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数学史的教育价值
数学史的教育价值
1.引言
数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治、经济和文化一般联系的一门学科。
1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（InternationalStudyGroupontheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics,简称HPM），它标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出现。
2001年7月《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》出台，其第四部分的“课程实施”中，每个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”，要求在数学教育中凸显数学史的文化价值，突出数学史特殊的地位和作用。
教育部近年来颁布的《普通高中数学课程标准》中指出：
“高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对数学文化的学习要求，设立数学史选讲等专题。
”可见对数学史与数学文化在数学教学中的作用是很重视的。
纵观中小学数学教材，数学史彰显的魅力无处不在，它们或以数学故事引入，或以数学活动置入，或以趣味习题插入，以各种方式出现在每种版本的数学教材之中。
在数学教学中穿插数学史知识，渗透数学史内容，营造数学史的文化意境，让学生感知数学美，发现数学美，能开阔学生的视野，树立学好数学的信心。
老师们往往特意在原先常规的教学设计中,加一点数学史的知识,介绍一些数学概念产生的背景材料，以期彰显数学文化价值，这也是每个数学老师应担负的重要责任。
数学教育目的是让学生理解和掌握课程中的数学概念、数学方法和数学思想。
本文探讨基于学生已有的知识经验和生活经验，在数学史视角下的教学课堂凸显数学文化的价值的意义,选取了三个层面研究：
理解数学知识本质，掌握数学思想方法，提高数学教学效果。
2.数学史促进学生理解数学知识本质
建构主义学习理论告诉我们,学生只有利用已有的知识重新组合,来理解现在的新知识,才能达到最深刻的主体建构,才能真正地理解。
教师只有把课本的内容放到历史的背景上考察,才能求得自己的理解,然后,才有可能帮助学生理解。
数学史可以提供各种数学历史背景,让学生理解数学的原始思考,来龙去脉,获得真正的理解。
数学是以概念为起点,以公理、定理为依托,用各种思维方法总结出来的一个学科体系。
一个概念只有在与其历史背景联系时,才能容易被人所理解、所接受。
在当前的数学教学中,往往局限于一个概念、一个定理、一种思想的局部历史的介绍,缺乏宏观的历史进程的综合性描述。
实际上,用宏观的数学史进程,可以更深刻地揭示数学的含义。
数学史是关于数学发展的历史，它揭示了数学知识的来源和背景，涵盖了大量的数学知识的发现和认识；数学史给学生提供了数学学科的纵向和横向的联系，从纵向看可以追溯到数学理论和概念的来龙去脉；从横向看可以将各种数学概念的关系进行有机的整合。
中学教学教材由于受“编排”、“教材特点”等限制,虽有一定系统性,但不可能把知识来龙去脉叙述得十分清楚细致,我们可以运用数学史上人类认识自然的过程,在教材知识主干上纵横延伸串联,使知识脉络更加清晰,形成科学系统,这样便于学生对知识深刻理解、记忆。
数学史不仅能够促进学生加深对主要数学知识本身的理解,认识其文化价值,体会到数学发明创造过程中的火热思考,培养学生的数学思维能力,而且通过数学史的学习,能够让学生了解到数学发展的历史长河,把握数学发展的整体概貌,从而能够站在历史发展的长河之岸,鸟瞰所学知识在数学发展过程中的地位、作用,从整体上加以认识和把握,组织起结构良好的知识网络。
历史可以提供整个课程的概貌,不仅是课程的内容互相联系,而且使它们跟数学思想的主干也联系起来。
在传统的数学教学中,由于学生缺乏数学史知识,虽然学了许多知识,但却不知所学知识有何用,不知所学知识在数学学科中的历史地位和作用,这是遗憾的,也是不应该的。
数学家庞加莱指出:
“如果我们想要遇见数学的未来,适当的途径是学习这门学科的历史和现状。
”
数学史可以提供各种数学问题的历史背景,让学生理解数学的原始思考和来龙去脉,以获得真正的理解,也能把握数学发展的整体概貌,组织起结构良好的知识网络,使学生再不会感到数学课学到的彼此没有关系的数学片段。
现代数学的体系犹如“茂密繁盛的森林”，使人“站在外面窥不见它的全貌，深入内部又可能陷身迷津”，数学史的作用就是指引方向的“路标”，给人以启迪和明鉴。
