平面附答案.docx

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平面附答案

平　面

[学习目标]　1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1、公理2、公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系.

知识点一　平面的概念

1.几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.

2.平面的画法

（1）水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.

3.平面的表示法

图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.

思考　一个平面能把空间分成几部分？

答　因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分.

知识点二　点、线、面之间的关系

1.直线在平面内的概念：

如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.

2.一些文字语言与数学符号的对应关系：

文字语言表达

数学符号表示

文字语言表达

数学符号表示

点A在直线l上

A∈l

点A在直线l外

A∉l

点A在平面α内

A∈α

点A在平面α外

A∉α

直线l在平面α内

l⊂α

直线l在平面α外

l⊄α

直线l，m相交于点A

l∩m＝A

平面α、β相交于直线l

α∩β＝l

思考　若A∈a，a⊂α，是否可以推出A∈α？

答　根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a⊂α，则A∈α.

知识点三　平面的基本性质及作用

公理

内容

图形

符号

作用

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的

公理2

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在惟一的平面α，使A，B，C∈α

一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

一是判断两个平面相交的依据；二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据

思考　

（1）两个平面的交线可能是一条线段吗？

（2）经过空间任意三点能确定一个平面吗？

答　

（1）不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线.

（2）不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.

题型一　三种语言间的相互转化

例1　用符号语言表示下列语句，并画出图形.

（1）三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.

解　

（1）符号语言表示：

α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.

（2）符号语言表示：

平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.

跟踪训练1　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

（1）A∈α，B∉α；

（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；（3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.

解　

（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.

（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.

（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.

题型二　共面问题

例2　证明：

空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.

证明　

（1）如图①，设直线a，b，c相交于点O，直线d和直线a，b，c分别交于点M，N，P，直线d和点O确定平面α.

因为O∈a，M∈a，所以a⊂α.

同理可证b⊂α，c⊂α.

（2）如图②，设直线a，b，c，d两两相交，且任意三条不共点，交点分别是M，N，P，Q，R，G.

因为a∩b＝M，所以直线a和b确定平面α.

因为a∩c＝N，b∩c＝Q，所以点N，Q都在平面α内，

所以c⊂α.

同理可证d⊂α，所以直线a，b，c，d共面于α.

综合

（1）

（2），知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.

跟踪训练2　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：

过a，b，l有且只有一个平面.

证明　如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.

题型三　点共线与线共点问题

例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：

D、A、Q三点共线.

证明　∵MN∩EF＝Q，

∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，

又∵M∈直线CD，N∈直线AB，

CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.

∴M、N∈平面ABCD，

∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.

同理，可得EF⊂平面ADD1A1.

∴Q∈平面ADD1A1.

又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，

∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.

跟踪训练3　如图所示，在四面体A－BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：

EF，GH，BD交于一点.

证明　∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC.

又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，

∴FH∥AC，从而FH∥GE.

故E，F，H，G四点共面.

∵FH∥AC，DH∶DA＝2∶5，

∴FH∶AC＝2∶5，即FH＝

AC.

又∵E，G分别为BC，AB的中点，

∴GE＝

AC，∴FH≠GE，

∴四边形EFHG是一个梯形，

GH和EF交于一点，设为O.

∵O∈GH，GH⊂平面ABD，O∈EF，EF⊂平面BCD，

∴O在平面ABD内，又在平面BCD内，

∴O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，

∴点O在直线BD上.

故EF，GH，BD交于一点.

分类讨论思想

例4　三个平面将空间分成几部分？

请画出图形.

分析　平面具有无限延展性，任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论，再让第三个平面以不同的情况介入，分类解决.

解　

（1）当平面α、平面β、平面γ互相平行（即α∥β∥γ）时，将空间分成4部分，如图①所示.

（2）当平面α与平面β平行，平面γ与它们相交（即α∥β，γ与其相交）时，将空间分成6部分，如图②所示.

（3）当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线重合时，将空间分成6部分，如图③所示.

（4）当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成8部分，如图④所示.

（5）当平面α、平面β、平面γ两两相交，且三条交线平行时，将空间分成7部分，如图⑤所示.

1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（　　）

A.黑板面B.乒乓球桌面

C.篮球的表面D.平静的水面

2.点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为（　　）

A.P⊂l⊂αB.P∈l∈α

C.P⊂l∈αD.P∈l⊂α

3.若一直线a在平面α内，则正确的作图是（　　）

4.下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是（　　）

5.

（1）空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.

（2）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_______个平面.

一、选择题

1.下列有关平面的说法正确的是（　　）

A.平行四边形是一个平面

B.任何一个平面图形都是一个平面

C.平静的太平洋面就是一个平面

D.圆和平行四边形都可以表示平面

2.如图，用符号语言可表示为（　　）

A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A

B.α∩β＝m，n∈a，m∩n＝A

C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n

D.α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n

3.下列说法正确的是（　　）

A.经过三点确定一个平面

B.两条直线确定一个平面

C.四边形确定一个平面

D.不共面的四点可以确定4个平面

4.一条直线和直线外的三点所确定的平面有（　　）

A.1个或3个

B.1个或4个

C.1个，3个或4个

D.1个，2个或4个

5.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是（　　）

A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C.A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D.A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合

6.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中（　　）

A.必有三点共线

B.必有三点不共线

C.至少有三点共线

D.不可能有三点共线

7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是（　　）

A.C1，M，O三点共线

B.C1，M，O，C四点共面

C.C1，O，A，M四点共面

D.D1，D，O，M四点共面

二、填空题

8.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M_______l.

9.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝_______.

10.若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.

11.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.

三、解答题

12.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.

13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1相交于点Q，求证：

B，Q，D1三点共线.

当堂检测答案

1.答案　C

解析　平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.

2.答案　D

解析　点与线之间是元素与集合的关系，用∈表示；线与面之间是集合与集合的关系，用⊂表示.

3.答案　A

解析　B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.

4.答案　D

解析　A中没有画出平面α与平面β的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确.

5.答案　

（1）4　

（2）7

解析　

（1）可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.

（2）可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.

课时精练答案

一、选择题

1.答案　D

解析　我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确.

2.答案　A

解析　α与β交于m，n在α内，m与n交于A.

3.答案　D

解析　对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不止确定一个平面.

4.答案　C

解析　若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面.

5.答案　C

解析　∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.

由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.

故α∩β＝A的写法错误.

6.答案　B

解析　如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确.

7.答案　D

解析　在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，

A1C∩平面C1BD＝M.

∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，

∴选项A，B，C均正确，D不正确.

二、填空题

8.答案　∈

解析　因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.

9.

答案　直线PR

解析　如图，MN⊂γ，R∈MN，

∴R∈γ.

又∵R∈l，∴R∈β.

又∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.

10.答案　共线

解析　∵AC∥BD，

∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.

∵l∩α＝O，∴O∈α.

又∵O∈AB⊂β，

∴O∈直线CD，

∴O，C，D三点共线.

11.答案　36

解析　正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.

三、解答题

12.解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.

由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，

∵E∈AC，AC⊂平面SAC，

∴E∈平面SAC.

同理，可证E∈平面SBD.

∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.

13.证明　如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.

所以BD1⊂平面A1BCD1.

同理BD1⊂平面ABC1D1.

所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.

因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，

所以Q∈平面ABC1D1.

又因为A1C⊂平面A1BCD1，

所以Q∈平面A1BCD1.

所以Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线.