设平面PA"的法向量为n=(x“z)・
2问a・4|
所以2^'3(a.4)2+3a2+a2?
■解得a=4(舍去),*3.
所以333•又KC=(UzZz-Z^,所以4
2y+2$z=0
ax+(4-a)y=0?
可取n=(j3(a•4)筋a,•a)
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为4.
点睛:
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四庶”:
第一,<“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破''求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,咬“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.
2.解:
(1)因为力代加力。
4,0为加的中点,所以0P丄AC,且加2由・
1-AC
连结%.因为侔Bl,所以为等腰直角三角形,且0B丄AC,妙2=2.
由OP2+OB2=PB2^p>0P±08.
由0P10B、0P±AC^P0丄平面ABC.
(2)作CH丄0M,垂足为〃・又由
(1)可得〃丄做所以旳丄平面P0〃・故旳的长为点C到平面P0M的距离.
h2BC唾
由题设可知00=2,沪=3,Z/1妙45°・
2躬
0C-MC-sin^ACB4』5
所以3,67A0M=5・
[-址所以点C到平面P%的距离为5・
【解析】分析:
(1)连接0B,欲证P°丄平面ABC,只需证明P0丄ACfO丄OB即可;
(2)过
点C作CH丄0M,垂足为只需论证CH的长即为所求,再利用平面几何知识求解即可.
详解:
(1)因为AP-C^AO490为SC的中点,所以OPIAC,且0片2$・
连结%.因为ABBS2,所以为等腰直角三角形,且0B丄AC,妙2=2.
由OP'+OB—PB?
知,op丄0B.
(2)作CH丄0M,垂足为〃・又由
(1)可得〃丄做所以旳丄平面P0〃・
故C"的长为点C到平面P%的距离・
厂
12叫2
—AC—BC
由题设可知0O1=2,CQ=3,Z/1妙45°・
厂,厂
2』50C-MC・sin乙ACB4彳5
所以3,67A0M=5・
厂
址
所以点C到平面P%的距离为5・
点睛:
立体几何解答题在高考中难度低于解析几何,属于易得分题,第一问多以线面的证明为主,解題的核心是能将问题转化为线线关系的证明:
本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解,也可利用等体积法解决.
色
3.(I)见解析;(II)13.
【解析】分析:
方法一:
(I)通过计算,根据勾股定理得A%丄AiBi,ABi丄再根据线面垂直的判定定理得结论,(II)找出直线SG与平面力%所成的角,再在直角三角形中求解.方法二:
(I)根据条件建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,根据向量之积为0得出ABi1A1BvABi±AiCi,再根据线面垂直的判定定理得结论,(II)根据方程组解出平面ABB啲一个法向量,然后利用AC】与平面ABB】法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.
详解:
方法一:
(I)由AB=2,AA]=4zBBi=2,AAX丄AB’BB】1AB彳寻AB:
=AiB1=2&
AB,丄A.B
由Bc“BB广乙CC广匕BB]丄BC,CC
由AB=BC=2,厶ABC=120。
得AC=2艮由—丄AC,得AC广J玖所以AB和BiC^AC]故AB】丄因此A%丄平面缺心
(II)如图,过点5作勺。
丄A1B1,交直线人占1于点D,连结AD.
川0
R
由AB1丄平面人悴]得平面/C]丄平面ABB*
C】D丄A”】得C】D丄
平面ABB]
所以4AD是AC】与平面ABB】所成的角.学科.网
lsinZC-AD所以代故
AC】13
因此,直线A0与平面ABB]所成的角的正弦值是13.
方法二:
(I)如图,以SC的中点0为原点,分别以射线0C为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下:
A(0厂血0)冋100)宀(0厂爲4)印102)心(0,怎"因此AB】=(1,低2),A]B]=(1,伍-2),A1C1=(0,2爲-3),
由AB】•A"=0得AB】丄A1B1
由AB】•A#广0得AB】丄A1C1
所以AB]丄平面A1B&
(II)设直线AG与平面ABB]所成的角为0由(I)可知人©=(0,2点1)再珂1加,0)辟广(0,0,2),设平面AB®的法向量n=(x,y,z).
