平面附答案.docx

1、平面附答案平面学习目标1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1、公理2、公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系.知识点一平面的概念1.几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍，如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图.3.平面的表示法图的平面可表示为平面，平面ABCD，平面AC或平面BD.思考一个平面能把空间分成几部分？答因为平面是无限延展的，一个平面把空

2、间分成两部分.知识点二点、线、面之间的关系1.直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l.2.一些文字语言与数学符号的对应关系：文字语言表达数学符号表示文字语言表达数学符号表示点A在直线l上Al点A在直线l外Al点A在平面内A点A在平面外A直线l在平面内l直线l在平面外l直线l，m相交于点AlmA平面、相交于直线ll思考若Aa，a，是否可以推出A？答根据直线在平面内定义可知，若Aa，a，则A.知识点三平面的基本性质及作用公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl既可判定直线和点是否在

3、平面内，又能说明平面是无限延展的公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在惟一的平面，使A，B，C一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl一是判断两个平面相交的依据；二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据思考(1)两个平面的交线可能是一条线段吗？(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？答(1)不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线.(2)不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.题型一三种语言间的相互转化例1用符号语言表示下

4、列语句，并画出图形.(1)三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示如图.(2)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示如图.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图.(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图.(3

5、)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q，如图.题型二共面问题例2证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.证明(1)如图，设直线a，b，c相交于点O，直线d和直线a，b，c分别交于点M，N，P，直线d和点O确定平面.因为Oa，Ma，所以a.同理可证b，c.(2)如图，设直线a，b，c，d两两相交，且任意三条不共点，交点分别是M，N，P，Q，R，G.因为abM，所以直线a和b确定平面.因为acN，bcQ，所以点N，Q都在平面内，所以c.同理可证d，所以直线a，b，c，d共面于.综合(1)(2)，知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.跟踪训练2已知直线ab，直线l与a，b都相交，求

6、证：过a，b，l有且只有一个平面.证明如图所示.由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设alA，blB，A，B，且Al，Bl，l.即过a，b，l有且只有一个平面.题型三点共线与线共点问题例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明MNEFQ，Q直线MN，Q直线EF，又M直线CD，N直线AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD.M、N平面ABCD，MN平面ABCD.Q平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.Q平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1AD，Q直线AD，即

7、D、A、Q三点共线.跟踪训练3如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23，求证：EF，GH，BD交于一点.证明E，G分别为BC，AB的中点，GEAC.又DFFCDHHA23，FHAC，从而FHGE.故E，F，H，G四点共面.FHAC，DHDA25，FHAC25，即FHAC.又E，G分别为BC，AB的中点，GEAC，FHGE，四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点，设为O.OGH，GH平面ABD，OEF，EF平面BCD，O在平面ABD内，又在平面BCD内，O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，点

8、O在直线BD上.故EF，GH，BD交于一点.分类讨论思想例4三个平面将空间分成几部分？请画出图形.分析平面具有无限延展性，任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论，再让第三个平面以不同的情况介入，分类解决.解(1)当平面、平面、平面互相平行(即)时，将空间分成4部分，如图所示.(2)当平面与平面平行，平面与它们相交(即，与其相交)时，将空间分成6部分，如图所示.(3)当平面、平面、平面都相交，且三条交线重合时，将空间分成6部分，如图所示.(4)当平面、平面、平面都相交，且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成8部分，如图所示.(5)当平面、平面、平面两两相交，且三条交线

9、平行时，将空间分成7部分，如图所示.1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是()A.黑板面 B.乒乓球桌面C.篮球的表面 D.平静的水面2.点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为()A.Pl B.PlC.Pl D.Pl3.若一直线a在平面内，则正确的作图是()4.下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是()5.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定_个平面.(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_个平面.一、选择题1.下列有关平面的说法正确的是()A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就

10、是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面2.如图，用符号语言可表示为()A.m，n，mnAB.m，na，mnAC.m，n，Am，AnD.m，na，Am，An3.下列说法正确的是()A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定4个平面4.一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A.1个或3个B.1个或4个C.1个，3个或4个D.1个，2个或4个5.已知、为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A.Aa，A，Ba，BaB.M，M，N，NMNC.A，AAD.A、B、M，A、B、M，且A、B、M不共线、重合6.空间四点A、B、C、D

11、共面而不共线，那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()A.C1，M，O三点共线B.C1，M，O，C四点共面C.C1，O，A，M四点共面D.D1，D，O，M四点共面二、填空题8.设平面与平面相交于l，直线a，直线b，abM，则M_l.9.平面平面l，点M，N，点P，且Pl，又MNlR，过M，N，P三点所确定的平面记为，则_.10.若直线l与平面相交于点O，A、Bl，C、D，且ACBD，则O，C，D三点的位置关系是_.11.如果一条

12、直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_.三、解答题12.如图，直角梯形ABDC中，ABCD，ABCD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.13.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1相交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.当堂检测答案1.答案C解析平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.2.答

13、案D解析点与线之间是元素与集合的关系，用表示；线与面之间是集合与集合的关系，用表示.3.答案A解析B中直线a不应超出平面；C中直线a不在平面内；D中直线a与平面相交.4.答案D解析A中没有画出平面与平面的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确.5.答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.课时精练答案一、选择题1.答案D解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面

14、图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确.2.答案A解析与交于m，n在内，m与n交于A.3.答案D解析对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不止确定一个平面.4.答案C解析若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面.5.答案C解析A，A，A

15、.由公理可知为经过A的一条直线而不是A.故A的写法错误.6.答案B解析如图所示，A、C、D均不正确，只有B正确.7.答案D解析在题图中，连接A1C1，AC，则ACBDO，A1C平面C1BDM.三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，选项A，B，C均正确，D不正确.二、填空题8.答案解析因为abM，a，b，所以M，M.又因为l，所以Ml.9. 答案直线PR解析如图，MN，RMN，R.又Rl，R.又P，P，PR.10.答案共线解析ACBD，AC与BD确定一个平面，记作平面，则直线CD.lO，O.又OAB，O直线CD，O，C，D三点共线.11.答案36解析正

16、方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.三、解答题12.解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于ABCD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，EAC，AC平面SAC，E平面SAC.同理，可证E平面SBD.点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.13.证明如图所示，连接A1B，CD1.显然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.所以BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.所以平面ABC1D1平面A1BCD1BD1.因为A1C平面ABC1D1Q，所以Q平面ABC1D1.又因为A1C平面A1BCD1，所以Q平面A1BCD1.所以QBD1，即B，Q，D1三点共线.