版 第1章 122 空间两条直线的位置关系.docx

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版第1章122空间两条直线的位置关系

1.2.2　空间两条直线的位置关系

1．会判断空间中直线与直线的位置关系．（重点）

2．能应用公理4和等角定理解决简单的立体几何问题．（难点）

3．了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说明异面直线所成的角．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　空间两直线的位置关系

阅读教材P25～P26公理4以上部分内容，完成下列问题．

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）如果a⊥b，b⊥c，则a∥c.（×）

（2）如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线．（×）

（3）如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交．（×）

（4）如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面．（×）

2．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是______________．

【解析】　如图所示，MN綊

AC，

又∵AC綊A′C′，

∴MN綊

A′C′.

【答案】　平行

教材整理2　公理4及等角定理

阅读教材P26～P27，完成下列问题．

1．公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

符号表示：

⇒a∥c.

2．等角定理：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于__________．

【解析】　∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.

【答案】　30°或150°

教材整理3　异面直线的判定及其所成的角

阅读教材P28～P30练习以上部分内容，完成下列问题．

1．异面直线的判定定理

定理

文字语言

符号表示

图形语言

异面直线的判定定理

过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线

若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线l与AB是异面直线

2．异面直线所成的角

（1）定义：

a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角．

（2）异面直线所成的角θ的取值范围：

0°<θ≤90°.

（3）当θ＝

时，a与b互相垂直，记作a⊥b.

已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b的位置关系是________．

【解析】　a，b是异面直线，直线c∥直线a，因而c不平行于b，若c∥b，则a∥b，与已知矛盾，因而c不平行于b.

【答案】　相交或异面

[小组合作型]

空间中直线的位置关系

（1）下列命题中正确的有________．（填序号）

①两条直线无公共点，则这两条直线平行；

②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；

③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；

④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．

（2）a，b，c是空间中三条直线，下列给出几个说法：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②a∥b是指直线a，b在同一平面内且没有公共点；

③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．

其中正确的有__________．（填序号）

【精彩点拨】　根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．

【自主解答】　

（1）对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：

平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．

（2）由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b.③错误．

【答案】　

（1）②　

（2）①②

空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．

[再练一题]

1．如图1－2－16，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

图1－2－16

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

【解析】　直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”．

【答案】　①平行　②异面　③相交　④异面

求异面直线所成的角

　如图1－2－17，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．

图1－2－17

【精彩点拨】　先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．

【自主解答】　

（1）

（2）

法一：

如图

（1），连结A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连结OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，

∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点．

∴GO⊥A1C1.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

法二：

如图

（2），连结A1D，取A1D的中点H，连结HE，HF，则HE∥DB1，且HE＝

DB1.

于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角．

连结HF，设AA1＝1.则EF＝

，HE＝

，

取A1D1的中点I，连结IF，IH，则HI⊥IF，

∴HF2＝HI2＋IF2＝

，∴HF2＝EF2＋HE2.

∴∠HEF＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

（3）

法三：

如图（3），在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ，B1Q，则B1Q∥EF.

于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

设AA1＝1，则DQ＝

＝

，B1D＝

＝

，B1Q＝

＝

，所以B1D2＋B1Q2＝DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.

求两条异面直线所成角的步骤：

（1）恰当选点，用平移法构造出一个相交角．

（2）证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）．

（3）把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．

（4）给出结论：

若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．

[再练一题]

2.如图1－2－18所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．

图1－2－18

【解】　如图所示，取BD的中点G，连结EG，FG.

∵E，F，G分别为BC，AD，BD的中点，AB＝CD，

∴EG綊

CD，GF綊

AB.

∴∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角．

∵AB⊥CD，∴EG⊥GF，

∴∠EGF＝90°.

∵AB＝CD，∴EG＝GF，

∴△EFG为等腰直角三角形，

∴∠GFE＝45°，即EF和AB所成的角为45°.

[探究共研型]

公理4与等角定理的应用

探究1　如图1－2－19，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，若E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点．那么四边形EFGH是什么四边形？

为什么？

图1－2－19

【提示】　平行四边形．因为在△PAB中，

∵E，F分别是PA，PB的中点，∴EF綊

AB，

同理GH綊

DC.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊CD，

∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形．

探究2　如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？

【提示】　这两条直线所成的锐角（或直角）相等．

　如图1－2－20，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．

求证：

∠EA1F＝∠E1CF1.

图1－2－20

【精彩点拨】　解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A1E∥CE1，A1F∥CF1，然后根据等角定理，得出结论．

【自主解答】　如图所示，在正方体AC1中，取A1B1的中点M，连结BM，MF1，

则BF＝A1M＝

AB.

又BF∥A1M，

∴四边形A1FBM为平行四边形，

∴A1F∥BM.

而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.

而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC.

∴四边形F1MBC为平行四边形，

∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.

同理取A1D1的中点N，连结DN，E1N，则A1N綊DE，200

∴四边形A1NDE为平行四边形，∴A1E∥DN.

又E1N∥CD，且E1N＝CD，

∴四边形E1NDC为平行四边形，

∴DN∥CE1，∴A1E∥CE1.

∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行．

即A1E∥CE1，A1F∥CF1，∴∠EA1F＝∠E1CF1.

运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．

[再练一题]

3．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．

图1－2－21

（1）求证：

四边形MNA1C1是梯形；

（2）求证：

∠DNM＝∠D1A1C1.

【导学号：

41292021】

【证明】　

（1）在△ADC中，

∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN是△ADC的中位线．

∴MN綊

AC.

由正方体性质知，AC綊A1C1，

∴MN綊

A1C1，即MN≠A1C1.

∴四边形MNA1C1是梯形．

（2）由

（1）可知MN∥A1C1，

又因为ND∥A1D1，

而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1.

1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．

【解析】　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．

【答案】　平行或异面

2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________．

【解析】　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线．

【答案】　相交或异面

3．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是________.

【导学号：

41292022】

【答案】　平行或相交或异面

4．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.

【解析】　∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，

∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，

∴∠B＝70°或110°.

【答案】　70°或110°

5．如图1－2－22，已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2

，AD＝2

，AA′＝2.

图1－2－22

（1）BC和A′C′所成的角是多少度？

（2）AA′和BC′所成的角是多少度？

【解】　

（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．

在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2

，B′C′＝2

，所以∠B′C′A′＝45°.

（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．

在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2

，BB′＝AA′＝2，

所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.

因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.