完整版勾股定理综合难题含答案解析超好打印版.docx

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完整版勾股定理综合难题含答案解析超好打印版

A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底

现有一小虫从顶点A出发，沿长方

练习题

1如图，圆柱的高为10cm,底面半径为2cm.，在下底面的

面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少？

2如图，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形.

体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米？

答案AB=5

C

A

//

1

1

1

C'

1

A'_

*

/

B

D

C'

D点，那么它所行的最短路线的长是

3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B'点沿纸箱爬到

4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm?

长BC?

为10cm当

小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处

（折痕为AE）.想一想,A此时EC有多长？

D?

5•如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片

ABCDff叠,

使C点与A点重合，则EB的长是（

）•

E

FC

A.3B.4C

6.已知：

如图，在△ABC中,/C=90，

B=30,AB勺

垂直平分线交BC于D,垂足为E,D=4cm

求AC勺长.

7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6BC=8

现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且

与AE重合，则CD的长为

&如图，在矩形ABCD中，AB6,将矩形abcd折叠，使

点B与点D重合，C落在C处，若AE：

BE12，则折

痕EF的长为

9、如图，已知：

点E是正方形ABCD勺BC边上的点，现将△

DCB&折痕DE向上翻折，使DC落在

对角线DB上，贝UEB：

CE=

E

10、如图，AD是△ABC的中线，/AD&45°，把^ADC沿AD对折，点C落在C'的位置，若BO2,

匸

D

11.如图1,有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cmBC=8cm现将直角边AC沿直线AD折

叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合，则CD等于（）

A.2cm

B.3cm

C.4cm

D.5cm

B

图1

12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cr现将直角边AC沿/CAB的角平分线AD折

叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出

13、如图，在△ABC中,/B=9O,AB=BC=6把

△ABC进行折叠，使点A与点D重合，BD:

DC=1：

2折痕为EF,

点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。

14.已知，如图长方形ABCD中,AB=3cmAD=9cm将此长方形折叠，使点

为EF,则^ABE的面积为（）

A、6cm

b、8cm

C10cm

D12cm

15•如图,

B

C

[71

0

/

\

/

/

D

C

B

将矩形ABCD&EF折叠，使点D与点B重合，已知AA3,AD=9,求BE的长.

16、如图,

每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD勺面积。

17、如图,

已知：

在ABC中,ACB90,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明

图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.

请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

矿

18.如图8,有一块塑料矩形模板ABCD长为10cm宽为4cm将你手中足够大的直角三角板PHF

的直角顶点P落在AD边上（不与AD重合），在AD上适当移动三角板顶点P:

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?

若能,

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动,

直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长

线交于点Q与BC交于点E,能否使CE=2cm?

若能,

请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

21.①能.设A吐x米，由于16+x2,CP=16+（10—x）2，而在Rt△PBC中，有bP+cP=bC,

2222

即16+X+16+（10—X）=100,所以x-10x+16=0,即（x—5）=9,所以x—5=±3,所以x

=8,x=2,即A吐8或2,②能.仿照①可求得AP=4.

19如图△ABC中ACB90,AC12,BC5,ANAC,BMBC

形周长为（

）

（A）

Jd2S

2d

（B）Jd?

S

d

（C）

2Jd2S

2d

（D）2如

S

d

S

lab

解：

设两直角边分别为

a，b,斜边为

jC,则c2d,

2.由勾股定理，得

所以a

b2a2

2abb2

2c

4S4d24S

所以ab

2Jd2S

•所以a

b

c2Jd2S

2d

.故选（C）

21※.在

ABC中,ABAC

1

BC边上有2006个不同的点PjE丄％06,

记mi

AR2BP

PCi

1,2,L

2006,则m1

m2

Lm2006=

20、※直角三角形的面积为

S，斜边上的中线长为d，则这个三角

2,22abc

22汇如图所示，在RtABC中，BAC9O,ACAB,DAE45,且BD3,

CE4,求DE的长.

23、如图，在△ABC中，AB=AC=6P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PCPB+PA的值。

C

24、※如图在Rt△ABC中，C90,AC4,BC3，在Rt△abC的外部拼接一个合适的直角三

角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。

如图所示:

4

4

要求：

在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的

三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）

AC=1krmBD=3krmCD=3krm

25.如图，AB两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为

现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为

20000元/千米，请你在

CD

选择水厂位置0,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用

F。

f）

27.（8分）如图，在△ABC中，AB=ACP为BC上任意一点，请说明：

aB—Ap=PBPC。

28、如图，已知：

C90，AMCM，MPAB于p.求证：

BP2AP2BC

A

29.（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西

边去饮水，然后

8km北7km处，他想把他的马牵到小河

回家.他要完成这件事情所走的最短路

小河

程是多少?

A*

牧童!

卩东

30.（本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是

2.6m

学习指导参考资料

长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米,

请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道

31.在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一

只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵

树高多少米？

a

32•在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面,

已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米？

33•长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角如图所示），则梯子的顶端

沿墙面升咼了

34.已知：

如图，△ABC中,/C=90°,D为AB的中点，E、F分别在ACBC上，且DEIDF.求

证：

aE+B—eF.

