北师大版高中数学必修4第一章三角函数2角的概念的推广典题题库.docx
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北师大版高中数学必修4第一章三角函数2角的概念的推广典题题库
北师大版高中数学必修4-第一章三角函数-2角的概念的推广
一、选择题(共36小题,每小题5.0分,共180分)
1.下列说法正确的是( )
A.小于90°的角是锐角
B.钝角必是第二象限角,第二象限角必是钝角
C.第三象限的角大于第二象限的角
D.角α与角β的终边相同,角α与角β可能不相等
【答案】D
【解析】小于90°的角除了锐角还有零角与负角,故A错;钝角必是第二象限角,但第二象限角不一定为钝角,故B错;第三象限角不一定大于第二象限角,如224°,500°,故C错;D正确.
2.与-457°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=457°+k·360°,k∈Z}
B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z}
C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z}
D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}
【答案】C
【解析】由于-457°=-1×360°-97°=-2×360°+263°,故与-457°角终边相同的角的集合是{α|α=-457°+k·360°,k∈Z}={α|α=263°+k·360°,k∈Z}.
3.下列角中终边与330°相同的角是( )
A.30°
B.-30°
C.630°
D.-630°
【答案】B
【解析】由题意可知330°=-30°+1×360°.
4.与405°角终边相同的角是( )
A.k·360°-45°,k∈Z
B.k·180°-45°,k∈Z
C.k·360°+45°,k∈Z
D.k·180°+45°,k∈Z
【答案】C
【解析】405°=360°+45°,故选C.
5.与1303°终边相同的角是( )
A.763°
B.493°
C.-137°
D.-47°
【答案】C
【解析】终边与1303°相同的角是k·360°+1303°,k∈Z.
∴k=-4时,k·360°+1303°=-137°,故选C.
6.若角α,β的终边互为反向延长线,则( )
A.α+β=0°
B.α-β=180°
C.α-β=2k·180°
D.α-β=(2k+1)·180°(k∈Z)
【答案】D
【解析】因为角α,β的终边互为反向延长线,所以两角相差180°的整数倍,所以α-β=(2k+1)·180°(k∈Z).
7.下列命题正确的是( )
A.小于90°的角一定是锐角
B.终边相同的角一定相等
C.终边落在直线y=
x上的角可以表示为k·360°+60°,k∈Z
D.-95°20′,984°40′,264°40′是终边相同的角
【答案】D
【解析】小于90°的角可以是锐角、零角及负角,故A错;终边相同的角相差360°的整数倍,故B错;终边落在直线y=
x上的角可以表示为k·180°+60°,k∈Z,故C错;D中的三个角相差360°的整数倍.
8.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
A.答案A
B.答案B
C.答案C
D.答案D
【答案】C
【解析】当k=2n时,{α|2n·180°+45°≤α≤2n·180°+90°,n∈Z},此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k=2n+1时,{α|2n·180°+180°+45°≤α≤2n·180°+180°+90°,n∈Z},此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.
9.已知0°<θ<180°,且θ角的6倍角的终边和θ角终边重合,则满足条件的角θ为( )
A.72°或144°
B.72°
C.144°
D.不能确定
【答案】A
【解析】∵θ角的6倍角的终边和θ角终边重合,
∴6θ=θ+k·360°,k∈Z,∴θ=k·72°,
∵0°<θ<180°,0°<k·72°<180°,
∵k∈Z,∴k=1,2,
∴θ=72°或144°.
10.若角α,β终边相同,则α-β终边在( )
A.x轴非负半轴上
B.y轴非负半轴上
C.x轴上
D.y轴上
【答案】A
【解析】角α,β终边相同可表示为
α=k·360°+β,k∈Z.∴α-β=k·360°,k∈Z,
α-β终边在x轴非负半轴上.
11.在(-360°,0°)内与角1250°终边相同的角是( )
A.170°
B.190°
C.-190°
D.-170°
【答案】C
【解析】与1250°角的终边相同的角α=1250°+k·360°,因为-360°<α<0°,所以-
<k<-
.
因为k∈Z,令k=-4,得α=-190°.
12.若角2α与240°角的终边相同,则α等于( )
A.120°+k·360°,k∈Z
B.120°+k·180°,k∈Z
C.240°+k·360°,k∈Z
D.240°+k·180°,k∈Z
【答案】B
【解析】角2α与240°角的终边相同,则2α=240°+k·360°,k∈Z,则α=120°+k·180°,k∈Z,选B.
