x=x+1'构造累乘的数据
f=f*x'累乘运算
Loop
Print"f=";f
EndSub
注意：
这里的n不能太大，否则会出现“溢出”错误。
因为累积器f的数据类型为整型，能存放的最大整数为32767，如果要计算的n较大时，可将f的数据类型改为长整型、单精度型或双精度型。
上例中，若问题是1+2+3+…+n，只需要将f初始值设为0，将f=f*x改为f=f+x。
以下同类题目与上例算法相同，对累加的数x进行适当变换，注意数据类型：
1.
（累加为：
f=f+1/x）或（将x变换为：
i=i+1：
x=1/i）
2.1-2+3-…-100（累加为：
f=f+x*（-1）^（n-1））
3.1！
+2！
+3！
+...+n!
（增加累加运算的语句s=s+f）
4.
（累加为：
f=f+1/（x*（x+1））
5.a+aa+aaa+…+aa…aa（累加：
f=f+x^n）或（将x变换为:
x=x*x）
n个a
6.用
公式求π的近似值，直到最后一项的绝对值小于10-6为止（结合1,2两个问题，构造运算表达式，主要循环控制条件）
对累加和累乘的题目，总结如下：
（1）用一个或若干个表达式（x=x+1）运算产生要累乘或累加的每一项；
（2）用一个表达式，如f=f*x（f=f+x），将产生的项累加或累乘起来。
（3）依据题目命题，结合前面两项，构造合适的循环语句和条件。
通过本节分析举例，对同类问题可以达到举一反三的效果。
5.2.2计数与统计
若求解问题的结果是计数或统计，通过分析后，其本质是计数（简单累加：
n=n+1）、统计（分类计数、累加s=s+x或求均值p=s/n等）。
程序设计的基本思路是：
首先，确定每次计数或统计的处理对象是什么；其次，这些对象进行处理（统计或计数）依据是什么，有哪些处理条件；再次，将处理过程其表示成有规律的形式，构造统计或计数运算的表达式，形成每次重复操作的内容（循环体）；最后，确定实现重复运算的控制方法（循环控制）。
例5-2从键盘上输入若干个数，求其平均值。
分析：
求若干个数的平均值，需要对数据累加求和，并对累加数据进行计数，让后计算得到平均值，问题的本质是累加（s=s+x），计数（n=n+1）。
基本思路和求解基本方法：
（1）设统计的数为x，通过键盘输入；
（2）处理要求是对每个数据x需要进行累加，同时进行计数；
（3）处理过程可以表示为（s=s+x：
n=n+1）；
（4）确定控制循环执行的条件。
由于要进行累加与统计数据个数，需要设置两个变量sum、n，可以分别称它们为累加器变量sum和计数器变量n，与上题不同的是累加器变量中累加的是从键盘输入的数据。
它们的初值一般为0。
对于不固定个数的数求和，其累加、计数的次数也不固定，应采用Do循环。
为了使循环能够结束，需设定一个结束标志，本题可设置-9999（结束标志应选择远离有效数据为宜）做结束标志。
代码如下：
PrivateSubCommand1_Click（）
Dimsum!
n%,x!
aver!
sum=0'累加器初值置0
n=0'计数器初值置0
x=Val（InputBox（"请输入：
"））'输入第1个数
DoWhilex<>-9999
sum=sum+x
n=n+1
x=Val（InputBox（"请输入：
"））'输入下1个数
Loop
aver=sum/n
MsgBox"共输入"&n&"个数，平均值为：
"&aver
EndSub
从分析可以看出循环体外的InputBox（），用来输入求和的第1个数，目的是为进入循环；循环体内InputBox（）函数用来输入除第1个数以外的其他数及结束标志-9999，目的是维持循环并最后能够结束循环。
如果在本题中第1次输入数据时就输入-9999，会出现错误，请读者思考出错的原因？
如果将程序修改成：
Dimsum!
n%,x!
aver!
sum=0
n=0
DoWhilex<>-9999
x=Val（InputBox（"请输入：
"））
sum=sum+x
n=n+1
Loop
aver=sum/n
MsgBox"这些数的平均值为：
"&aver
程序又会出现什么问题呢？
请大家试一试。
本例学习的重点：
在循环次数未知的情况下使用输入循环标志结束循环的方法。
例5-3输入多名学生的一门课程的考试成绩（假设为整数），统计各分数段学生人数。
在计算机数据处理中，如果需要多个计数器，可以考虑使用一维数组，利用数组元素充当计数器进行多项计数.
分析：
学生人数无法预先知道，因此应采用动态数组存储学生成绩，输入数据时采用文本框输入，便于数据的编辑。
本例是要统计各分数段（11段）的人数，所以要使用的计数器变量不止一个（11个），可以考虑用一维数组的数组元素作为计数器，通过巧妙的使用进行计数和批量处理。
“统计”按钮用于将录入的数据保存在一维数组中，并完成统计处理和结果输出。
程序运行界面如图5-2。
PrivateSubCommand1_Click（）
Dima$（）
Dimx（0To10）AsInteger
'数组元素充当计数器，保存统计结果
a=Split（Text1,","）
Fori=0ToUBound（a）
If（a（i）<=100Anda（i）>0）Then
k=a（i）\10
x（k）=x（k）+1
EndIf
Nexti
Print"统计结果如下：
"
Print"100分的有：
"&x（10）&"人"
Fori=9To0Step-1
Printi*10&"分-";i*10+9&"分有：
"&x（i）&"人"
Nexti
EndSub
PrivateSubCommand2_Click（）
End
EndSub
请反复录入数据试运行程序，体会成绩分段统计技巧。
例5-4输入一串字符，统计各字母出现的次数（不区分大小写），并输出统计结果，如图5-3。
分析：
统计26个字母出现的次数，需要26个计数器，可以声明一个具有26个元素的一维数组。
算法如下：
（1）用取子串函数Mid（Text1,i,1）从Text1中取出每一个字符，并转换成大写字母；
（2）将A～Z之间的大写字母用Asc（）函数转换成ASCII码值，再根据ASCII码值为相应的数组元素计数。
代码如下：
PrivateSubCommand1_Click（）
Dima%（65To90）,cAsString*1
le=Len（Text1）
Fori=1Tole
c=UCase（Mid（Text1,i,1））'分离出的字母转换成大写字母，方便统计
Ifc>="A"Andc<="Z"Then
j=Asc（c）
a（j）=a（j）+1
EndIf
Nexti
Forj=65To90'输出字母及其出现的次数
Ifa（j）>0ThenPicture1.Print"";Chr（j）;"=";a（j）;"";
Nextj
EndSub
5.2.3计算定积分
例5-5求
求一个函数f（x）在[a,b]上的定积分
，其几何意义是求f（x）曲线和直线x=a,y=0,x=b所围成的曲边图形的面积，如图5-4所示。
问题分析：
为了近似求出此面积，可将[a,b]区间分成若干个小区间，每个区间的宽度为h=（b-a）/n，n为区间个数。
近似求出每个小的曲边图形的面积，然后将n个小面积加起来，就近似求得总面积。
即定积分的近似值，当n愈大，近似程度愈高。
近似求出小曲边图形面积的方法，常用的有以下三种：
①用小矩形代替小曲边图形，求出各小矩形的面积，然后累加。
②用小梯形代替小曲边图形
③在小区间范围内，用一条直线代替该区间内的抛物线，然后求出该直线与x=a+（i-1）h，y=0，x=a+ih形成的小曲边图形面积
（1）矩形法求面积
矩形法求积分值是将积分区间[a,b]n等分，小区间的宽度为
，第i块小矩形的面积是：
。
程序设计的基本思路：
（1）设置区间[a,b],确定区间等分n的值，计算区间宽度h，
（2）第1个区间矩形坐标为x，则x=a，其对应的函数值f（x）为矩形的一边长度；
（3）计算区间矩形的长度f（x），则区间矩形面积为si=f（x）*h；
（4）进行一个矩形面积累加：
s=s+si；
（5）在前一x的基础上，得到下一矩形坐标x=x+h；
（6）通过
（2）,（3）,（4），实现一个矩形面积计算和累加，通过n次累加，得到积分值。
程序流程图如图5-5所示，代码如下：
PrivateSubCommand1_Click（）
Dims!
si!
h!
x!
a!
b!
n%
a=0:
b=1'设置区间
n=100'设置区间等分数
h=（b-a）/n'计算宽度为h
x=a'设置第1个区间矩形坐标
s=0
Fori=1Ton
si=Sin（x）*h'计算矩形面积
s=s+si'面积累加
x=x+h'生成下一个x
Nexti
Print"用矩形法求得的定积分为：
";s
EndSub
（2）梯形法求面积
梯形法积分的思路是：
将积分区间[a,b]n等分，小区间的长度为
，第i块小梯形的面积是：
方法1：
PrivateSubCommand2_Click（）
Dims!
si!
h!
a!
b!
n%
a=0:
b=1:
n=100
h=（b-a）/n
s=0
Fori=1Ton
si=（Sin（（i-1）*h）+Sin（i*h））*h/2
s=s+si
Nexti
Print"用梯形法1求得的定积分为：
";s
EndSub
方法2：
对于梯形法来说，上一个小梯形的下底就是下一个梯形的上底，因此，把求面积的分析转化为求小区间端点函数值的问题，计算公式如下：
PrivateSubCommand3_Click（）
Dims!
si!
h!
x!
a!
b!
