文科立体几何线面角二面角专题带答案解析.docx
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文科立体几何线面角二面角专题带答案解析
文科立体几何线面角二面角专题
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一、解答题
1.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2Q,PA=PB=PC=AC=4,。
为AC的中点.
（1）证明：
P0丄平面ABC：
（2）若点皿在棱BC上，且二面角M-PA-C为30；求PC与平面PAM所成角的正弦值.
2.如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=2j2tPA=PB=PC=AC=4?
0为AC的中点
⑴证明：
PO丄平面ABC；
（2）若点“在棱BC上，且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
3.（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCABG,A（A,BbGC均垂直于平面ABC,
ZABC=120°,AiA=4,CiC=1,AB=BC=BiB=2.
（I）证明：
ABi丄平面AiBiCi：
（II）求直线AG与平面ABBt所成的角的正弦值.
4.如图，在三棱柱ABC_AiBiCi中，点p,G分别是AA],的中点，已知AA]丄平面abc,AABCABAC
mm1=d1u1=3,11=1U1=2.
（I）求异面直线A/3与AB所成角的余弦值；
z..x4yA.G.2jr-BCC.B-
（II）求证：
1丄平面11;
（III）求直线P。
与平面BCC1B1所成角的正弦值.
5.如图，四棱锥P・ABCD,底面ABCD是正方形，PA=PD=AB=1,PB=PC=E,P分别是PB,CD的中点.
⑴求证AB丄EF；
（2）求二面角B・EF・C的余弦值.
6.如图，三棱柱ABC-ADC］中侧棱AA］丄底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,"5的中点.
（1）证明：
EF//平面〜CD；
/八y嗣仏疋AqCD丄.rA.ABB.
（2）证明：
平面1平面11;
（3）求直线EF与直线A】B］所成角的正弦值
7.如图，在四边形ABCD中，AB//CD、ZMD二30°,AB=2CD=2AD=2、QF丄平面ABCD,EF//BD,乩BD=2EF.
（I）求证：
平面血疋丄平面BDEF；
（II）若二面角CBPD的大小为60°,求6F与平面ABCD所成角的正弦值.
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD,PA二AB二BC二,AD=CD=1
1
0PN=-PB
SDC"20,点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且4
（1）证明：
MN//平面PDC；
9.在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB//DC,AB二AD",
CD=2,AC二EC二也
（1）求证：
平面EBC丄平面EBD；
（2）设171为线段EC上一点，3EM二EC,求二面角M-BD-E的平面角的余弦值.
10.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,已知AC丄EC,
AB=AF=BC=2?
AD=DE=4t四边形ADEF为直角梯形，AF//DE,^DAF=90°
（1）证明：
AC丄平面CDE,平面ABCD丄平面ADEF；
（2）求三棱锥E-ABF的体积.
秦考答案
1.
（1）见解析
（2）4
【解析】分析：
（1）根据等腰三角形性质得P0垂直AC,再通过计算，根据勾股定理得P0垂直0B,最后根据线面垂直判定定理得结论，
（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM—个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
详解：
（1）因为AP=CP=AC=4＞。
为AC的中点，所以OP丄AC,且0P=2靠
&
AB=BC=—AC
连结°B•因为2,所以△ABC为等腰直角三角形，
1
OB=-AC=2
且0B丄AC,2
由OP?
+OB2=PB2^PO丄OB
由OP丄OB,OP丄AC知PO丄平面ABC
（2）如图，以°为坐标原点，0B的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系°・x*
由已知得O（0,0,0）,B（2,0,0）,A（0,-2,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2Q§）,AP=（0,2,2点）,取平面PAC的法向量
0B=（2,0,0）.
㊁殳IVl（a”2・a,0）（0设平面PA"的法向量为n=（x“z）・
2问a・4|
所以2^'3（a.4）2+3a2+a2?
■解得a=4（舍去），*3.
所以333•又KC=（UzZz-Z^,所以4
2y+2$z=0
ax+（4-a）y=0?
可取n=（j3（a•4）筋a,•a）
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为4.
点睛：
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四庶”:
第一，<“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破''求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，咬“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
2.解：
（1）因为力代加力。
4,0为加的中点，所以0P丄AC,且加2由・
1-AC
连结％.因为侔Bl,所以为等腰直角三角形，且0B丄AC,妙2=2.
由OP2+OB2=PB2^p>0P±08.
由0P10B、0P±AC^P0丄平面ABC.
（2）作CH丄0M,垂足为〃・又由
（1）可得〃丄做所以旳丄平面P0〃・故旳的长为点C到平面P0M的距离.
h2BC唾
由题设可知00=2,沪=3,Z/1妙45°・
2躬
0C-MC-sin^ACB4』5
所以3,67A0M=5・
[-址所以点C到平面P%的距离为5・
【解析】分析：
（1）连接0B,欲证P°丄平面ABC,只需证明P0丄ACfO丄OB即可；
（2）过
点C作CH丄0M,垂足为只需论证CH的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：
（1）因为AP-C^AO490为SC的中点，所以OPIAC,且0片2$・
连结％.因为ABBS2,所以为等腰直角三角形，且0B丄AC,妙2=2.