35.已知：

如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点,

-CB

E为CB的四等分点且CE=4，求证:

AF丄FE.

36.已知△ABC中,a2+b2+c=10a+24b+26c—338,试判定△ABC的形状，并说明你的理由.

37.已知a、b、c是^ABC的三边，且ac2—bc2^a4—b4，试判断三角形的形状.

38.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm高为6cm如果用一根细线从点A开始经过四

个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？

如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到

达点B,那么所用细线最短需要多长？

39、a、b为任意正数，且a>b,

2222

求证：

边长为2ab、a—b、a+b的三角形是直角三角形

40.三角形的三边长为（ab）'

2

c2ab,则这个三角形是（）

（A）等边三角形

（B）钝角三角形

（C）直角三角形

（D）锐角三角形.

41.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方

C

向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离

AD=60km那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？

如果在距台风中心30km的圆形区域内

都将有受到台风的破坏的危险,

正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱

离危险?

42.（14分）△ABC中,BCa,AC

222b,ABc，若/C=90，如图

（1）,根据勾股定理，则abc

若^ABC不是直角三角形，如图（

2）和图（3）,请你类比勾股定理,

2.22

试猜想ab与c的关系,

并证明你的结论.

.解：

若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2

若^ABC是钝角三角形，/C为钝角，则有a+b2vc2

当^ABC是锐角三角形时,

证明：

过点A作ADICB垂足为D。

设CD为x，则有DB=c—x

根据勾股定理得b2—x2=C2—（a—X）2

即b2—x2=c2—a2+2ax—x2/-a2+b2=c2+2ax

222..

•••a>0,x>0•••2ax>0/-a+b>c当^ABC是钝角三角形时,

43.（10分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10万千米/

时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200?

千米范围内是受台风影响的区域.

（1）A市是否会受到台风的影响？

写出你的结论并给予说明;

（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?

东

44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露

在杯子外面的长度为hem则h的取值范围是（）.

A.h<17cm

B.h>8cmC.15cmch<16cm

D.7cm

45如图，已知：

"二聊，肱严P丄貝出于P.求证：

加二肿U&L

46【变式2】已知：

如图，/B=/D=90°，/A=60°,AB=4CD=2求：

四边形ABCD的面积。

P

D

C

47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高

2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂,

问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？

A

/

L>

楽

rr

a

（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形,

将问题转化为直

角三角形问题来解决.

49、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜边BC的中点，E、

F分别是ABAC边上

的点，且DE1DF,若BE=12CF=5求线段EF的长。

50如图，在等腰^ABC中,/ACB=90,DE为斜边AB上的点,

且/DCE=45。

求证：

dE=aD+bE。

A

C

C

C

D

D

E

E

AD

51如图，在△ABC中，AB=13,BC=14,AC=15贝UBC边上的高AD=

52如图，长方形ABCD中，AB=8BC=4将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△

AFC的面积是

B

53

54

在^ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长.

在^ABC中，D是BC所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17求^ABC的面积。

55.若^ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c△ABC是直角三角形吗？

为什么?

56.在^ABC中，BC=1997AC=1998aB=1997+1998,则^ABC是否为直角三角形？

为什么?

注意BCACAB的大小关系。

AB

AB2+BC2=1997+19972+1998=19971+1997）+1998=1997X998+1998=19982=AC2

57.一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点

C1处，如图，已知长方形长6cm宽5cm,高3cm。

蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形

的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着

怎样的路线爬上去，所走的距离最短？

你能帮蜘蛛求出最短距离吗?

C1

9越图

58.木箱的长、宽、高分别为40dm30dm和50dm有一70dm的木棒，能放进去吗？

请说明理由。

12题图

59.已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13,△ABC是否是直角三角形？

你能说明

理由吗?

1

60.如图，E是正方形ABCD勺边CD的中点，延长AB到F,使BF=4AB,那么FE与FA相等吗?

为什么?

F

61.如图，/A=60°,/B=/D=90°。

若BC=4CD=6求AB的长。

D

C

62.如图，/xoy=60°,M是/xoy内的一点，它到ox的距离MA为2。

它到oy的距离为11。

求0M勺长。

M

O

20；^图

带答案版的

用面积证明勾股定理

方法一：

将四个全等的直角三角形拼成如图（1所示的正方形。

图

（1）中

方法二：

将四个全等的直角三角形拼成如图

（2）所示的正方形。

V—F

”「门正亓應心8_匚

图

（2）中

二盘2+护

方法三:

的正方形。

（3）—1

⑶一3

将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积），

在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积），

所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：

宀注"+沪

方法四:

如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

二2X—ab+—C—-q

2戈，所以盘+A之。

练习题

1如图，圆柱的高为10cm，底面半径为

2cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底

面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少？

现有一小虫从顶点A出发，沿长方

2如图，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形.

体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米？

答案AB=5

C

Z

aL一

C'

*

/

/

B

D

C'

D点，那么它所行的最短路线的长是

3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B'点沿纸箱爬到

4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm?

长BC?

为10cm当

小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处

（折痕为AE）.想一想,A此时EC有多长？

D?

