北师大版高中数学必修4第一章三角函数2角的概念的推广典题题库.docx

北师大版高中数学必修4第一章三角函数2角的概念的推广典题题库.docx

《北师大版高中数学必修4第一章三角函数2角的概念的推广典题题库.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版高中数学必修4第一章三角函数2角的概念的推广典题题库.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师大版高中数学必修4第一章三角函数2角的概念的推广典题题库

北师大版高中数学必修4-第一章三角函数-2角的概念的推广

一、选择题（共36小题,每小题5.0分,共180分）

1.下列说法正确的是（　　）

A．小于90°的角是锐角

B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角

C．第三象限的角大于第二象限的角

D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等

【答案】D

【解析】小于90°的角除了锐角还有零角与负角，故A错；钝角必是第二象限角，但第二象限角不一定为钝角，故B错；第三象限角不一定大于第二象限角，如224°，500°，故C错；D正确.

2.与－457°角的终边相同的角的集合是（　　）

A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}

C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}

D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}

【答案】C

【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.

3.下列角中终边与330°相同的角是（　　）

A．30°

B．－30°

C．630°

D．－630°

【答案】B

【解析】由题意可知330°＝－30°＋1×360°.

4.与405°角终边相同的角是（　　）

A．k·360°－45°，k∈Z

B．k·180°－45°，k∈Z

C．k·360°＋45°，k∈Z

D．k·180°＋45°，k∈Z

【答案】C

【解析】405°＝360°＋45°，故选C.

5.与1303°终边相同的角是（　　）

A．763°

B．493°

C．－137°

D．－47°

【答案】C

【解析】终边与1303°相同的角是k·360°＋1303°，k∈Z.

∴k＝－4时，k·360°＋1303°＝－137°，故选C.

6.若角α，β的终边互为反向延长线，则（　　）

A．α＋β＝0°

B．α－β＝180°

C．α－β＝2k·180°

D．α－β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）

【答案】D

【解析】因为角α，β的终边互为反向延长线，所以两角相差180°的整数倍，所以α－β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）.

7.下列命题正确的是（　　）

A．小于90°的角一定是锐角

B．终边相同的角一定相等

C．终边落在直线y＝

x上的角可以表示为k·360°＋60°，k∈Z

D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角

【答案】D

【解析】小于90°的角可以是锐角、零角及负角，故A错；终边相同的角相差360°的整数倍，故B错；终边落在直线y＝

x上的角可以表示为k·180°＋60°，k∈Z，故C错；D中的三个角相差360°的整数倍.

8.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（　　）

A．答案A

B．答案B

C．答案C

D．答案D

【答案】C

【解析】当k＝2n时，{α|2n·180°＋45°≤α≤2n·180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k＝2n＋1时，{α|2n·180°＋180°＋45°≤α≤2n·180°＋180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.

9.已知0°＜θ＜180°，且θ角的6倍角的终边和θ角终边重合，则满足条件的角θ为（　　）

A．72°或144°

B．72°

C．144°

D．不能确定

【答案】A

【解析】∵θ角的6倍角的终边和θ角终边重合，

∴6θ＝θ＋k·360°，k∈Z，∴θ＝k·72°，

∵0°＜θ＜180°，0°＜k·72°＜180°，

∵k∈Z，∴k＝1,2，

∴θ＝72°或144°.

10.若角α，β终边相同，则α－β终边在（　　）

A．x轴非负半轴上

B．y轴非负半轴上

C．x轴上

D．y轴上

【答案】A

【解析】角α，β终边相同可表示为

α＝k·360°＋β，k∈Z.∴α－β＝k·360°，k∈Z，

α－β终边在x轴非负半轴上.

11.在（－360°，0°）内与角1250°终边相同的角是（　　）

A．170°

B．190°

C．－190°

D．－170°

【答案】C

【解析】与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，因为－360°＜α＜0°，所以－

＜k＜－

.

因为k∈Z，令k＝－4，得α＝－190°.