13.下列角中,终边在y轴正半轴上的是( )
A.
B.
C.π
D.
【答案】B
【解析】终边落在y轴正半轴上的角的集合为A={α|α=
+2kπ,k∈Z},
取k=0,得α=
.
14.终边与x轴重合的角α的集合是( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°,k∈Z}
C.{α|α=k·90°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
【答案】B
【解析】设终边在x轴上的角为α,当α在x轴正半轴时,α=k·360°=2k·180°,其中k∈Z;当α在x轴负半轴时,α=2k·180°+180°=(2k+1)·180°,其中k∈Z,综上所述:
α的集合是{α|α=k·180°,k∈Z}.
15.终边与y轴重合的角α的集合是( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°,k∈Z}
C.{α|α=k·90°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
【答案】D
【解析】设终边在y轴上的角为α,当α在y轴正半轴时,α=n·360°+90°,其中n∈Z;
当α在y轴负半轴时,α=n·360°+270°,其中n∈Z,综上所述:
α的集合是{α|α=k·180°+90°,n∈Z}.
16.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
C.{α|α=k·180°,k∈Z}
D.{α|α=k·90°,k∈Z}
【答案】D
【解析】终边为x轴的角的集合M={α|α=k·180°,k∈Z},终边为y轴的角的集合P={α|α=k·180°+90°,k∈Z},
设终边为坐标轴的角的集合为S,则S=M∪P={α|α=k·180°,k∈Z}∪{α|α=k·180°+90°,k∈Z}={α|α=2k·90°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·90°,k∈Z}={α|α=n·90°,n∈Z}.
17.若角α满足α=k·120°+30°(k∈Z),则α的终边一定在( )
A.第一象限或第二象限或第三象限
B.第一象限或第二象限或第四象限
C.第一象限或第二象限或x轴非负半轴上
D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当k=3n,n∈Z时,α=n·360°+30°,为第一象限角;
当k=3n+1,n∈Z时,α=n·360°+150°,为第二象限角;
当k=3n+2,n∈Z时,α=n·360°+270°,为y轴非正半轴上的角.
则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.
18.角θ终边上一点的坐标为(0,1),则角θ不可能是( )
A.90°
B.180°
C.450°
D.-270°
【答案】B
【解析】显然90°,450°,-270°角的终边在y轴的正半轴上,而180°角的终边在x轴的负半轴上,故选B.
19.A={小于90°的角},B={第一象限角},则A∩B等于( )
A.{锐角}
B.{小于90°的角}
C.{第一象限角}
D.以上都不对
【答案】D
【解析】小于90°的角由锐角、零角、负角组成,而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一象限的角,所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成的集合,故选D.
20.400°角终边所在象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】A
【解析】400°=360°+40°,
∵40°是第一象限,∴400°角终边所在象限是第一象限.
21.-1120°角所在象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
【解析】由题意,得-1120°=-4×360°+320°,而320°在第四象限,所以-1120°角也在第四象限.
22.若α=k·180°+45°,k∈Z,则α是第几象限角( )
A.一或三
B.一或二
C.二或四
D.三或四
【答案】A
【解析】当k=0时,α=45°为第一象限角,当k=1时,α=225°为第三象限角.
23.-361°的终边落在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
【解析】负角是顺时针旋转,由题意知顺时针旋转一圈之后是360°,然后再顺时针旋转1°,恰好落在第四象限.
24.给出下列四个命题:
①-75°角是第四象限角;②225°角是第三象限角;③475°角是第二象限角;④-315°角是第一象限角,其中真命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】D
【解析】对于①:
如图1所示,-75°角是第四象限角;
对于②:
如图2所示,225°角是第三象限角;
对于③:
如图3所示,475°角是第二象限角;
对于④:
如图4所示,-315°角是第一象限角.
25.已知α为第三象限角,则
所在的象限是( )
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
【答案】D
【解析】由于k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,得
·360°+90°<
<
·360°+135°,k∈Z.
当k为偶数时,
为第二象限角;当k为奇数时,
为第四象限角.
26.若α是第四象限角,则180°-α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【答案】C
【解析】可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.
27.在-390°,-885°,1351°,2012°这四个角中,其中第四象限角的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】∵-390°=-360°+(-30°),-30°是第四象限角,∴-390°是第四象限角;
∵-885°=-3×360°+195°,195°是第三象限角,
∴-885°是第三象限角;
∵1351°=3×360°+271°,271°是第四象限角,
∴1351°是第四象限角;
∵2012°=5×360°+212°,212°是第三象限角,
∴2012°是第三象限角.
