中考数学第二轮复习专题最值问题.docx

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中考数学第二轮复习专题最值问题

中考数学第二轮复习专题最值

问题

一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：

（一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：

2）点A、B在直线同侧：

A、

A'是关于直线m的对称点。

A'

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使

（1）

PA+PQ+QB最小。

两个点都在直线外侧：

2）

一个点在内

3）

两个

A

P

Q'

B侧，

一个点在外侧：

点都在内侧：

m

n

Q

B'

m

Q

B'

E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则

3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．

第1题第2题第3题第4题

4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，

BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为5．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为

AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为．第5题

6．已知A（－2，3），B（3，1），P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为若PA—PB长度最大，则最大值为．

（4）、台球两次碰壁模型变式一：

已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线ADEB周长最短，则最短周长

D、

E点，使得围成的四边形

n、m分别上求点

变式二：

分别上求点

P、

已知点A位于直

Q点PA+PQ+QA周长最短.

m,n的内侧,在直线m、n

线

A"

练习题：

1．如图，∠OB上的动点，则△PQR周长的最小值为

AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，

A（2，

2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为

1）

设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：

是否存在这样的点长最短？

若存在，请求出m＝，n＝（不必写解答过程）；

－3），

M（m，

0），N（0，n）,使四边形ABMN的周若不存在，请说明理由．

中考赏析：

1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，

AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景

区运送游客．小民设计了两种方案，图

（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到

A、B的距离之和S1＝PA＋PB，图

（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA＋PB．

（1）求S1、S2，并比较它们的大小；

（2）请你说明S2＝PA＋PB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直

线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

－x＋3和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一

线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某

（二）、一个动点，一个定点：

（一）动点在直线上运动：

点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图

中画出点P和点B）

1、两点在直线两侧：

A

A

m

2、两点在直线同侧：

（二）动点B

PA+PB最小（在图中画出点P和点1、点与圆在直线两侧：

O

2、点与圆在

m

直线同侧：

O

O

B

（三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线

m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。

（原理用平移知识解）

（1）点A、B在直线m两侧：

P

A'

PQ

Qm

过A

交直线

（2）

点作AC∥m,且AC长等于

m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

点A、B在直线m同侧：

PQ长，连接BC,

练习题

PQ

B'

2、如图的平分线交

1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠

BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则

BAC=45°，∠BAC

BM+MN的最小值为

BC于D，M、N分别是AD和

11、如图，正方形

12、如图6所示，已知正方形

边上的中线,M是AD上的

ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是

ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则

DN+MN的最小值为

13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．

14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．

15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．

16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为（）

（A）2（B）（C）1（D）2

解答题

1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x

轴上求一点P，使PA+PB最小.

2

2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2

2

（x1

点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．

1）求此二次函数的解析式；

2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；

（3）在x轴上有一动点M，当

MQ+MA取得最小值时

，求

M点的坐标．

6/14

3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为求点B的坐标；求过点A、O、B的抛物线的解析式；在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点请说明理由；

1，），△AOB的面积是

（1）

（2）

（3）若不存在，

C，使△AOC的周长最小？

若存在，

求出点C的坐标；

4．如图，抛物线y＝x2－x＋3和y轴的交点为若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点

的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长．

A，M为OA的中点，x轴上的某点（设为点

A，求使点P运动

过点B作BD⊥BC，交OA于点D．

x轴的正半轴于点E和F．求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；当BE经过

（1）中抛物线的顶点时，求在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点

OC=3，正半轴、

（1）

（2）

（3）

最小，求出P、Q两点的坐标．

图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的

CF的长；

Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长

6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．

x轴、y轴的正半

F的坐标.

7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在

轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、

1、在一条直线m上，求一点P，使

（1）点A、B在直线m同侧：

直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三

—P'B

（2）点A、B在直线m异侧：

A

B'

m

P'P

解析：

过B作关于直线m的对称点B',连接AB'交点直线m于P,此时PB=PB'，PA-PB最大值为AB'.