由
n•AB=0,n・BB]=0,即
x+^3y=0,L
2z=0z可取n=(・靠」,0).
因此,直线A0与平面ABB】所成的角的正弦值是13.
点睛:
利用法向量求解空间线面角的关维在于“四砺:
第一,破“建系关”,构建恰当的
空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,
求出平面的法向量;第四,破“'应用公式关”.也I
4.(I)4(II)见解析(III)5
【解析】分析:
(I)由题意得A1S〃AB,故ZGA1B1是异面直线AQ与ab所成的角,解三角形可得所求余弦值.(II)在三棱柱ABC_AiBiCi中,由~丄平面ABC可得AAi±A,Gt于是丄/VG,又AiG丄B1C1,根据线面垂直的判定定理可得结论成立.(III)取BC的中点H,连接AH,HG:
取HG的中点0,连接0P,°°.由PO//A.G可得P。
丄平面BCC1B1,故得ZPC,0是PG与平面BCCiBi所成的角,然后解三角形可得所求.
详解:
(|)7AiBi//AB,
•••ZGA1B1是异面直线与AB所成的角.
VAibi=aici=2,G为BC的中点,
/•AiG丄BiCi9
在RtAGA®中,
"厲1二90°
即异面直线AG与AB所成角的余炫值为I
(II)在三棱柱ABSA"]中,
•••从1丄平面ABC,A/3u平面abc,
AA
Z.1±A,G,
•bb
i丄AiG,
BB】nB1C1=B]
••A】G丄平面Bee”】
(III)解:
取BC的中点h,连接AH,HG;取HG的中点0,连接OP,°C1.
VP0//A1G,
・•・PO丄平面B—B],
•••ZPCiO是PC,与平面BCC1B1所成的角.
由已知得,
PC广
PO=AnG=—
2
sin厶PCQ==—,
1PC】5
・••直线pq与平面BCC1B1所成角的正弦值为5.
点睛:
用几何法求求空间角的步骤:
①作:
利用定义作出所求的角,将其转化为平面角;②证:
证明作出的角为所求角;③求:
把这个平面角置于一个三角形中,通过解三角形求空间角;④作出结论,将问题转化为几何问题.
5.⑴见解析;⑵2.
【解析】试题分析:
(1)由题意,可取PC中点M,连接EM,FM,则易知平面EMF〃平面PAD,由条件易证AB丄平面PAD,则AB丄平面EMF,又EFu平面EMF,根据线面垂直的定艾,从而问题可得证;
(2)由趣意,采用坐标法进行求解,可取AD中点0为坐标原点,过0点作平行于AB的直线为x轴,0D为y轴,0P为z轴,建立空间直角坐标系,分别算出平面BEF和平面EFC的法向量,结合图形,二面角B-EF-C为锐角,从而问题可得解.
试题解析:
(1)取PC中点连结EM,FM,・.・ABCD是正方形,.・.AB丄AD,
又・.・pa=AB=1,PB=&,.・.AB丄PA,.・.AB丄面PAD,.・.AB丄PD,
又・・・E,F,M都是中点,・・・EM//BC,MF//PD,.・.AB丄面EMF,
•AB丄EF.
(2)建立如图空间直角坐标系,由题意得I’2’丿,I‘2’丿,〔2’2’丿,\244^则
EF=k|,-^&
设平面BEF的法向量为ni=Mrzi),则
ri]•BF=0
nt•EF=0
令V1=1)则X]=2,=得“1=(2,1,屈),
同理得平面CEF的法向量为“2=(°几$),
2—
12,所以他的余弦值是2.
点睛:
此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明,二面角的三角函数值的求解,以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能,属于中档题型,也是常考題型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤,一是根据图形特点,建立空间直角坐标系;二是将几何中的量转化为向量,通过向量的运算;三是将运算得到的结果翻译为几何结论.
6.
