弹塑性力学-06.ppt
《弹塑性力学-06.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《弹塑性力学-06.ppt(75页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
1,应用弹塑性力学,2,第六章弹塑性平面问题,平面基本方程应力函数平面问题直角坐标解-例题用极坐标解平面问题厚壁筒弹塑性解半无限大平面体问题圆孔孔边应力集中,第六章弹塑性平面问题,3,平面基本方程,第六章弹塑性平面问题,在第五章中介绍了求解弹性力学问题的两种基本解法,现在讨论平面问题相应的公式,并分别给出平面应力和平面应变两种情况的应力法基本方程和解法示例。
平面应力问题,平衡方程为,边界条件为,4,第六章弹塑性平面问题,弹性本构方程,应变协调方程为,在应力法中要把应变协调方程改为用应力分量表示,若不计体力或体力为常数,5,第六章弹塑性平面问题,平面应变问题,若不计体力或体力为常数,结论:
注意到相容方程,平衡方程和应力边界条件中都不包含有弹性常数,在单连体的应力边界问题中,如果两个弹性体具有相同的边界形状,并受到同样分布的外力,那么,不管这两个弹性体的材料是否相同,也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下,应力分量、的分布是相同的(两种平面问题中的应力分量,以及形变和位移,却不一定相同)。
6,推论2,在用实验方法测量结构或构件的上述应力分量时,可以用便于量测的材料来制造模型,以代替原来不便于量测的结构或构件材料;还可以用平面应力情况下的薄板模型,来代替平面应变情况下的长柱形的结构或构件。
第六章弹塑性平面问题,7,应力函数,一、应力函数,按应力求解应力边界问题时,在体力为常量的情况下,应力分量、在区域内应当满足平衡微分方程:
(a),方程(a)的解包含两部分:
任意一个特解和下列齐次微分方程的通解。
第六章弹塑性平面问题,8,特解取为:
(c),(d),(a),第六章弹塑性平面问题,9,将齐次微分方程(c)中前一个方程改写为:
根据微分方程理论,一定存在某一个函数,使得:
第六章弹塑性平面问题,10,同样将(c)中的第二个方程改写为:
也一定存在某一个函数,使得:
由式(f)及(h)得:
因而一定存在某一个函数,使得:
第六章弹塑性平面问题,11,将式(i)代入(e),式(j)代入(g),并将式(i)代入(f),即得通解:
(k),将通解(k)与特解(d)叠加,即得微分方程(a)的全解:
函数称为平面问题的应力函数,也称为艾瑞应力函数。
(1),为了应力分量
(1)同时也能满足相容方程(b),将
(1)代入式(b),即得:
上式可简化为:
第六章弹塑性平面问题,12,或者展开为:
进一步简写为:
(2),二、逆解法与半逆解法,逆解法:
先设定各种形式的、满足相容方程
(2)的应力函数,用公式
(1)求出应力分量,然后根据应力边界条件来考察,在各种边界形状的弹性体上,这些应力分量对应于什么样的面力,从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。
按应力求解应力边界问题时,如果体力是常量,就只须由微分方程
(2)求解应力函数,然后用公式
(1)求出应力分量,但这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件。
逆解法基本步骤:
第六章弹塑性平面问题,13,半逆解法:
针对所要求解的问题,根据弹性体的边界形状和受力情况,假设部分或全部应力分量为某种形式的函数,从而推出应力函数,然后来考察,这个应力函数是否满足相容方程,以及,原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量,是否满足应力边界条件和位移单值条件。
如果相容方程和各方面的条件都能满足,自然就得出正确的解答;如果某一方面不能满足,就要另作假设,重新考察。
半逆解法基本步骤:
第六章弹塑性平面问题,14,应力函数取一次多项式,应力分量:
应力边界条件:
结论:
(1)线性应力函数对应于无面力、无应力的状态。
(2)把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数,并不影响应力。