12.若角2α与240°角的终边相同，则α等于（　　）

A．120°＋k·360°，k∈Z

B．120°＋k·180°，k∈Z

C．240°＋k·360°，k∈Z

D．240°＋k·180°，k∈Z

【答案】B

【解析】角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z，选B.

13.下列角中，终边在y轴正半轴上的是（　　）

A．

B．

C．π

D．

【答案】B

【解析】终边落在y轴正半轴上的角的集合为A＝{α|α＝

＋2kπ，k∈Z}，

取k＝0，得α＝

.

14.终边与x轴重合的角α的集合是（　　）

A．{α|α＝k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝k·180°，k∈Z}

C．{α|α＝k·90°，k∈Z}

D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}

【答案】B

【解析】设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α＝k·360°＝2k·180°，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α＝2k·180°＋180°＝（2k＋1）·180°，其中k∈Z，综上所述：

α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}.

15.终边与y轴重合的角α的集合是（　　）

A．{α|α＝k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝k·180°，k∈Z}

C．{α|α＝k·90°，k∈Z}

D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}

【答案】D

【解析】设终边在y轴上的角为α，当α在y轴正半轴时，α＝n·360°＋90°，其中n∈Z；

当α在y轴负半轴时，α＝n·360°＋270°，其中n∈Z，综上所述：

α的集合是{α|α＝k·180°＋90°，n∈Z}.

16.终边与坐标轴重合的角α的集合是（　　）

A．{α|α＝k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}

C．{α|α＝k·180°，k∈Z}

D．{α|α＝k·90°，k∈Z}

【答案】D

【解析】终边为x轴的角的集合M＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边为y轴的角的集合P＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}，

设终边为坐标轴的角的集合为S，则S＝M∪P＝{α|α＝k·180°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝（2k＋1）·90°，k∈Z}＝{α|α＝n·90°，n∈Z}.

17.若角α满足α＝k·120°＋30°（k∈Z），则α的终边一定在（　　）

A．第一象限或第二象限或第三象限

B．第一象限或第二象限或第四象限

C．第一象限或第二象限或x轴非负半轴上

D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上

【答案】D

【解析】当k＝3n，n∈Z时，α＝n·360°＋30°，为第一象限角；

当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝n·360°＋150°，为第二象限角；

当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝n·360°＋270°，为y轴非正半轴上的角.

则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.

18.角θ终边上一点的坐标为（0,1），则角θ不可能是（　　）

A．90°

B．180°

C．450°

D．－270°

【答案】B

【解析】显然90°，450°，－270°角的终边在y轴的正半轴上，而180°角的终边在x轴的负半轴上，故选B.

19.A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B等于（　　）

A．{锐角}

B．{小于90°的角}

C．{第一象限角}

D．以上都不对

【答案】D

【解析】小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成的集合，故选D.

20.400°角终边所在象限是（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】A

【解析】400°＝360°＋40°，

∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限.

21.－1120°角所在象限是（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】D

【解析】由题意，得－1120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1120°角也在第四象限.

22.若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α是第几象限角（　　）

A．一或三

B．一或二

C．二或四

D．三或四

【答案】A

【解析】当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角.

23.－361°的终边落在（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】D

【解析】负角是顺时针旋转，由题意知顺时针旋转一圈之后是360°，然后再顺时针旋转1°，恰好落在第四象限.

24.给出下列四个命题：

①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】D

【解析】对于①：

如图1所示，－75°角是第四象限角；

对于②：

如图2所示，225°角是第三象限角；

对于③：

如图3所示，475°角是第二象限角；

对于④：

如图4所示，－315°角是第一象限角.

25.已知α为第三象限角，则

所在的象限是（　　）

A．第一或第二象限

B．第二或第三象限

C．第一或第三象限

D．第二或第四象限

【答案】D

【解析】由于k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，得

·360°＋90°＜

＜

·360°＋135°，k∈Z.

当k为偶数时，

为第二象限角；当k为奇数时，

为第四象限角.

26.若α是第四象限角，则180°－α是（　　）

A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角

【答案】C

【解析】可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.