(1)见解析
(2)见解析(3)5
【解析】分析:
(1)先证明EF//DA],再证明EF//平面A£DQ)先证明CD丄面A1ABB1>再证明平面A£D丄平面A]ABB].⑶利用异面直线所成的角的定狡求直线EF与直线A]B]所成角的正弦值为5・
详解:
(1)证明:
连接ED,
・・・D、E分别是AB、BC的中点
1
DE=—AC
•DE//AC2
又F为棱A15的中点,尸DE,AJ7/DE
・••四边形ApEF是平行四边形,,.EF//DA],
又・严严平面A】CD,ef@平面"CD,...EF//平面A"
(2)证明:
TD是AB的中点,e\CD丄AB,
又•严'丄平面ABC,CDU平面ABC,
•AA]丄CD••AAiCAB二A
.•.CD丄面A]ABB],又cdu面A£D,
・•・平面a】cd丄平面"ABB];
⑶解:
严加〜,AB//A",
.ZA]DA为直线ef与直线A®所成的角.
1
arpARpAD=—a
设三棱柱AbL-AibiH的棱长为a,则2,
■J5A1A2岳
AD='A.A^AD2=—asin^A1DA=-—=—-
.1\12•A]D5
••,•••
即直线EF与直线AiB]所成角的正弦值为5.
点睛:
(1)本趣主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.
(2)求空间的角,方法一是利用几何法,找-作T证-指T求.方法二是利用向量法.
7.
(1)见解析
(2)11
【解析】分析:
(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE丄平面BDEF;
(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可求CF与平面S3〃所成角的正弦值;也可以
应用常规法,作出线面角,放在三角形当中来求解.
详解:
(I)在△/!
少中,ZABD=3Y,由AG=AR+B0-2AB•BDcos3y,解得収所以AE+B4A反根据勾股定理得乙ADB=90°:
.AD1BD.又因为QF丄平面ABCD,血u平面ABCD,:
.ADIDE.
又因为比cDE=D,所以SQ丄平面BDEF、又平面ABCD、
•••平面ADE丄平面BDEF.
(II)方法一:
如图,由已知可得zADB=90\'ABD=30°,贝q
^BDC=30\则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.
CG=
CD=CB=1,则2.
过点C做CH//DA,交db.AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影•连接FG,则
GC4
CG丄BD,茁丄平面ABCD、则CG丄平面BDEF过G做GI丄BF于点|,则BF丄平面GCI,即角GCI为二面角C'BF'D的平面角,则Zgci=60°・
CG11
tan60=—CG=-GI=——则Cl,2,则2心
1
lGI=—-
在直角梯形BDEF中,G为BD中点,BD=J3,GI丄BF,2j3.
11爲
SARrc二-•BG•GF二一・BF・GIDE=—设DE=x,则GF=x,22,则8.
—sin^FCG=—
4,则11,即CF与平面处〃所成角的正弦值为11・
(II)方法二:
直角坐标系D-xyz.
可知Q4DB、QF两两垂直,以Q为原点,建立如图所示的空间
丄血
设DE=h,则D(0,0,0),B(0,V5,0),C(-2,-2,
〃)・
设平面0CF的法向量为m=lx,y,z),
・0・5xy=0
2
|m-BC=0
则|m•BF=0所以
-—y+hz=0
2取所以/;;=(區
-1,-監
取平面8好的法向量为n=(1,0,0),
cos-m・n
n>I=————=cos60
h=—DE=
解得8,则8
(22
8,设CF与平面力3〃所成角为
故直线CF与平面力0〃所成角的正弦值为11点睛:
该題考查的是立体几何的有关问题,涉及到的知识点有面面垂直的判定,线面角的正弦值,在求解的过程中,需要把握面面垂直的判定定理的内容,要明白垂直关系直角的转化,在求线面角的有关量的时候,有两种方法,可以应用常规法,也可以应用向量法.
&
(1)见解析;
(2)4
BM=—
【解析】分析:
(1)由题意得"Be是等边三角形,故得2,于是MD,从而得
BMBN
==3
MDNP,所以MN//PD,然后根据线面平行的判定定理可得结论成立.
(2)由PA丄平面
ABCD可得BD丄PA,于是BD丄平面PAC.又MN//PD,所以直线MN与平面PAC所成角即直线PD
与平面PAC所成角,从而得到乙DPM即为所求角,然后根据解三角形可得所求.