n%
a=0:
b=1:
n=100
h=（b-a）/n
s=（Sin（a）+Sin（b））/2
Fori=1Ton-1
x=a+i*h
s=s+Sin（x）
Nexti
si=s*h
Print"用梯形法2求得的定积分为：
";si
EndSub
此问题参加运算的数据先通过多个步骤运算处理获得，然后进行面积累加计算。
因此，求定积分的值算法在本质上累加问题模型，只是运算步骤和过程较多而已。
5.3穷举法求解问题
穷举法也叫枚举法或列举法，基本思想是根据提出的问题，列举出所有的可能情况，并依据问题中给定的条件检验哪些情况是想要的（符合要求的），并将符合要求的情况输出。
这种方法常用于解决“是否存在”或“有多少种可能”等类型的问题。
如判断质数、不定方程求解等。
5.3.1最大公约数与最小公倍数
例5-6给定任意两个整数m和n，求最大公约数和最小公倍数。
分析：
若两个整数为m和n，假设m>n，设x为最小公倍数，则可能为最小公倍数x的取值范围为[m，m*n]，可用穷举法的办法求解。
基本思路：
（1）列举出可能是m、n最小公倍数x的情况，则x的取值情况为[m，m*n]；
（2）依据公倍数的定义，判断x的每个取值否满足条件：
x能同时被m和n整除；
（3）若能整除，x取值为最小公倍数，求解结束；
（4）通过循环操作实现穷举每个x取值情况；
基本算法是：
（1）对x从m开始的每一个可能的取值，判断能否同时被m、n整除（即是否是公倍数）；
（2）若是，x必定是m和n的最小的公倍数，程序运行结束；
（3）如果不是，则判断下一个x；
（4）依次类推，直到x的取值为m*n为止。
最大公约数算法与最小公倍数类似，设y为最大公约数，y的范围是[1，n]，程序实现时，y的取值从n开始，判断过程与求最小公倍数类似，流程图如图5-6所示，代码如下：
PrivateSubCommand1_Click（）
Dimm%,n%
m=Val（InputBox（"请输入第1个数m：
"））
n=Val（InputBox（"请输入第2个数n：
"））
Ifmm=n:
n=t'满足m>n
Forx=mTom*n'最小公倍数，x[m,m*n]
IfxModm=0AndxModn=0Then
Print"最小公倍数为：
";x
ExitFor'结束循环
EndIf
Nextx
Fory=nTo1Step-1'y取值范围为n～1
IfmMody=0AndnMody=0Then
Print"最大公约数为：
";y
ExitFor'结束循环
EndIf
Nexty
EndSub
这种方法效率较低，求最大公约数可采用经典的“辗转相除法”，并在求出最大公约数后，最小公倍数就等于两个原数的乘积除以最大公约数。
算法描述如下：
（1）将m除以n得余数r；
（2）若r=0，则n为求得的最大公约数，循环结束；若r≠0，则执行（3）；
（3）将n赋给m，将r赋给n，再重执行
（1）、
（2）步。
代码如下：
PrivateSubCommand1_Click（）
Dimm%,n%,r%
m=Val（InputBox（"请输入第1个数m：
"））
n=Val（InputBox（"请输入第2个数n：
"））
mn=m*n
r=mModn
DoWhiler<>0
m=n
n=r
r=mModn
Loop
MsgBox"两个数的最大公约数为"&n&"，最小公倍数为"&mn/n
EndSub
本例因为在循环过程中由于改变了m、n的值，所以先将m*n的值放入变量mn中。
读者可以比较一下两种算法的循环次数。
穷举法是基于计算机特点而进行解题的思维方法，一般是根据问题中的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，从而得到问题的解。
穷举法一般解题模式为：
（1）问题解的可能搜索的范围：
用循环或循环嵌套结构实现；此问题用计算机进行求解时一般使用穷举验证的方法进行。
（2）写出符合问题解的条件；
（3）能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。
5.3.2质数
质数也叫素数，是指只能被1和它本身整除的自然数。
最小的质数是2。
例5-7从键盘输入一个数m，判断是否为质数。
分析：
判断一个数m是否为质数的方法很多，最基本的是从质数的定义来求解，设x为可能整除m的数，则x取值范围为[2，m-1]，可用穷举法求解。
基本思路：
（1）列举出可能整除m的数x的情况，则x取值情况为[2，m-1]；
（2）判断x的每个取值情况：
x是否能整除m；
（3）若能整除，则m不是质数，不再进行判断；
（4）若不能能整除，则需要进行下一个x判断；
（5）通过循环操作实现穷举每个x取值情况。
（6）结果判读，在循环处理过程中，若都不能整除m，则m为素数，只要其中有一个数能整除m，则m就不是质数。
基本算法：
（1）输入m，设置标志flag=True，默认m为质数；
（2）x从2开始取值，判断x能否整除m；
（3）若整除，则m不是质数，设置标志位false，结束判断；
（4）若不整除，则判断下一个x，即x=x+1；
（5）依次类推，直到x的取值为m-1为止。
（6）依据flag标志，若flag为True，则m为质数，否则m不是质数。
流程图如图5-7所示，程序代码如下：
PrivateSubCommand1_Click（）
Dimm%,i%,flagAsBoolean
m=Val（InputBox（"请输入要判断的整数m"））
flag=True'先假设m是质数数
For
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