28.已知α是第一象限角,则角
的终边不可能落在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
【解析】∵α是第一象限角,∴k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,∴
·360°<
<
·360°+30°.
当k=3m,m∈Z时,m·360°<
<m·360°+30°,∴角
的终边落在第一象限.
当k=3m+1,m∈Z时,m·360°+120°<
<m·360°+150°,∴角
的终边落在第二象限.
当k=3m+2,m∈Z时,m·360°+240°<
<m·360°+270°,
∴角
的终边落在第三象限,故选D.
29.设α是第二象限角,则
的终边不在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】C
【解析】360°·k+90°<α<360°·k+180°,k∈Z,则120°·k+30°<
<120°·k+60°,k∈Z,
角终边不在第三象限.k取0或1或-1等.
30.以下各角中,是第三象限角的为( )
A.580°
B.120°
C.700°
D.400°
【答案】A
【解析】若x是第三象限角,则360°·k+180°<x<360°·k+270°,k∈Z;当k=1时,580°是第三象限角.
31.下列四个命题中,正确的是( )
A.第一象限的角必是锐角
B.锐角必是第一象限的角
C.终边相同的角必相等
D.第二象限的角必大于第一象限的角
【答案】B
【解析】若x是锐角,则0°<x<90°;若x是第一象限角,则360°·k+0°<x<360°·k+90°,k∈Z;所以锐角是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角.
32.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C关系是( )
A.B=A∩C
B.B∪C=C
C.A⊂C
D.A=B=C
【答案】B
【解析】B={x|0°<x<90°},C={x|x<90°},则集合B是集合C的子集,故B∪C=C.
33.-215°在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】B
【解析】设x是第二象限角,则360°·k+90°<x<360°·k+180°,k∈Z;k=-1时,-215°∈{x|-270°<x<-180°}.
34.如果α是第三象限的角,则下列结论中错误的是( )
A.-α为第二象限角
B.180°-α为第二象限角
C.180°+α为第一象限角
D.90°+α为第四象限角
【答案】B
【解析】若α是第三象限角,则360°·k+180°<α<360°·k+270°;则360°·k+90°<-α<360°·k+180°,360°·k+270°<180°-α<360°·k+360°此时为第四象限角.
35.角-2015°所在的象限为( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】B
【解析】∵-2015°=-360°×6+145°,而90°<145°<180°,
∴角-2015°所在的象限为第二象限.
36.下列说法正确的是( )
A.锐角是第一象限角
B.第二象限角是钝角
C.第一象限角是锐角
D.第四象限角是负角
【答案】A
【解析】由于锐角范围是(0°,90°),显然是第一象限角;-200°是第二象限角,但不是钝角;380°是第一象限角,但不是锐角;390°是第四象限角,但不是负角,故选A.
二、填空题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
37.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么角α=________.
【答案】270°
【解析】由于5α与α的始边和终边相同,所以这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°.又180°<α<360°,令k=3,得α=270°.
38.若角β的终边与60°角的终边相同,在[0°,360°)内,终边与
的终边相同的角为________.
【答案】20°,140°,260°
【解析】因为角β的终边与60°角的终边相同,所以β=k·360°+60°(k∈Z),所以
=k·120°+20°,分别取k=0,1,2时即可.
39.落在y=x(x≥0)上的角α的集合是________.
【答案】{α|α=45°+k·360°,k∈Z}
【解析】由于x≥0,故在(0°,90°)内,终边落在y=x上的角为45°,所以α的集合为{α|α=45°+k·360°,k∈Z}.
40.与角-2138°的终边相同且绝对值最小的角是________.
【答案】22°
【解析】∵-2138°=-6×360°+22°,
∴22°与-2138°的终边相同,且绝对值最小,故满足要求的角为22°.
41.若角α的终边与-60°的终边相同,且α∈[0°,360°],则角α=________.
【答案】300°
【解析】角α的终边与-60°的终边相同,设α=k·360°-60°,k∈Z,则只有当k=1时,α=300°∈[0°,360°].
42.与2013°角的终边相同的最小正角是________,绝对值最小的角是________.
【答案】213° -147°
【解析】与2013°终边相同的角为2013°+k·360°(k∈Z).当k=-5时,213°为最小正角;当k=-6时,-147°为绝对值最小的角.