详解:
(1)因为AB=BC,AD=CD>
所以BD垂直平分线段AC.
又乙ADC=120°,
11
md=-ad=-
所以22.
在AADC中,由余弦定理得
AC2=DA2+DC2-2ADxDCxcos乙ADC=l+l-2xlxlxcosl20°=3
9
所以心R
又AB二BC二屈
所以“ABC是等边三角形,
BM=—
所以2,
BM=3所以MD
1
PN=-PB
又因为4,
BMBN=—=3所以MDNP所以MN//PD又MN®平面PDC,PDU平面PDC,所以MN//平面PDC.
(2)因为PA丄平面ABCD,BDU平面ABCD,
所以BD丄PA,
又BD丄AC,PAnAC=A?
所以BD丄平面PAC.
由
(1)知MN//PD,
所以直线MN与平面PAC所成角即直线PD与平面PAC所成角,
故乙DPM即为所求的角.
在RtAPAD中,PD=2,
1
DM21
sin^-DPM==-=-
所以DP24,
1
所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为4.
点睛:
(1)证明空间中的位置关系时要注意解題的规范性和严密性,运用定理证明时要体现
出定理中的关键性词语.
(2)用几何法求空间角时可分为三步,即"一找、二证、三计算”,即首先根据所求角的
定狡作出所求的角,并给出证明,最后利用解三角形的方法得到所求的角(或其三角函数值).
--m-n2$6
costm,n)=—―—=—r=—7==—
9.⑴见解析;
(2)lmIH护*33
【解析】分析:
(1)由勾股定理的逆定理可得AD丄DC,ED丄DC;又由条件可得到ED丄AD,
于是ED丄平面ABCD,可得ED丄BC,从而得到BC丄平面EBD,根据面面垂直的判定定理得平
面EBC丄平面EBD.
(2)由题意得可得DA,DC,DE两两垂直,故可建立空间直角坐标系,结
M的坐标为(0,-,-)“
合題意可得点33,于是可求得平面"BD的法向量为m=(7,1,1),又
亠cos=—
BC=(-14,0)是平面EBD的一个法向量,求得3后结合图形可得所求余弦值为
I
3
详解:
(1)由AD",CD=2,AC=^5,得AD2+CD2=AC\
.•.△ADC为直角三角形,且AD丄DC
同理MDC为直角三角形,且ED丄DC.
又四边形adef是正方形,
-AD丄DE
•••
又AB//DC
•DA1AB
••
在梯形ABCD中,过点作B作BH丄CD于H,
故四边形ABHD是正方形,
•乙ADB=45°
••
在ABCH中,BH=CH=1?
••/BCH=45°,BC=d
•乙BDC=45°
••,
•乙DBC=90°
••,
•BC丄BD
••
••ED丄ADED丄DCADnDC=D
•,99
.・.ED丄平面ABCD
又BCU平面ABCD,
-ED丄BC
••,
又BDnED=D,
・・.BC丄平面EBD,
又BCU平面EBC,
DC,DE所在直线为x“z轴建立
・••平面EBC丄平面EBD.
(2)由
(1)可得DA,DC,DE两两垂直,以D为原点、,DA,
如图所示的空间直角坐标系D・xyz,
则D(OQO),E(OQ1),B(11O),C(O2O)令MP"%,则EM=(O必忆0・1),Ec=(0,2,-1)••3EM=EC
•,
.(Oz3y(r3zo-3a)=(O,2/-l)
••
M的坐标为(0厂厂)
•••点33
VBC丄平面EBD,•••BC=(・1丄0)是平面EBD的一个法向量.
x+y=0
设平面MBD的法向量为m二(XMZ).
则]m・DM=0f即33,可得x=-y=-z
令y=得m=・
--m•BC2(6
cos=———=〒——尸=—
...|m||BC|3.
由图形知二面角M-BD-E为锐角,
I
・••二面角M・BD・E的平面角的余弦值为3.
点睛:
利用空间向量求二面角的注意点
(1)建立空间直角坐标系时,要注意证明得到两两垂直的三条直线.然后确定出相应点的坐标,在此基础上求得平面的法向量.
(2)求得两法向量的夹角的余弦值