由OP'+OB—PB?
知，op丄0B.
（2）作CH丄0M,垂足为〃・又由
（1）可得〃丄做所以旳丄平面P0〃・
故C"的长为点C到平面P%的距离・
厂
12叫2
—AC—BC
由题设可知0O1=2,CQ=3,Z/1妙45°・
厂,厂
2』50C-MC・sin乙ACB4彳5
所以3,67A0M=5・
厂
址
所以点C到平面P%的距离为5・
点睛：
立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解題的核心是能将问题转化为线线关系的证明：
本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.
色
3.（I）见解析；（II）13.
【解析】分析：
方法一：
（I）通过计算，根据勾股定理得A%丄AiBi,ABi丄再根据线面垂直的判定定理得结论，（II）找出直线SG与平面力％所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：
（I）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出ABi1A1BvABi±AiCi,再根据线面垂直的判定定理得结论，（II）根据方程组解出平面ABB啲一个法向量，然后利用AC】与平面ABB】法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.
详解：
方法一：
（I）由AB=2,AA］=4zBBi=2,AAX丄AB’BB】1AB彳寻AB：
=AiB1=2&
AB,丄A.B
由Bc“BB广乙CC广匕BB］丄BC,CC
由AB=BC=2,厶ABC=120。
得AC=2艮由—丄AC,得AC广J玖所以AB和BiC^AC］故AB】丄因此A%丄平面缺心
（II）如图,过点5作勺。
丄A1B1,交直线人占1于点D,连结AD.
川0
R
由AB1丄平面人悴］得平面/C］丄平面ABB*
C】D丄A”】得C】D丄
平面ABB］
所以4AD是AC】与平面ABB】所成的角.学科.网
lsinZC-AD所以代故
AC】13
因此，直线A0与平面ABB］所成的角的正弦值是13.
方法二:
（I）如图，以SC的中点0为原点，分别以射线0C为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
A（0厂血0）冋100）宀（0厂爲4）印102）心（0,怎"因此AB】=（1,低2）,A]B]=（1,伍-2）,A1C1=（0,2爲-3）,
由AB】•A"=0得AB】丄A1B1
由AB】•A#广0得AB】丄A1C1
所以AB]丄平面A1B&
（II）设直线AG与平面ABB]所成的角为0由（I）可知人©=（0,2点1）再珂1加,0）辟广（0,0,2）,设平面AB®的法向量n=（x,y,z）.
由
n•AB=0,n・BB]=0,即
x+^3y=0,L
2z=0z可取n=（・靠」,0）.
因此，直线A0与平面ABB】所成的角的正弦值是13.
点睛：
利用法向量求解空间线面角的关维在于“四砺:
第一，破“建系关”，构建恰当的
空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”,
求出平面的法向量；第四，破“'应用公式关”.也I
4.（I）4（II）见解析（III）5
【解析】分析：
（I）由题意得A1S〃AB,故ZGA1B1是异面直线AQ与ab所成的角，解三角形可得所求余弦值.（II）在三棱柱ABC_AiBiCi中，由~丄平面ABC可得AAi±A,Gt于是丄/VG,又AiG丄B1C1,根据线面垂直的判定定理可得结论成立.（III）取BC的中点H,连接AH,HG：
取HG的中点0,连接0P,°°.由PO//A.G可得P。
丄平面BCC1B1,故得ZPC,0是PG与平面BCCiBi所成的角，然后解三角形可得所求.
详解：
（|）7AiBi//AB,
•••ZGA1B1是异面直线与AB所成的角.
VAibi=aici=2,G为BC的中点,
/•AiG丄BiCi9
在RtAGA®中,
"厲1二90°
即异面直线AG与AB所成角的余炫值为I
（II）在三棱柱ABSA"]中，
•••从1丄平面ABC,A/3u平面abc,
AA
Z.1±A,G,
•bb
i丄AiG,
BB】nB1C1=B]
••A】G丄平面Bee”】
（III）解：
取BC的中点h,连接AH,HG;取HG的中点0,连接OP,°C1.
VP0//A1G,
・•・PO丄平面B—B],
•••ZPCiO是PC,与平面BCC1B1所成的角.
由已知得,
PC广
PO=AnG=—
2
sin厶PCQ==—,
1PC】5
・••直线pq与平面BCC1B1所成角的正弦值为5.
点睛：
用几何法求求空间角的步骤：
①作：
利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；②证：
证明作出的角为所求角；③求：
把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；④作出结论，将问题转化为几何问题.