平面问题直角坐标解-例题,第六章弹塑性平面问题,15,3.应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力(设)或均布压力(设)的问题。
如图3-1(c)。
应力函数取三次式,对应的应力分量:
(a),结论:
应力函数能解决矩形梁受纯弯曲的问题。
如图所示的矩形梁。
对应的边界条件如右图所示,第六章弹塑性平面问题,16,应力函数取三次式,对应的应力分量:
(a),结论:
能解决矩形梁受纯弯曲的问题。
如图所示的矩形梁。
注意,图中每单位宽度上的力偶矩为M量纲为mT-2,第六章弹塑性平面问题,17,现在考察这些应力分量能否满足边界条件,左右次要边界条件没有得到精确满足根据圣维南原理,在次要边界上,积分边界条件得到满足即可,第六章弹塑性平面问题,18,因此,这就是梁受纯弯曲时的应力分量,但是组成梁端面力的力偶矩必须是图所示的直线分布,解答才是精确的,如果面力按照其它方式分布,解答在端部是不准确的,离开梁端较远的地方,误差可以忽略不计。
第六章弹塑性平面问题,19,特别注意:
对于长度远大于深度的梁,上面答案是有实用价值的;对于长度与深度同等大小的所谓深梁,这个解答是没有什么实用意义的。
第六章弹塑性平面问题,20,位移分量的求出,以矩形梁的纯弯曲问题为例,说明如何由应力分量求出位移分量。
一、平面应力的情况,将应力分量代入物理方程,第六章弹塑性平面问题,21,得形变分量:
(a),再将式(a)代入几何方程:
得:
前二式积分得:
(b),(c),其中的和是任意函数。
将式(c)代入(b)中的第三式,第六章弹塑性平面问题,22,得:
等式左边只是的函数,而等式右边只是的函数。
因此,只可能两边都等于同一常数。
于是有:
积分以后得:
代入式(c),得位移分量:
其中的任意常数、须由约束条件求得。
(d),第六章弹塑性平面问题,23,
(一)简支梁,梁轴的挠度方程:
第六章弹塑性平面问题,24,
(二)悬臂梁,第六章弹塑性平面问题,25,二、平面应变的情况,只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的换为,换为即可。
第六章弹塑性平面问题,26,简支梁受均布载荷,设有矩形截面的简支梁,深度为,长度为,受均布载荷,体力不计,由两端的反力维持平衡。
如图所示。
取单位宽度的梁来考虑,可视为平面应力问题。
用半逆解法。
假设只是的函数,挤压应力主要由竖直方向直接载荷引起的,而直接载荷不随横坐标改变而改变,因此只是y的函数,即,则:
对积分,得:
解之,得:
(a),(b),其中,、是任意函数,即待定函数。
注意:
可以略去常数项,可以略去一次项,第六章弹塑性平面问题,27,现在考察,上述应力函数是否满足相容方程。
为此,对求四阶导数:
将以上结果代入相容方程,得:
第六章弹塑性平面问题,28,前面两个方程要求:
(c),(b),第六章弹塑性平面问题,29,这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。
如果要使全部应力边界条件都满足,除非常数、等于特定值,这样以上应力分量才是正确的解答。
第六章弹塑性平面问题,30,因为面是梁和荷载的对称面,所以应力分布应当对称于yz面。
这样,和应当是的偶函数,而应当是的奇函数。
于是由式(f)和(h)可见:
(一)考察上下两边的边界条件,将上式代入应力分量表达式,三个应力分量变为:
上式中共有六个待定常数,利用应力边界条件求出。
(i),第六章弹塑性平面问题,31,整理,得:
由于这四个方程是独立的,互不矛盾的,而且只包含四个未知数,所以联立求解,得:
第六章弹塑性平面问题,32,
(二)考察左右两边的边界条件,由于对称性,只需考虑其中的一边。
考虑右边:
第六章弹塑性平面问题,33,将式(l)代入,上式成为:
第六章弹塑性平面问题,34,式(q)可以改写为:
各应力分量沿铅直方向的变化大致如图所示。
在的表达式中,第一项是主要项,和材料力学中的解答相同,第二项是弹性力学提出的修正项。
对于通常的浅梁,修正项很小,可以不计。
对于较深的梁,则需注意修正项。
的最大绝对值是,发生在梁顶。
在材料力学中,一般不考虑这个应力分量。
和材料力学里完全一样。
第六章弹塑性平面问题,35,楔形体受重力和液体压力,问题:
