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3121
1.2
空间几何体的三视图和直观图
1.2.1&1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
随着我国国际地位的不断提升,中国文化越来越受到关注.2011年10月4日,秘鲁举办了“美的享受·第12届中国电影节”,以纪念华人达秘鲁162周年.
电影的播放实质是利用了小孔成像原理,而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后留下的影像.
放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件.
问题1:
放电影成像与太阳光成像原理一样吗?
提示:
不一样.
问题2:
电影成像中的光线有何特点?
提示:
光是由一点向外散射.
问题3:
太阳光照人成影像的光线又有何特点?
提示:
一束平行光线.
1.投影的定义
由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中,把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面.
2.中心投影与平行投影
投影
定义
特征
分类
中心投影
光由一点向外散射形成的投影
投影线交于一点
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影
投影线互相平行
正投影和斜投影
如梦似幻!
——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象.同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样,“水立方”成了游客在北京的必到之地.
问题1:
水立方的外观形状是什么?
提示:
长方体.
问题2:
假如你站在水立方入口处的正前方或在水立方的左侧看水立方,你看到的是什么?
提示:
水立方的一个侧面.
问题3:
若你在水立方的正上方观察水立方看到什么?
提示:
水立方的一个表面.
问题4:
根据上述三个方向观察到的平面,能否画出水立方的形状?
提示:
可以.
三视图
概念
规律
正视图
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图
一个几何体的正视图和侧视图高度一样,正视图和俯视图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样
侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图
1.平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法,但二者又有区别
(1)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.
(2)平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.
2.每个视图都反映物体两个方向上的尺寸.正视图反映物体的上下和左右尺寸,俯视图反映物体的前后和左右尺寸,侧视图反映物体的前后和上下尺寸.
3.画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,看不见的轮廓线和棱用虚线表示.
[例1] 如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AA1,C1D1的中点,G是正方形BCC1B1的中心,则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________.
[思路点拨] 由平行投影的定义知投影线垂直于投影面,故确定四边形AGFE的四顶点在各个投影面的位置,把各投影点连线即可.
[精解详析]
(1)四边形AGFE在下底面ABCD的投影中,AE重合为点A,F为CD中点,G为BC中点,故在下底面的投影为:
,即为a图,在上底面的投影与a图相同.
(2)四边形AGFE在正面ABB1A1的投影中,F点为A1B1中点,G为B1B中点,图形为
,即为c图,其在面DCC1D1内的投影与c图相同.
(3)四边形AGFE在侧面ADD1A1的投影中,F点与D1重合,G点在正方形ADD1A1的中心处即在AD1中点上,图形为
,即是b图,其在另一侧面BCC1B1内的投影与b图相同.
[答案] abc
[一点通] 画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影.
1.以下关于投影的叙述不正确的是( )
A.手影就是一种投影
B.中心投影的投影线相交于点光源
C.斜投影的投影线不平行
D.正投影的投影线和投影面垂直
解析:
平行投影的投影线互相平行,分为正投影和斜投影两种,故C错.
答案:
C
2.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是BB1、BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为( )
解析:
N在面ADD1A1内的投影是AD中点,M在面ADD1A1内的投影是AA1中点.
答案:
A
[例2] 画出如右图所示的四棱锥的三视图.
[思路点拨] 画图时,要注意做到“长对正、高平齐、宽相等”.
[精解详析] 几何体的三视图如下:
[一点通] 画三视图的注意事项
(1)务必做到长对正,宽相等,高平齐.
(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置,且正视图在左,侧视图在右,俯视图在正视图的正下方.
(3)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.
3.观察下图所示的几何体:
该几何体的正视图为________;侧视图为________;俯视图为________.
解析:
(1)为正视图,
(2)为俯视图,(3)为侧视图.
答案:
(1) (3)
(2)
4.画出下图所示几何体的三视图.
解:
该几何体为三棱柱,三视图如下:
5.(2011·江西高考)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )
解析:
根据正投影的性质,并结合侧视图要求及如图所示,AB的正投影为A′B′,BC的正投影为B′C′,BD′的正投影为B′D′,综上可知侧视图为选项D.
答案:
D
[例3] (10分)根据图中的物体的三视图,画出物体的形状.
(1)
(2)
[思路点拨] 由三视图还原空间几何体主要考查学生的空间想象能力.要注意结合三种视图间的关系推测几何体的形状,再利用三种视图加以验证.
[精解详析]
(1)由三视图可知,下面为棱柱、上方为正方体故表示物体的实物图形如图.
(6分)
(2)由三视图可知,上面为半球,下面为三棱柱,如图
(10分)
[一点通] 由三视图还原几何体时,一般先由俯视图确定底面,由正视图与侧视图确定几何体的高及位置,同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状.
6.(2011·浙江高中数学会考)若右图是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
A.圆柱 B.圆台
C.圆锥D.棱台
解析:
由三种视图可分析,该几何体为圆台.
答案:
B
7.根据如图所示的俯视图,找出对应的物体.
(1)对应________;
(2)对应________;
(3)对应________;(4)对应________;
(5)对应________.
解析:
(1)对应D.
(2)对应A. (3)对应E. (4)对应C. (5)对应B.
答案:
D A E C B
1.对于同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.
2.对于画简单组合体的三视图,要先弄清由哪几个基本几何体组合而成,并注意它们的组成方式,特别是它们的交线位置.
3.对于还原组合体,需要综合主视图、左视图、俯视图的特征,确定分界线,找出组成组合体的简单几何体,再将组合体还原,其中确定分界线是正确还原的关键.
1.如图所示物体的三视图是( )
解析:
俯视图应为两个实线同心圆.
答案:
C
2.如图,几何体的正视图和侧视图都正确的是( )
解析:
侧视时,看到一个矩形且不能有实对角线,故A、D排除,而正视时,有半个平面是没有的,所以应该有一条实对角线,且其对角线位置应为B中所示.
答案:
B
3.(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为( )
解析:
由题目所给的几何体的正视图和俯视图,可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体,如图所示.
由图可知侧视图为等腰三角形,且轮廓线为实线.
答案:
D
4.如图所示,在这4个几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
A.①② B.①③
C.①④D.②④
解析:
①正方体的正视图、侧视图、俯视图都是正方形;
②圆锥的正视图、侧视图、俯视图依次为:
三角形、三角形、圆及圆心;
③三棱台的正视图、侧视图、俯视图依次为:
梯形、梯形(两梯形不同)、三角形(内外两个三角形,且对应顶点相连);
④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图依次为:
三角形、三角形、正方形及中心.
答案:
D
5.下图中三视图所表示几何体的名称为________.
解析:
由三视图可知,该几何体为圆柱,且圆柱的底面在正前面.
答案:
圆柱
6.(2011·广州测试)如图所示,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号).
解析:
在下底面ABCD上的投影为③,在右侧面B′BCC′上的投影为②,在后侧面D′DCC′上的投影为①.
答案:
①②③
7.说出图中的三视图表示的几何体,并画出它的示意图.
解:
三视图表示的几何体是上面一个六棱柱与下面一个六棱锥的组合体.如右图所示.
8.如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的.
(1)判断该几何体是否为棱柱;
(2)画出它的三视图.
解:
(1)是棱柱.因为该几何体的前、后两个面互相平行,其余各面都是矩形,而且相邻矩形的公共边都互相平行.
(2)该几何体的三视图如图: