为，所以，

所以

．（12分）

18．【解析】

（1）由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25，26位的是108，109，数量最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；（2分）

乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24，25位的是106，107，数量最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106．5，众数为92和101．（4分）

（2）由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为．（6分）

（3）用甲班学生数学成绩的频率估计概率，则高三学生数学成绩的优秀率，则的所有可能取值为0，1，2，3，服从二项分布，即，

；；

；．（10分）

的分布列为

0

1

2

3

=0×+1×+2×+3×=（或=）．（12分）

19．【解析】

（1）取的中点，连接，，

在三角形中，∵，分别为，的中点，∴∥，

∵平面，平面，∴∥平面．（2分）

由于，分别为，的中点，由棱柱的性质可得∥，

∵平面，平面，∴∥平面．（3分）

又平面，平面，∩=，

∴平面∥平面，

∵平面，∴∥平面．（5分）

（2）连接，在Rt△中，，，∴，又，，∴，∴，又且，∴⊥平面．（7分）

建立如图所示的空间直角坐标系，

可得（0，0，0），（，0，0），（0，1，0），（0，1，1），=（，1，1），=（，0，0），=（0，0，1）．（8分）

设平面的法向量为，则，

则，令，得，则=（1，，0）为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，则，

则，令，得，

∴为平面的一个法向量．（10分）

设，所成的角为，则，

由图可知二面角的余弦值是．（12分）

20．【解析】

（1）由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为，得．（2分）

延长交直线于点，因为为∠的外角平分线的垂线，所以，为的中点，

所以，

所以，，

所以椭圆的方程为．（5分）

（2）将直线和椭圆的方程联立得，消去，

得，

所以，即．（7分）

设，，则，由根与系数的关系，

得，，

直线的斜率，

所以直线的方程为，

令得，

故，所以点到直线的距离，

所以．（10分）

令（），则，

当且仅当，即，即，时，三角形的面积最大，

所以直线的方程为或．（12分）

21．【解析】

（1）当，时，，定义域为，

．

令，得；令，得．

所以函数的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）

（2）（i）=，定义域为（0，+∞），

，

①当时，，函数在（0，+∞）上为单调递增函数，

不存在极值．（6分）

②当时，令，得，，

所以，易证在上为增函数，

在上为减函数，所以当时，取得极大值．

所以若函数有极值，实数的取值范围是．（8分）

（ii）由（i）知当时，不存在，使得，当时，存在，使得，不妨取，

欲证，只需证明．

因为函数在上为减函数，故只需证，

即证，即证．

令，

则．（10分）

设，则，

因为，，所以在上为减函数，

，

所以在上为增函数，所以，

即，故成立．（12分）

22．【解析】

（1）由：

，消去得，

所以直线的普通方程为．

把的两边同时乘以得，

因为，，

所以，即，

所以曲线的直角坐标方程为．（5分）

（2）由

（1）知，曲线：

是圆心为（0，4），半径为4的圆，

所以圆心（0，4）到直线的距离，

所以直线与曲线相交，其弦长为．（10分）

23．【解析】

（1）当时，=，

由，得或，

解得或，

故不等式的解集为{|或}．（5分）

（2）令=0，得，

则函数恰有两个不同的零点转化为与的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当时，函数恰有两个不同的零点，故实数的取值范围为．（10分