5.⑴见解析；⑵2.
【解析】试题分析：
（1）由题意，可取PC中点M,连接EM,FM，则易知平面EMF〃平面PAD,由条件易证AB丄平面PAD,则AB丄平面EMF,又EFu平面EMF,根据线面垂直的定艾，从而问题可得证；
（2）由趣意，采用坐标法进行求解，可取AD中点0为坐标原点，过0点作平行于AB的直线为x轴，0D为y轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面BEF和平面EFC的法向量,结合图形，二面角B-EF-C为锐角，从而问题可得解.
试题解析：
（1）取PC中点连结EM,FM,・.・ABCD是正方形，.・.AB丄AD,
又・.・pa=AB=1,PB=&,.・.AB丄PA,.・.AB丄面PAD,.・.AB丄PD,
又・・・E,F,M都是中点，・・・EM//BC,MF//PD,.・.AB丄面EMF,
•AB丄EF.
（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得I’2’丿，I‘2’丿，〔2’2’丿，\244^则
EF=k|,-^&
设平面BEF的法向量为ni=Mrzi）,则
ri]•BF=0
nt•EF=0
令V1=1）则X]=2,=得“1=（2,1,屈）,
同理得平面CEF的法向量为“2=（°几$）,
2—
12,所以他的余弦值是2.
点睛：
此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考題型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论.
6.
（1）见解析
（2）见解析（3）5
【解析】分析：
（1）先证明EF//DA],再证明EF//平面A£DQ）先证明CD丄面A1ABB1＞再证明平面A£D丄平面A]ABB].⑶利用异面直线所成的角的定狡求直线EF与直线A]B]所成角的正弦值为5・
详解：
（1）证明：
连接ED,
・・・D、E分别是AB、BC的中点
1
DE=—AC
•DE//AC2
又F为棱A15的中点，尸DE,AJ7/DE
・••四边形ApEF是平行四边形，,.EF//DA],
又・严严平面A】CD,ef@平面"CD,...EF//平面A"
（2）证明：
TD是AB的中点,e\CD丄AB,
又•严'丄平面ABC,CDU平面ABC,
•AA]丄CD••AAiCAB二A
.•.CD丄面A]ABB],又cdu面A£D,
・•・平面a】cd丄平面"ABB]；
⑶解：
严加〜，AB//A",
.ZA]DA为直线ef与直线A®所成的角.
1
arpARpAD=—a
设三棱柱AbL-AibiH的棱长为a,则2,
■J5A1A2岳
AD='A.A^AD2=—asin^A1DA=-—=—-
.1\12•A]D5
••,•••
即直线EF与直线AiB]所成角的正弦值为5.
点睛：
（1）本趣主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.
（2）求空间的角，方法一是利用几何法，找-作T证-指T求.方法二是利用向量法.
7.
（1）见解析
（2）11
【解析】分析：
（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE丄平面BDEF；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面S3〃所成角的正弦值；也可以
应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.
详解：
（I）在△/!
少中，ZABD=3Y,由AG=AR+B0-2AB•BDcos3y,解得収所以AE+B4A反根据勾股定理得乙ADB=90°:
.AD1BD.又因为QF丄平面ABCD,血u平面ABCD,:
.ADIDE.
又因为比cDE=D,所以SQ丄平面BDEF、又平面ABCD、
•••平面ADE丄平面BDEF.
（II）方法一：
如图，由已知可得zADB=90\'ABD=30°,贝q
^BDC=30\则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.
CG=
CD=CB=1,则2.
过点C做CH//DA,交db.AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影•连接FG,则
GC4
CG丄BD,茁丄平面ABCD、则CG丄平面BDEF过G做GI丄BF于点|,则BF丄平面GCI,即角GCI为二面角C'BF'D的平面角，则Zgci=60°・
CG11
tan60=—CG=-GI=——则Cl,2,则2心
1
lGI=—-
在直角梯形BDEF中，G为BD中点，BD=J3,GI丄BF,2j3.
11爲
SARrc二-•BG•GF二一・BF・GIDE=—设DE=x，则GF=x,22，则8.
—sin^FCG=—
4,则11,即CF与平面处〃所成角的正弦值为11・
（II）方法二:
直角坐标系D-xyz.
可知Q4DB、QF两两垂直，以Q为原点，建立如图所示的空间
丄血
设DE=h,则D（0,0,0）,B（0,V5,0）,C（-2,-2,
〃）・
设平面0CF的法向量为m=lx,y,z）,
・0・5xy=0
2
|m-BC=0
则|m•BF=0所以
-—y+hz=0
2取所以/;;=（區
-1,-監
取平面8好的法向量为n=（1,0,0）,
cos-m・n
n>I=————=cos60
h=—DE=
解得8,则8
（22
8,设CF与平面力3〃所成角为
故直线CF与平面力0〃所成角的正弦值为11点睛：
该題考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化,在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.