27.在－390°，－885°，1351°，2012°这四个角中，其中第四象限角的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】C

【解析】∵－390°＝－360°＋（－30°），－30°是第四象限角，∴－390°是第四象限角；

∵－885°＝－3×360°＋195°，195°是第三象限角，

∴－885°是第三象限角；

∵1351°＝3×360°＋271°，271°是第四象限角，

∴1351°是第四象限角；

∵2012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，

∴2012°是第三象限角.

28.已知α是第一象限角，则角

的终边不可能落在（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】D

【解析】∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴

·360°＜

＜

·360°＋30°.

当k＝3m，m∈Z时，m·360°＜

＜m·360°＋30°，∴角

的终边落在第一象限.

当k＝3m＋1，m∈Z时，m·360°＋120°＜

＜m·360°＋150°，∴角

的终边落在第二象限.

当k＝3m＋2，m∈Z时，m·360°＋240°＜

＜m·360°＋270°，

∴角

的终边落在第三象限，故选D.

29.设α是第二象限角，则

的终边不在（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】C

【解析】360°·k＋90°＜α＜360°·k＋180°，k∈Z，则120°·k＋30°＜

＜120°·k＋60°，k∈Z，

角终边不在第三象限.k取0或1或－1等.

30.以下各角中，是第三象限角的为（　　）

A．580°

B．120°

C．700°

D．400°

【答案】A

【解析】若x是第三象限角，则360°·k＋180°＜x＜360°·k＋270°，k∈Z；当k＝1时，580°是第三象限角.

31.下列四个命题中，正确的是（　　）

A．第一象限的角必是锐角

B．锐角必是第一象限的角

C．终边相同的角必相等

D．第二象限的角必大于第一象限的角

【答案】B

【解析】若x是锐角，则0°＜x＜90°；若x是第一象限角，则360°·k＋0°＜x＜360°·k＋90°，k∈Z；所以锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角.

32.已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是（　　）

A．B＝A∩C

B．B∪C＝C

C．A⊂C

D．A＝B＝C

【答案】B

【解析】B={x|0°＜x＜90°}，C={x|x＜90°}，则集合B是集合C的子集，故B∪C=C.

33.－215°在（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】B

【解析】设x是第二象限角，则360°·k＋90°＜x＜360°·k＋180°，k∈Z；k＝－1时，－215°∈{x|－270°＜x＜－180°}.

34.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是（　　）

A．－α为第二象限角

B．180°－α为第二象限角

C．180°+α为第一象限角

D．90°+α为第四象限角

【答案】B

【解析】若α是第三象限角，则360°·k＋180°＜α＜360°·k＋270°；则360°·k＋90°＜－α＜360°·k＋180°，360°·k＋270°＜180°－α＜360°·k＋360°此时为第四象限角.

35.角－2015°所在的象限为（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】B

【解析】∵－2015°=－360°×6＋145°，而90°＜145°＜180°，

∴角－2015°所在的象限为第二象限.

36.下列说法正确的是（　　）

A．锐角是第一象限角

B．第二象限角是钝角

C．第一象限角是锐角

D．第四象限角是负角

【答案】A

【解析】由于锐角范围是（0°，90°），显然是第一象限角；－200°是第二象限角，但不是钝角；380°是第一象限角，但不是锐角；390°是第四象限角，但不是负角，故选A.

二、填空题（共12小题,每小题5.0分,共60分）

37.若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.

【答案】270°

【解析】由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°＜α＜360°，令k＝3，得α＝270°.

38.若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°）内，终边与

的终边相同的角为________.

【答案】20°，140°，260°

【解析】因为角β的终边与60°角的终边相同，所以β＝k·360°＋60°（k∈Z），所以

＝k·120°＋20°，分别取k＝0,1,2时即可.

39.落在y＝x（x≥0）上的角α的集合是________.

【答案】{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}

【解析】由于x≥0，故在（0°，90°）内，终边落在y＝x上的角为45°，所以α的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}.