数学知识过于“冰冷的美丽”（弗赖灯塔尔语）的背后，有着数学家艰难求索的足迹，再现数学知识的来龙去脉，还数学以本质，还知识以原貌，还结论以原点，可以帮助学生了解数学发展的基本轨迹，触摸数学发展的蜿蜒曲折，加深对数学史的文化理解。
中国古代数学表现出非常强烈的算法精神，例如：
《九章算术》。
而古希腊数学表现出很强的逻辑推理思想，例如：
欧几里得的《几何原本》。
为什么会产生这些现象呢？
因为不同的文化孕育出不同的数学，文化可以影响人们的思想和思维习惯，所以才造成中国古代和古希腊的不同风格的数学产生。
作为数学教师，应该仔细品位数学史的文化内涵，充分挖掘中国古代数学的算法精神和古希腊的演绎精神，在课程教学中让学生能够吸取中西数学文化的精华。
例如，在小学数学课程中，就大多数小学生而言，数学与其他学科相比确实是比较抽象、枯燥乏味的，如果用历史回顾和历史轶事点缀，学生的学习兴趣就会大大增加。
当教学四年级上册“数的产生”时，这样导入：
同学们，你们一定都知道阿拉伯数字为1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，而你们知道这些数是如何产生的吗？
这些抽象的数是从人们长期的记数实践中产生的，至于它的记法，又是经过漫长的历史演变的。
最早可能是手指记数，当指头不敷运用时，就出现了石子记数等。
但记数的石子很难长久保存信息，于是又有结绳记数和刻痕记数。
又经历了数万年的发展，直到距今大约五千多年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统。
你们知道“阿拉伯数字”的由来吗？
3世纪时，印度人发明了一种特殊的数字。
后来，这种印度数字传到了阿拉伯。
12世纪时，阿拉伯商人又把印度数字带到了欧洲，欧洲人称他们为“阿拉伯数字”。
慢慢地，阿拉伯数字成为一种世界通用的数字。
听完后，同学们顿悟：
噢！
原来阿拉伯数字不是阿拉伯人发明的。
这样教学，既能活跃课堂气氛，还能激发学生学习数学的兴趣。
通过教学中数学史的不断渗透,不仅可以让学生了解关于数学发展的一些知识,还能丰富学生对数学的整体认知。
又如，在人教版初中数学二年级下册勾股定理的教学中,一般勾股定理的教案,都喜欢用发现法,即用一连串的实验单,从边长为3、4、5的直角三角形开始,逐步地发现勾股定理。
勾股定理最好的教学设计,是运用数学史实加以展开。
首先是建造金字塔的古埃及,没有勾股定理的记载,然后是古巴比仑泥版上发现了勾股数,中国的陈子、商高的勾三股四弦五,古希腊的毕达哥拉斯的结论及证明的记载,中国赵爽的代数方法巧证。
这些史实,展现人类文明的特征。
然后联系到今天的寻找外星人是使用勾股定理的图案,2002年北京数学家大会采用赵爽证明作为会标,以及作为勾股定理不能推广到高次的费马大定理的解决,一幅幅绚丽的历史画卷,将会使得学习者赏心悦目,受到深刻的文化感染。
由此对数学文明产生一种敬畏和感恩之心,并从而了解数学、热爱数学。
3.数学史促进学生掌握数学思想方法
数学史中存在着大量的思想方法，通过这些思想方法，我们能够看到数学产生的过程，使学生感受活生生的数学发现。
数学史作为数学思想的发展史，其中蕴含了丰富的思想方法。
数学学习要使学生形成一定的数学思想方法，这已经是大家公认的事实。
因为数学中最本质、最精彩、最有价值的就是数学思想方法，它们比数学知识更为重要、更加有用，对人的成长更有影响。
因此，在数学教学中，要善于挖掘其中的数学思想方法，并在课堂教学中进行渗透、领悟，并最终培养学生的创新精神和创造能力。
下面介绍常见的数学思想方法以及数学史融入其中的的教学案例。
观察法是人们对周围世界客观事物和现象在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系，从而获取经验材料的一种方法。
数学史中存在着很多运用观察法发现规律的思想方法。
实验法是人们根据研究的需要，有时要借助专门仪器工具，人为地变革、控制研究对象，在有利条件下获取经验材料的方法。
有很多人认为数学家似乎不会总是用到这种方法吧，难道数学史能够给予我们很多实验法的文化价值吗？
其实，实验法在数学史中的思想方法中也占有很高的地位。
归纳法—是指通过对特殊的、具体的事物的分析、认识、研究，从而导出一般性结论的方法。
数学史中可以找到大量数学家运用归纳法的影子，数学归纳法中所含的递推思想可以在古希腊时代找到远源，在中世纪犹太数学文献中则可以找到较为明确的应用。
最先明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家帕斯卡，他在1645年写出著作《论算术三角形》中，用数学归纳法证明了所谓的“帕斯卡三角形”的三个命题。
数学归纳法是一种重要的思想方法，它包括完全归纳法和不完全归纳法。