练习题

1.直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是

2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：

（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？

（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？

3.如图，抛物线y＝－x2－x＋2的顶点为A，与y轴交于点B．

（1）求点A、点B的坐标；

（2）若点P是x轴上任意一点，求证：

PA－PB≤AB；

（3）当PA－PB最大时，求点P的坐标.

A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．

5、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（－4，－1）和（－2，－5）；点P是y轴上的一个动点，

⑴点P在何处时，PA＋PB的和为最小？

并求最小值。

6.如图，直线y＝－x＋2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D．

（1）求点D的坐标；

P，使线段PO与PD之差的值最

（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点大？

若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．

7、抛物线的解析式为

⑴在其对称轴上是否存在一点

⑵在其对称轴上是否存在一点

，交x轴与A与B,交y轴于C，P，使⊿APC周长最小，若存在，求其坐标。

Q，使∣QB—QC∣的值最大，若存在求其坐标。

△MBC沿x

轴的负

方向

平

移

OC的

长度

后

得

（1）

试直

接

写

出

点

D

的

（2）已知点B与点

D在经过原点的抛物线上，

点

P在第

一象限内的该抛物线上移动，

过点

于点

Q

连

接

①若以O、P

、Q为顶

点的三

角

形与△DAO相

似，试

求

出点

8、已知：

如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点

②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点

T，使得|TO-TB|的值最大？

M，连接MC，把到△DAO．坐标；

P作PQ⊥x轴OP．

P的坐标；

9、如图，

已知抛物线

C1的解析式为

y=-x2+2x+8，图象与

y轴交于

D点

，并且

顶点

A在双曲线

上．

（

1

）求

过顶

点

A的

双曲

线解析

式；

（2）

若开口向上的抛物线

C2与C1的形状、大小完全相同，并且

C2的顶点

P始终在C1上，证明：

抛物线

C2

一

定

经

过

A点

；

（3）

设

（2）中的抛物线

C2的对称轴

PF与x轴交于F点，且与双曲线交于

E点，当D、O、E、F四点组成

的四边形的面积为16.5时，先求出P点坐标，并在直线y=x上求一点M，使|MD-MP|的值最大．

3）若点D是第二象限内点，以

10、如图,已知抛物线

（1）.求此抛

一交点为C，求点C关于直线

经过A（3，0），B（0，4），物线解析式AB的对称点C'的坐标

D为圆心的圆分别与

x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H，问在抛

物线的对称轴上是否存在一点一点

P，使得|PH－PA|的值最大？

若存在，求出该最大值；若不存在，请

说明理由。

好题赏析：

ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

1）求证：

△AMB≌△ENB；

2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

3）当AM＋BM＋CM的最小值为＋1时，求正方形的边长．

B到原点的最大距离是

变式：

如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（）

①若菱形ABCD的边长为1，则AM＋CM的最小值1；

②△AMB≌△ENB；

③S四边形AMBE=S四边形ADCM；④连接AN，则AN⊥BE；⑤当AM＋BM＋CM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2．

A．①②③B．②④⑤C．①②⑤

三、其它非基本图形类线段和差最值问题

1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动

时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点（）

2、

C．

A．

B．

已知:

在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:

（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=；

（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=；

（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度

3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=

.点D在边AC上（不与

A，C重合），连结BD，F为BD中点.

1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1

求证：

BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，长度的最大值．

4、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：

△AMB≌△ENB；

⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

5、如图，二次函数y=-x2+bx+c与x轴交于点B和点A（-1，0），与y轴交于点C，与一次函数y=x+a交于点A和点D．

（1）求出a、b、c的值；

（2）若直线AD上方的抛物线存在点E，可使得△EAD面积最大，求点E的坐标；（3）点F为线段AD上的一个动点，点F到

（2）中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标．