&
（1）见解析；
（2）4
BM=—
【解析】分析：
（1）由题意得"Be是等边三角形，故得2,于是MD,从而得
BMBN
==3
MDNP，所以MN//PD,然后根据线面平行的判定定理可得结论成立.
（2）由PA丄平面
ABCD可得BD丄PA,于是BD丄平面PAC.又MN//PD,所以直线MN与平面PAC所成角即直线PD
与平面PAC所成角，从而得到乙DPM即为所求角，然后根据解三角形可得所求.
详解：
（1）因为AB=BC,AD=CD>
所以BD垂直平分线段AC.
又乙ADC=120°,
11
md=-ad=-
所以22.
在AADC中，由余弦定理得
AC2=DA2+DC2-2ADxDCxcos乙ADC=l+l-2xlxlxcosl20°=3
9
所以心R
又AB二BC二屈
所以“ABC是等边三角形，
BM=—
所以2,
BM=3所以MD
1
PN=-PB
又因为4,
BMBN=—=3所以MDNP所以MN//PD又MN®平面PDC,PDU平面PDC,所以MN//平面PDC.
（2）因为PA丄平面ABCD,BDU平面ABCD,
所以BD丄PA,
又BD丄AC,PAnAC=A?
所以BD丄平面PAC.
由
（1）知MN//PD,
所以直线MN与平面PAC所成角即直线PD与平面PAC所成角，
故乙DPM即为所求的角.
在RtAPAD中，PD=2,
1
DM21
sin^-DPM==-=-
所以DP24,
1
所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为4.
点睛：
（1）证明空间中的位置关系时要注意解題的规范性和严密性，运用定理证明时要体现
出定理中的关键性词语.
（2）用几何法求空间角时可分为三步，即"一找、二证、三计算”，即首先根据所求角的
定狡作出所求的角，并给出证明，最后利用解三角形的方法得到所求的角（或其三角函数值）.
--m-n2$6
costm,n）=—―—=—r=—7==—
9.⑴见解析；
（2）lmIH护*33
【解析】分析：
（1）由勾股定理的逆定理可得AD丄DC,ED丄DC；又由条件可得到ED丄AD,
于是ED丄平面ABCD,可得ED丄BC,从而得到BC丄平面EBD,根据面面垂直的判定定理得平
面EBC丄平面EBD.
（2）由题意得可得DA,DC,DE两两垂直，故可建立空间直角坐标系，结
M的坐标为（0,-,-）“
合題意可得点33,于是可求得平面"BD的法向量为m=（7,1,1）,又
亠cos=—
BC=（-14,0）是平面EBD的一个法向量，求得3后结合图形可得所求余弦值为
I
3
详解：
（1）由AD",CD=2,AC=^5，得AD2+CD2=AC\
.•.△ADC为直角三角形，且AD丄DC
同理MDC为直角三角形，且ED丄DC.
又四边形adef是正方形，
-AD丄DE
•••
又AB//DC
•DA1AB
••
在梯形ABCD中，过点作B作BH丄CD于H,
故四边形ABHD是正方形，
•乙ADB=45°
••
在ABCH中，BH=CH=1?
••/BCH=45°,BC=d
•乙BDC=45°
••,
•乙DBC=90°
••,
•BC丄BD
••
••ED丄ADED丄DCADnDC=D
•,99
.・.ED丄平面ABCD
又BCU平面ABCD,
-ED丄BC
••,
又BDnED=D,
・・.BC丄平面EBD,
又BCU平面EBC,
DC,DE所在直线为x“z轴建立
・••平面EBC丄平面EBD.
（2）由
（1）可得DA,DC,DE两两垂直，以D为原点、，DA,
如图所示的空间直角坐标系D・xyz,
则D（OQO）,E（OQ1）,B（11O）,C（O2O）令MP"%,则EM=（O必忆0・1）,Ec=（0,2,-1）••3EM=EC
•,
.（Oz3y（r3zo-3a）=（O,2/-l）
••
M的坐标为（0厂厂）
•••点33
VBC丄平面EBD,•••BC=（・1丄0）是平面EBD的一个法向量.
x+y=0
设平面MBD的法向量为m二（XMZ）.
则］m・DM=0f即33,可得x=-y=-z
令y=得m=・
--m•BC2（6
cos=———=〒——尸=—
...|m||BC|3.
由图形知二面角M-BD-E为锐角，
I
・••二面角M・BD・E的平面角的余弦值为3.
点睛：
利用空间向量求二面角的注意点
（1）建立空间直角坐标系时，要注意证明得到两两垂直的三条直线.然后确定出相应点的坐标，在此基础上求得平面的法向量.
（2）求得两法向量的夹角的余弦值
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