43.把-495°表示成k·360°+θ(k∈Z)的形式,且使|θ|最小,则θ=________.
【答案】-135°
【解析】-495°=-135°-360°,它的终边与-135°的终边相同,且|θ|最小.
44.在-180°~360°范围内,与2000°角终边相同的角为________.
【答案】-160°,200°
【解析】∵2000°=200°+5×360°,2000°=-160°+6×360°,
∴在-180°~360°范围内与2000°角终边相同的角有-160°,200°两个.
45.-1040°角在第________象限.
【答案】一
【解析】与-1040°角终边相同的角可表示为α=k·360°+(-1040°),当k=3时,α=40°,所以-1040°角与40°角的终边相同,故-1040°角的终边在第一象限.
46.角1539°在第________象限.
【答案】二
【解析】∵1539°=4×360°+99°,
且99°为第二象限角,∴1539°是第二象限角.
47.-710°在第________象限.
【答案】一
【解析】∵-710°=-720°+10°=-2×360°+10°,
∴-710°与10°角的终边相同,为第一象限角.
48.若θ为锐角,则β=180°·k+θ(k为整数)是第________象限的角.
【答案】一、三
【解析】∵θ为锐角,是第一象限的角,
则当k为偶数时,β=180°·k+θ(k为整数)是第一象限角;
当k为奇数时,β=180°·k+θ(k为整数)是第三象限角.
∴若θ为锐角,则β=180°·k+θ(k为整数)是第一、三象限的角.
三、解答题(共26小题,每小题12.0分,共312分)
49.如图,分别写出适合下列条件的角的集合:
(1)终边落在射线OB上;
(2)终边落在直线OA上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
【答案】
(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z};
(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2={α|α=30°+k·180°,k∈Z};
(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3={α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}.
【解析】
50.写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
【答案】由终边相同的角的表示知,与角α=-1910°终边相同的角的集合为:
{β|β=k·360°-1910°,k∈Z}.
∵-720°≤β<360°,
即-720°≤k·360°-1910°<360°(k∈Z),
∴3
≤k<6
(k∈Z).故取k=4,5,6.
k=4时,β=4×360°-1910°=-470°;
k=5时,β=5×360°-1910°=-110°;
k=6时,β=6×360°-1910°=250°.
【解析】
51.已知角x的终边落在图示阴影部分区域,写出角x组成的集合.
【答案】
(1){x|k·360°-135°≤x≤k·360°+135°,k∈Z}.
(2){x|k·360°+30°≤x≤k·360°+60°,k∈Z}∪{x|k·360°+210°≤x≤k·360°+240°,k∈Z}
={x|2k·180°+30°≤x≤2k·180°+60°或(2k+1)·180°+30°≤x≤(2k+1)·180°+60°,k∈Z}
={x|k·180°+30°≤x≤k·180°+60°,k∈Z}.
【解析】
52.已知角β的终边在直线
x-y=0上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
【答案】
(1)如图,直线
x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°~360°范围内,终边落在射线OA上的角是60°,终边落在射线OB上的角是240°,所以以射线OA、OB为终边的角的集合为:
S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z},
所以,角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}
={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.
(2)由于-360°<β<720°,即-360°<60°+n·180°<720°,n∈Z.解得-
<n<
,n∈Z,所以n=-2,-1,0,1,2,3.
所以S中适合不等式-360°<β<720°的元素为:
60°-2×180°=-300°;60°-1×180°=-120°;
60°+0×180°=60°;60°+1×180°=240°;
60°+2×180°=420°;60°+3×180°=600°.
【解析】
53.已知α、β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求α、β的大小.
【答案】因为α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,
所以α+β=-280°+360°·k,
α-β=670°+360°·k;
两式相加,2α=390°+720°·k=360°+30°+720°·k=30°+720°·k;
α=15°+360°·k;
因为α,β是锐角,所以α=15°,β=65°.
【解析】
54.在0°~360°范围内,找出与-950°12′终边相同的角,并判定它是第几象限角.
【答案】∵-950°12′=-1080°+129°48′=-3×360°+129°48′.
∴在0°~360°范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′.
129°48′是第二象限角.
∴-950°12′是第二象限角.
【解析】
55.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,α=
-510°.
(1)在如图直角坐标系中画出角α的终边,并指出α是第几象限角;
(2)在0°~360°内找出与α终边相同