40.与角－2138°的终边相同且绝对值最小的角是________.

【答案】22°

【解析】∵－2138°＝－6×360°＋22°，

∴22°与－2138°的终边相同，且绝对值最小，故满足要求的角为22°.

41.若角α的终边与－60°的终边相同，且α∈[0°，360°]，则角α＝________.

【答案】300°

【解析】角α的终边与－60°的终边相同，设α＝k·360°－60°，k∈Z，则只有当k＝1时，α＝300°∈[0°，360°].

42.与2013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________.

【答案】213°　－147°

【解析】与2013°终边相同的角为2013°＋k·360°（k∈Z）.当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角.

43.把－495°表示成k·360°＋θ（k∈Z）的形式，且使|θ|最小，则θ＝________.

【答案】－135°

【解析】－495°＝－135°－360°，它的终边与－135°的终边相同，且|θ|最小.

44.在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角为________.

【答案】－160°，200°

【解析】∵2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，

∴在－180°～360°范围内与2000°角终边相同的角有－160°，200°两个.

45.－1040°角在第________象限.

【答案】一

【解析】与－1040°角终边相同的角可表示为α＝k·360°＋（－1040°），当k＝3时，α＝40°，所以－1040°角与40°角的终边相同，故－1040°角的终边在第一象限.

46.角1539°在第________象限.

【答案】二

【解析】∵1539°＝4×360°＋99°，

且99°为第二象限角，∴1539°是第二象限角.

47.－710°在第________象限.

【答案】一

【解析】∵－710°＝－720°＋10°＝－2×360°＋10°，

∴－710°与10°角的终边相同，为第一象限角.

48.若θ为锐角，则β＝180°·k＋θ（k为整数）是第________象限的角.

【答案】一、三

【解析】∵θ为锐角，是第一象限的角，

则当k为偶数时，β＝180°·k＋θ（k为整数）是第一象限角；

当k为奇数时，β＝180°·k＋θ（k为整数）是第三象限角.

∴若θ为锐角，则β＝180°·k＋θ（k为整数）是第一、三象限的角.

三、解答题（共26小题,每小题12.0分,共312分）

49.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：

（1）终边落在射线OB上；

（2）终边落在直线OA上；

（3）终边落在阴影区域内（含边界）.

【答案】

（1）终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；

（2）终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；

（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.

【解析】

50.写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.

【答案】由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°终边相同的角的集合为：

{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}.

∵－720°≤β＜360°，

即－720°≤k·360°－1910°＜360°（k∈Z），

∴3

≤k＜6

（k∈Z）.故取k＝4,5,6.

k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；

k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；

k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.

【解析】

51.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.

【答案】

（1）{x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.

（2）{x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}

＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或（2k＋1）·180°＋30°≤x≤（2k＋1）·180°＋60°，k∈Z}

＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}.

【解析】

52.已知角β的终边在直线

x－y＝0上.

（1）写出角β的集合S；

（2）写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素.

【答案】

（1）如图，直线

x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：

S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，

所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}

＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.

（2）由于－360°＜β＜720°，即－360°＜60°＋n·180°＜720°，n∈Z.解得－

＜n＜

，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2,3.

所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素为：

60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；

60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；

60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.

【解析】

53.已知α、β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求α、β的大小.

【答案】因为α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，

所以α＋β＝－280°＋360°·k，

α－β＝670°＋360°·k；

两式相加，2α＝390°＋720°·k＝360°＋30°＋720°·k＝30°＋720°·k；

α＝15°＋360°·k；

因为α，β是锐角，所以α＝15°，β＝65°.

【解析】

54.在0°～360°范围内，找出与－950°12′终边相同的角，并判定它是第几象限角.

【答案】∵－950°12′＝－1080°＋129°48′＝－3×360°＋129°48′.

∴在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′.

129°48′是第二象限角.

∴－950°12′是第二象限角.

【解析】

55.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α＝

－510°.

（1）在如图直角坐标系中画出角α的终边，并指出α是第几象限角；

（2）在0°～360°内找出与α终边相同