5.如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片

ABCD折叠,

使C点与A点重合，则EB的长是（

）.

E

FC

A.3B.4C

6.已知：

如图，在△ABC中,/C=90，

B=30,AB勺

垂直平分线交BC于D,垂足为E，D=4cm

求AC的长.

7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6BC=8

现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且

与AE重合，则CD的长为

&如图，在矩形ABCD中,AB6,将矩形ABCD折叠，使

点B与点D重合，C落在C处，若AE:

BE12，则折

痕EF的长为

9、如图，已知：

点E是正方形ABCD勺BC边上的点，现将△

DCB&折痕DE向上翻折，使DC落在

对角线DB上，贝UEB：

CE=

E

C'

D

10、如图，AD是△ABC的中线，/AD&45°，把^ADC沿AD对折，点C落在C'的位置，若BO2,

11.如图1,有一块直角三角形纸片，两直角边AO6cmBO8cm现将直角边AC沿直线AD折

叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合，则CD等于（）

A.2cm

B.3cm

C.4cm

D.5cm

B

图1

12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cr现将直角边AC沿/CAB的角平分线AD折

叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出

13、如图，在△ABC中,/B=9O,AB=BC=6把

△ABC进行折叠，使点A与点D重合，BD:

DC=1：

2折痕为EF,

点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。

14.已知，如图长方形ABCD中,AB=3cmAD=9cm将此长方形折叠，使点

为EF,则^ABE的面积为（）

A、6cm

B、8cm

CC10cm

D12cm

15.如图,

C

将矩形ABCD&EF折叠，使点D与点B重合，已知AA3,AD=9,求BE的长.

16、如图,

每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD勺面积。

17、如图,

已知：

在ABC中，ACB90,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明

图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等.

请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

18.如图8,有一块塑料矩形模板ABCD长为10cm宽为4cm将你手中足够大的直角三角板PHF

的直角顶点P落在AD边上（不与AD重合），在AD上适当移动三角板顶点P:

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?

若能,

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动,

直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长

线交于点Q与BC交于点E,能否使CE=2cm?

若能,

请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

21.①能.设A吐x米，由于B^P=16+X2,CP=16+（10—x）2，而在Rt△PBC中，有Bp+CP=bC,

即16+x2+16+（10—x）2=100,所以X2—10x+16=0,即（x—5）2=9,所以x—5=±3,所以x

=8,X=2,即A吐8或2,②能.仿照①可求得AP=4.

19.如图△ABC中,ACB

20、※直角三角形的面积为

S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（

（A）

Jd2S

2d

（B）Jd'

（C）

2Jd2S

2d

（D）2Jd

:

设两直角边分别为

a,b,斜边为

c,则c2d

所以a

b2a2

2abb2c2

4S4d2

所以a

b2Jd2

s.所以ab

c2Jd2

S

4S

解

Sd

S2d.故选（C）

2S

2ab.由勾股定理,得a2b2

90,AC12,BC5,ANAC,BMBC

21※.在

记mi

ABC中,ABAC1,BC边上有2006个不同的点PjE丄％6

AR2BRPCi1,2,L2006则gLm2006=

解：

如图，作ADBC于D,因为ABAC1,则BDCD.

由勾股定理,得AB

AD2

2222

BD,APADPD.所以

AB2AP2BD2

PD2

BDPDBD

PD

BPPC

2

所以APBPPC

AB2

12

I以

因此m1m2Lm20061

20062006

22※.如图所示，在RtABC中,BAC90,ACAB,

DAE45且BD3

CE4,求DE的长.

C45

解:

如右图：

因为ABC为等腰直角三角形,所以ABD

所以把AEC绕点A旋转到AFB,则AFBAEC

所以BFEC4,AFAE,ABFC

45.连结DF.

所以DBF为直角三角形.

由勾股定理，得DF2BF2BD24232

52.所以DF

因为DAE45'所以dafdab

EAC45

所以ADEADFSAS.所以deDF

23、如图，在△ABC中,AB=AC=6P为BC上任意一点，请用学过的知识试求POPB+PA的值。

P

24、※如图在Rt△ABC中,C90,AC4,BC3，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三

角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。

如图所示:

A

4

要求：

在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的

三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）

解：

要在Rt△ABC的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。

要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。

下图中的四种拼接方法供参考。

25.如图，AB两个村子在河

CD的同侧，AB两村到河的距离分别为

AC=1krmBD=3krmCD=3krm

现在河边CD上建一水厂向A

B两村输送自来水，铺设水管的费用为

20000元/千米，请你在

CD

选择水厂位置0,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用

F。

f）

27.（8分）如图，在△ABC中，AB=ACP为BC上任意一点，请说明：

aB—Ap=PBPC。

222

28、如图，已知：

C90，AMCM，MPAB于P.求证：

BPAPBC

A

29.（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西

边去饮水，然后

8km北7km处，他想把他的马牵到小河

回家.他要完成这件事情所走的最短路

小河

程是多少?

-B

小屋

A*

牧童！

I

Ib

30.

（本题满分6分）如图所示，某住宅社区