初三521矩形知识点经典例题及练习题带答案.docx
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初三521矩形知识点经典例题及练习题带答案
环球雅思教育学科教师讲义
讲义编号：
______________副校长/组长签字：
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课题
授课日期及时段
教学目的
重难点
【考纲说明】
1、掌握矩形的性质及判定定理，能正确的识别并判定矩形；
2、能根据数形结合思想解决矩形有关问题。
【趣味链接】
一块矩形的巧克力，初始时由N×M个小块组成。
每一次你只能把一块巧克力掰成两个小矩形，最少需要几次才能把它们掰成N×M块1×1的小巧克力？
【知识梳理】
一、平行四边形
1、定义：
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示：
平行四边形用符号“□”来表示。
2、平行四边形性质：
（1）角：
平行四边形的邻角互补，对角相等；
（2）边：
平行四边形两组对边分别平行且相等；
（3）对角线：
平行四边形的对角线互相平分；
（4）对称性：
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；
（5）面积:
等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。
平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．
3、平行四边形的判定：
1定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2方法1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3方法2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4方法3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤方法4：
一组平行且相等的四边形是平行四边形
若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。
二、矩形
1、定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形
2、矩形的性质：
（1）边：
对边平行且相等；
（2）角：
对角相等、邻角互补；（3）对角线：
对角线互相平分且相等；（4）对称性：
既是轴对称图形又是中心对称图形．（5）面积：
设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．
特别提示：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；矩形具有平行四边形的一切性质。
3、矩形的判定方法
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形；（4）四个角都相等
4、识别矩形的常用方法
（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．
（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．（3）说明四边形ABCD的三个角是直角．
【经典例题】
【例1】（2013陕西）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC是，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则
等于（）
A．
B．
C．
D．
【例2】（2013济宁）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（ ）
A.cm2B.cm2C.
cm2D.
cm2
【例3】（2013•天津）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（ ）
A．
矩形
B．
菱形
C．
正方形
D．
梯形
【例4】（2013四川南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=°，则矩形ABCD的面积是（）
A.12B.24C.12
D.16
【例5】（2013•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．
S1＞S2
B．
S1=S2
C．
S1＜S2
D．
3S1=2S2
【例6】（2013•遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm．
【例7】（2013•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若
=
，则
= 用含k的代数式表示）．
【例8】（2013聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：
AE=CE．
【例9】（2013•遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：
CM=CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：
1，求
的值．
【例10】（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：
△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
【课堂练习】
1、（2013•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：
AC=3：
5，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2、（2013台湾、20）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为何？
（ ）
A．20B．35C．40D．55
3、（2013•湘西州）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
4、（2013达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。
设AE=x，则x的取值范围是 .
5、（2013•白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？
并说明理由．
【课后作业】
1、（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．
8
B．
6
C．
4
D．
2
2、（2013年河北）如已知：
线段AB，BC，∠ABC=90°.求作：
矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
3、（13年北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为__________
4、（2013年江西省）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2
，BC=2
，则图中阴影部分的面积为．
5、（2013•资阳）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．
6、（2013•宁夏）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；
求证：
DF=DC．
7、（2013杭州）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？
请写出一条．
8、（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：
OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？
并说明理由．
【课后反馈】
本次______________同学课堂状态：
_________________________________________________________________
本次课后作业：
___________________________________________________________________________________
需要家长协助：
____________________________________________________________________________________
家长意见：
________________________________________________________________________________________
【参考答案】
【经典例题】
1-5、CBADB6、97、
8、证明：
如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中，
，∴△BCF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE．
9、
（1）证明：
由折叠的性质可得：
∠ANM=∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；
（2）解：
过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：
1，∴
=
=
=3，∴MC=3ND=3HC，∴MH=2HC，
设DN=x，则HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC=
=2
x，∴HN=2
x，
在Rt△MNH中，MN=
=2
x，∴
=
=2
．
10、
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，AB∥CD．∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由
（1）可知△AOE≌△COF，∴OE=OF，
∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，∴四边形AECF是矩形．
【课堂练习】
1、A2、B3、
4、2≤x≤6
5、解：
（1）BD=CD．
理由如下：
∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，
∵AF=BD，∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：
AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：
∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．
【课后作业】
1、C2、A3、204、2
5、5
6、证明：
连接DE．
∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE．
∵有矩形ABCD，∴AD∥BC，∠C=90°．∴∠ADE=∠DEC，∴∠DEC=∠AED．
又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°．∵DE=DE，∴△DFE≌△DCE．∴DF=DC．
7、如图所示：
发现：
DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等．
8、
（1）证明：
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，4=∠6，
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；
（2）解：
∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，∴EF=
=13，∴OC=EF=6.5；
（3）答：
当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：
当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
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