中考数学第二轮复习专题最值问题.docx

1、中考数学第二轮复习专题最值问题中考数学第二轮复习专题最值问题一、两条线段和的最小值。 基本图形解析 ： （一）、已知两个定点： 1、在一条直线 m上，求一点 P，使 PA+PB 最小； （ 1）点 A 、 B 在直线 m 两侧：2）点 A 、B 在直线同侧：A、A是关于直线 m 的对称点。A2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使（1）PA+PQ+QB 最小。两个点都在直线外侧：2）一个点在内3）两个APQB 侧，一个点在外侧：点都在内侧：mnQBmQBE 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点则 PB+PE 的最小值是 B、C 在 O 上，OAOB，AOC=60， P 是 OB 上一

2、动点，则3如图，在锐角 ABC中， AB 42， BAC45， BAC的平分线交 BC于点 D，M、N分别是 AD和 AB上的动点，则 BM+MN 的最小值是 第 1题 第 2题 第3题 第 4题4如图，在四边形 ABCD 中， ABC 90， AD BC，AD 4，AB 5，BC6，点 P是 AB上一个动点，当 PCPD的和最小时， PB的长为 5如图， MN是半径为 1的 O的直径，点 A在 O上， AMN 30，B为AN 弧 的 中 点 ， P 是 直 径 MN 上 一 动 点 ， 则 PA PB 的 最 小 值 为 第5题6已知 A（2，3），B（3，1），P点在 x轴上，若 PAPB

3、 长度最小，则最小值为 若 PAPB 长度最大，则最大值为 （ 4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点 A 、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 ADEB 周长最短，则最短周长D、E 点，使得围成的四边形n、 m 分别上求点变式二： 分别上求点P、已知点 A 位于直Q点 PA+PQ+QA 周长最短 .m,n 的内侧 , 在直线 m、 n线A练习题： 1如图， OB 上的动点，则 PQR 周长的最小值为AOB=45 ， P 是 AOB 内一点， PO=10，A(2，2如图，已知平面直角坐标系， A，B 两点的坐标分别为1）设 M，N分别为 x轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点 长最短

4、？若存在，请求出 m ，n （不必写解答过程）； 3 ），M(m，0），N（0，n）,使四边形 ABMN 的周 若不存在，请说明理由中考赏析：1著名的恩施大峡谷（ A ）和世界级自然保护区星斗山（ B ）位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB=50km 、B到直线 X的距离分别为 10km和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向 A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（ 1）是方案一的示意图（ AP 与直线 X 垂直，垂足为 P），P 到A、B 的距离之和 S1 PA PB，图（ 2）是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A，连接 BA交 直线 X于点 P）， P

5、到 A、B的距离之和 S2PAPB（ 1）求 S1、 S2，并比较它们的大小；（2）请你说明 S2 PAPB 的值为最小；（ 3）拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（ 3）所示的直角坐标系， B 到直线 Y的距离为 30km，请你在 X旁和 Y旁各修建一服务区 P、Q，使 P、A、B、Q 组成的四边形的周长最 小并求出这个最小值x3和y轴的交点为 A，M为 OA的中点，若有一线运动到 x 轴上的某点（设为点 E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某（二）、一个动点，一个定点：（一） 动点 在直线上运动：点 B在直线 n上运动，在直线 m上找一点 P，使 PA+PB 最

6、小（在图中画出点 P 和点 B）1、两点在直线两侧：AAm2、两点在直线同侧：（二）动 点BPA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 1、点与圆在直线两侧：O2、点与圆在m直线同侧：OOB（三） 、已知 A 、B 是两个定点， P、Q 是直线m 上的两个动点， P在 Q的左侧,且 PQ间长度恒定 ,在直线 m上要求 P、Q两 点，使得 PA+PQ+QB的值最小。 （原理用平移知识解 ）（1）点 A、B 在直线 m 两侧：PAPQQm过A交直线（2）点作 AC m,且 AC 长等于m于 Q,Q向左平移 PQ长，即为 P点，此时 P、 Q即为所求的点。 点 A、B 在直线 m 同侧：PQ长，连接

7、BC,练习题PQB2、 如图 的平分线交1，在锐角三角形 ABC中， AB=4 , BC于点 D， M,N分别是 AD和 AB上的动点，则BAC=45， BACBM+MN的最小值为BC 于 D，M 、N 分别是 AD 和11、如图，正方形12 、 如图 6 所示，已知正方形边上的中线 ,M 是 AD上的ABCD的边长为 2，E为AB的中点， P是AC上一动点则 PB+PE的最小值是ABCD的边长为 8，点 M在 DC上，且 DM=2， N 是 AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为13、如图，正方形 ABCD 的边长是 2， DAC 的平分线交 DC于点 E，若点 P、Q分别是 AD 和 A

8、E 上的 动点，则 DQ+PQ 的最小值为 14、如图 7，在边长为 2cm的正方形 ABCD中，点 Q为 BC边的中点，点 P 为对角线 AC上一动点，连接 PB、 PQ，则 PBQ周长的最小值为 cm（结果不取近似值）15、如图， O 的半径为 2，点 A、B、C 在O 上， OAOB， AOC =60， P 是 OB 上一动点，则 PA+PC 的最小值是 16、如图 8，MN是半径为 1的 O的直径，点 A在 O上， AMN 30， B为 AN弧的中点， P是直径 MN 上一动点，则 PA PB的最小值为 （ ）（A）2 （B） （C）1 （D）2解答题1、如图 9，正比例函数 y= x