其中研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论的，称之完全归纳法；通过对某类事物中的部分对象的研究，概括出关于该类事物的一般性结论的，称之不完全归纳法。
应用不完全归纳法得出的一般性结论，未必正确，应用完全归纳法推出的一般性结论，则必定正确。
不完全归纳法的可靠性虽不是很大，但它在科学研究中有着重要作用，许多数学猜想（如哥德巴赫猜想）都来源于不完全归纳法。
实际上，数学中许多著名定理、公式、都是先用不完全归纳法从经验中概括出一般结论，然后再经过严格的数学推导，给予证明。
例如：
著名的“四色定理”是1840年提出的猜想，1976年借助于计算机给出证明；著名的哥德巴赫猜想的真实性至今尚未给出证明。
类比推理是根据两个或两类对象在某些性质上相似，推断出它们在另外的性质上也相似的一种逻辑推理。
著名数学家拉普拉斯说：
“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。
”数学家们运用类比方法去猜想和进行数学发现的例子很多，比如欧拉经常运用类比推理解决很多数学难题；费尔马经常运用类比提出很多问题，难怪有人叫他问题大师。
数学家们运用类比的思想方法，给予了我们很多启示，我们在中学数学中就可以经常运用类比的思想进行教学；比如，在教学中就可以进行“数”与“形”的类比；平面与空间的类比；有限与无限的类比；高维与低维的类比；甚至还有解题方法的类比……这些多种多样的类比有助于培养学生的创新精神。
最后说说数形结合思想。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
数形结合的思想起源比较早，在毕达哥拉斯时期，就有早期的数形结合意识；我国古代数学家刘徽在《海岛算经》一书中就把全部九个几何问题，都用代数的形式来表示；自从笛卡儿创立了解析几何以后，数形结合思想的运用更是达到了高潮，尤其是通过图象显示的几何意义来解题的思想日渐被后人所重视；我国著名的数学家华罗庚曾经说过：
“数缺形时少直观，形少数时少入微，数形结合千般好，数形分离万事休。
”
在当今的中学数学课程中，处处可见数形结合的影子，作为数学教师应该十分重视数形结合的思想方法的运用，要培养学生运用数形结合进行解决问题的能力。
在解决问题的过程中，尤其要培养学生通过图象显示的几何意义来解题的能力，因为通过图象显示的几何意义来解题不仅能够给解题带来捷径，而且还能够锻炼学生的观察能力和融会贯通的能力。
先看一个观察法的例子。
在三角函数图象与性质教学中，三角函数的图象和性质高一学生最容易感到混淆。
因为他们涉及三角函数的三种变换：
振幅变换、周期变换、平移变换。
充分运用观察法，我们可以让学生观察每一组图象的定义域、值域、周期、单调区间及其再观察每一组图象相互之间的关系、特点，然后进行小组讨论、交流；最后，再让学生总结振幅变换、周期变换、平移变换的一般特点，从而逐步加深对函数图象的初等变换的认识。
实验法也是数学家研究数学的一种重要方法，数学家可以通过这种实验法来发现数学中的一些必然性与偶然性的一些联系，这种方法看起来也具有直观的特点，一般人很容易理解这种方法；在数学教学中，一定要重视实验法的运用。
中学概率教学中，如果能叫学生模仿数学家的投币实验，不仅能让学生体会到概率和频率之间的关系，加深对概率的理解，而且能使学生意识到必然性和偶然性之间的联系，从而得到了辨证思维能力的提升。
在八年级中心对称和平形四边形中的旋转中，若不借助于计算机与实际操作实验，学生则很难想象一些结论是怎样产生的。
“数学实验”使学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学，对那些持怀疑态度的问题可以在实验中得以确认。
通过对数学史中的实验法的了解，学生会很容易接受这种方法，而且容易掌握这种方法的运用。
再来看看数学归纳法。
在高考考纲中就明确要求了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题。
数学归纳法是高中数学中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法，数学归纳法这一方法，贯通了高中数学的几大知识点：
不等式，数列，三角函数，平面几何等。
通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：
提高学生的逻辑思维、推理能力；培养学生辩证思维素质，全面提高学生数学能力；培养学生科学探索的创新精神，提高学生综合素质。
由于数学归纳法需要学生初步形成“观察一归纳一猜想一证明”的思维方法，不仅需要学生发现结论，而且还需要他们能够证明结论。
因此，让学生适当了解数学归纳法的产生历史，则可以使学生加深对这种方法的理解，从而更好的掌握这种方法。
来看看类比思想的例子。
高一立体几何中有这样一个问题：
“求证正四面体A一BCD内的任意一点P到各个面的距离之和等于常数。
”有很多高中学生觉得这道题很难。
其实我们只要运用类比的思想，将它与平面几何的一个问题:
“求证等边三角形内的任意一点P到三角形的三边的距离之和等于常数。
”进行类比，由于平面几何中的这个命题是采用“面积法”证明出来的，这个立体几何问题则可运用类似的方法采用“体积法”，于是问题可以马上得到解决的办法。
最后介绍数形结合的例子。
在北师大版教材小学数学四年级下册图形的规律中，教师引导学生通过观察图形找到数学规律，建立起与代数知识的联系，从而转化问题的解决策略，归纳出一类题型的解题方法。
通过这个典型例题学生不仅看到数形结合可以给解题带来捷径，而且可以发现运用图象显示的几何意义来解题，可以显示出数形结合的巨大威力；通过做此类问题，学生不仅能够得到观察能力与形数结合能力的培养，而且可以学会融会贯通的处理问题的能力，从而得到了思维品质的提升。
数形结合思想是数学历史留给我们的宝贵精神遗产，作为教师应该充分的将数形结合的这种思想运用到自己的课程教学中。
4.数学史促进教师提高课堂教学效果
首先，活跃课堂气氛，激发学生的求知欲和创造欲。
课堂教学中渗透一些相关的数学史知识，可以激发学生的好奇心，使学生更好地领会所学知识，调动学生学习的积极性。
其次，感受前人严谨态度，增强自我探索精神。
数学是人类文明的重要组成部分，是人类智慧的结晶，数学的历史像一条大河几乎贯穿了人类的整个文明史，它时而波涛汹涌，时而风平浪静。
数学今天的繁荣昌盛是千百年来无数数学先驱前仆后继，辛勤耕耘的结果。
数学先贤们的严谨态度值得我们学习，他们的献身精神值得我们景仰，他们的经验教训值得我们去借鉴，许多数学家孜孜不倦、锲而不舍地追求真理的精神值得我们去感动。
再次，了解祖国传统数学，培养学生爱国情怀。
数学是璀璨夺目的中国古代文化的重要组成部分，古代伟大的数学贡献不仅是当今进行爱国注意教育的绝佳材料，而且古代数学家实事求是，敢于坚持真理、勇于攀登高峰的高尚品德，也可以激励后人振兴中华，为实现中华民族伟大复兴而奋斗的自强精神。
举个例子，在讲质数这一内容的时候，由于质数过于抽象，学生不太好理解，积极性受到一定的挫折。
教师给他们讲起了“哥德巴赫猜想”———“每一个大于2的偶数都是两个素数的和”，历代数学家都试探过，但直到250多年后的今天，还没有人能完全证明这个猜想。
这时部分学生已经开始拿起纸笔“埋头苦干”了。
继续说道：
“如果把数学比作一个王国的话，数论就是国王头上的皇冠，而‘哥德巴赫猜想’就是这顶皇冠上最璀璨的明珠！
”当说完这句话的时候，学生的热情空前高涨，每个人都摩拳擦掌，跃跃欲试。
虽然最后谁也没能完全证明这个猜想是对的，但学生对质数的态度却有了明显的改观。
这样的教学,不仅学生留下了深刻的印象，又提高了教学效率。
再比如，在四年级上册的“数学广角”中，例2让学生学习“如何合理安排”。
在教学过程中，告诉学生这就是著名的“统筹方法”，它是我国著名数学家华罗庚提出的。
同学们恍然大悟。
一会儿有的学生疑惑：
华罗庚到底是怎样的一个人物？
于是讲述了华罗庚的故事：
华罗庚是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。
他在十八岁那年不幸罹患伤寒，卧床达半年之久，后来病虽痊愈，但左腿却残疾了。
左腿残疾后，走路时左腿要先画一个大圆圈，右腿再迈上一小步。
华罗庚幽默地戏称这是“圆与切线的运动”。
他的誓言是：
“我要用健全的头脑，代替不健全的双腿！
”学生们听完后无不惊叹！
再继续讲述，在数学史上，这样的的数学家还有许多，他们崇高的理想、顽强的意志、为真理献身的精神及高尚的道德情操，是我们应该继承的宝贵遗产。
还举个例子，当教完圆周率后，讲述这样的历史：
在2000年前，中国的古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法，意思是说圆的周长是直径的3倍；约1500年前，中国有一位伟大的数学家和天文学家祖冲之，他计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值的计算精确到7位小数的人。
他的这项伟大成就比国外数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年。
类似这样的例子在教学中讲一讲，能使学生深深感受到我国历史的悠久和古代人民的智慧，产生民族自豪感，更激起学生对数学的热爱。
5.小结
本文通过选取三个层面，阐释了数学史的教育价值：
促进学生理解数学知识本质，促进学生掌握数学思想方法，促进教师提高课堂教学效果。
我查阅了很多相关课题研究的资料，从中汲取到了许多有用的思想观点，以及大量的数学史例证。
本文阐述观点与列举例证结合，比较系统的研究了数学史的教育价值中的重要层面。
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