设有楔形体,如图所示,左面铅直,右面与铅直面成角,下端无限长,承受重力及液体压力,楔形体的密度为,液体的密度为,试求应力分量。
第六章弹塑性平面问题,36,采用半逆解法,首先用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式,在楔形体的任意一点,应力分量都将有两部分组成,一部分由重力引起,应当与成正比,第二部分由液体压力引起,应当与成正比,由于应力的量纲是,和的量纲是,如果应力分量具有多项式解答,那么,它的表达式只可能是四项的组合,也就是说应力分量的表达式可能是纯一次多项式.其次,应力函数比应力分量的长度量纲高二次,应力函数应该是纯三次多项式。
因此,假设,不论应力函数的系数怎么取,纯三次多形式的应力函数总能满足相容方程,第六章弹塑性平面问题,37,体力分量,应力分量的表达式为,这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。
第六章弹塑性平面问题,38,代入应力表达式,得,应力表达式简化为,第六章弹塑性平面问题,39,右边是斜边,它的边界线方程是,在斜边上没有面力,将系数代入,得到应力表达式:
第六章弹塑性平面问题,40,各应力分量沿水平方向的变化大致如图所示。
第六章弹塑性平面问题,41,极坐标中的平衡微分方程,极坐标中几何方程,用极坐标解平面问题,第六章弹塑性平面问题,42,平面应变情况:
将上式中的换为,换为。
极坐标中的物理方程,平面应力情况:
第六章弹塑性平面问题,43,应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为:
第六章弹塑性平面问题,44,应力分量,第六章弹塑性平面问题,45,第六章弹塑性平面问题,46,对于平面应变问题,须将上面公式换为,换为。
第六章弹塑性平面问题,47,如图,圆环的内半径为a,外半径为b,受内压力qa,外压力qb。
为轴对称问题。
根据上节有解为:
图,一、圆环或圆筒受均布压力,厚壁筒弹塑性解,第六章弹塑性平面问题,48,图,边界条件为:
第六章弹塑性平面问题,49,在这里只有两个方程,而有三个待定常数,需要从多连体的位移单值条件补充一个方程。
在环向位移表达式:
这样从上面两个方程中可解出A和C,代入应力分量表达式,得到拉密解答:
于是:
中,第一项是多值的,在同一r处,=1和=1+2时,环向位移相差,这是不可能的,因此,从位移单值条件必须有B=0。
第六章弹塑性平面问题,50,下面分别讨论内压力和外压力单独作用的情况。
(1)只作用均匀内压时(),例如液压缸,上面解答化为:
第六章弹塑性平面问题,51,应力分布大致如图所示。
当时,得到具有圆孔的无限大薄板,或具有圆形孔道的无限大弹性体,这时上面的解答成为:
(2)只有外压时(),例如液压柱塞,上面解答化为:
应力分布大致如图所示。
第六章弹塑性平面问题,52,二、压力隧洞,如图所示,受均匀内压力作用的圆筒埋在无限大弹性体中,圆筒和无限大弹性体的材料不同。
试分别讨论两者的应力和位移情况。
两者都属于轴对称应力问题,采用半逆解法。
设圆筒的应力表达式为:
第六章弹塑性平面问题,53,设无限大弹性体的应力表达式为:
由应力边界条件求待定常数、。
(1)在圆筒的内表面:
由此得:
(2)在无限大弹性体内距离圆筒很远处几乎没有应力。
由此得:
(3)在圆筒和无限大弹性体的接触面上,应当有:
(1),
(2),第六章弹塑性平面问题,54,由此得:
圆筒:
无限大弹性体:
将以上两式简化后得:
(3),第六章弹塑性平面问题,55,在接触面上,两者应具有相同的位移,即:
因此有:
因为这一方程在接触面上的任意一点都应当成立,也就是在取任何数值时都应当成立,所以方程两边的自由项必须相等。
于是有:
简化后,得:
其中:
(4),第六章弹塑性平面问题,56,联立方程
(1)、
(2)、(3)、(4)求出、,代入应力分量的表达式,得:
当时,应力分布大致如图所示。
第六章弹塑性平面问题,57,完全接触,非完全接触和摩擦接触三种形式,第六章弹塑性平面问题,58,图,楔形体的中心角为,下端为无限长。
顶部受集中力P设楔形体在楔顶受有集中力,与楔形体的中心线成角。
取单位宽度的部分来考虑,并令单位宽度上所受的力为。
楔形体内一点的应力分量决定