9、 的图象与反比例函数 y= （k 0）在第一象限的图象交于 A 点，过 A点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知三角形 OAM的面积为 1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 B与点 A 不重合），且 B点的横坐标为 1，在 x轴上求一点 P，使 PA+PB最小 .22 、如图，一元二次方程 x 2 +2x-3=0 的二根 x1， x22（ x 1 x 2）是抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点 B， C 的横坐标，且此抛物线过点 A（ 3 ， 6 ）1）求此二次函数的解析式；2）设此抛物线的顶点为 P，对称轴与 AC相交于点 Q，求

10、点 P 和点 Q的坐标；（ 3）在 x 轴上有一动点 M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标6 / 143、如图 10，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 求点 B 的坐标； 求过点 A、O、B 的抛物线的解析式； 在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点 请说明理由；1， ） ， AOB的面积是（1）（2）（3） 若不存在，C，使 AOC的周长最小？若存在，求出点 C 的 坐标；4如图，抛物线 y x2 x3 和 y 轴的交点为 若有一动点 P，自 M 点处出发，沿直线运动到 E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F ），最后又沿直线运动到点的总路程最短的点 E，点 F 的

11、坐标，并求出这个最短路程的长A，M 为 OA 的中点， x 轴上的某点（设为点A，求使点 P 运动过点 B 作 BDBC，交 OA 于点 Dx 轴的正半轴于点 E 和 F 求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； 当 BE 经过（ 1）中抛物线的顶点时，求 在抛物线的对称轴上取两点 P、Q （点OC=3， 正半轴、（1）（2）（3）最小，求出 P、 Q 两点的坐标图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC 的边 在 y 轴的正半轴上， OC 在 x 轴的正半轴上， OA=AB=2 ， 将 DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的CF 的长；Q 在点 P 的上

12、方），且 PQ 1，要使四边形 BCPQ 的周长6如图，已知平面直角坐标系， A，B 两点的坐标分别为 A（2， 3），B（4，1）若 C（a，0），D（a+3，0） 是 x 轴上的两个动点，则当 a 为何值时，四边形 ABDC 的周长最短x 轴、 y 轴的正半F 的坐标 .7、如图 11，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O在坐标原点，顶点 A、B 分别在轴上， OA=3，OB=4，D为边 OB的中点 .（1）若 E 为边 OA上的一个动点，当 CDE的周长最小时，求点 E的坐标；（2）若 E、F 为边 OA上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF的周长最小时，求点 E、1、在一条直线

13、 m 上，求一点 P，使（ 1）点 A 、 B 在直线 m 同侧：直线 m 于点 P，根据三角形两边之差小于第三 PB AB ，而 PAPB=AB 此时最大，因此点 P 为所求的点。 （ 2）点 A 、 B 在直线 m 异侧：ABmP P解析：过 B 作关于直线 m 的对称点 B,连接 AB 交点直线 m于 P,此时 PB=PB ， PA-PB 最大值为 AB .练习题1.直线 2x-y-4=0 上有一点 P，它与两定点 A（4，-1）、 B（3，4）的距离之差最大，则 P点的坐标 是2.已知 A 、B两个村庄的坐标分别为（ 2，2），（7，4），一辆汽车（看成点 P）在 x轴上行驶试确定 下

14、列情况下汽车（点 P）的位置：（1）求直线 AB 的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到 A、B 两村距离之差最大？（2）汽车行驶到什么点时，到 A、B 两村距离相等？3.如图，抛物线 y x 2x 2的顶点为 A，与 y 轴交于点 B （1） 求点 A、点 B 的坐标；（2）若点 P是 x轴上任意一点，求证： PAPBAB；（3）当 PA PB最大时，求点 P 的坐标 .A、E两点，与 x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 （1，0）（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）在抛物线的对称轴上找一点 M ，使|AM MC|的值最大，求出点 M 的坐标5、在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（

15、 4， 1）和（ 2，5）；点 P是 y 轴上的一个动点，点 P在何处时， PAPB 的和为最小？并求最小值。6. 如图，直线 y x2与x轴交于点 C，与 y轴交于点 B， 点 A 为 y 轴正半轴上的一点， A 经过点 B 和点 O ，直线 BC 交 A 于点 D （ 1）求点 D 的坐标；P，使线段 PO 与 PD 之差的值最（ 2）过 O，C， D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 大？若存在，请求出这个最大值和点 P 的坐标若不存在，请说明理由7、抛物线的解析式为在其对称轴上是否存在一点在其对称轴上是否存在一点，交 x 轴与 A 与 B,交 y 轴于 C， P，使 APC

16、 周长最小，若存在，求其坐标。 Q，使 QB QC的值最大，若存在求其坐标。 MBC 沿 x轴的负方向平移OC 的长度后得（1）试直接写出点D的（ 2）已知点 B 与点D 在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点于点Q连接 若 以 O 、 P、 Q 为 顶点的三角形 与 DAO 相似，试求出点8、已知：如图，把矩形 OCBA 放置于直角坐标系中， OC=3， BC=2，取 AB 的中点试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得 |TO-TB| 的值最大？M ，连接 MC ，把 到 DAO 坐标；P作 PQx 轴 OP P 的 坐 标 ；9、如图，已知抛物线C1的解析式为y=

17、-x 2+2x+8，图象与y 轴交于D点，并且顶点A 在 双 曲 线上（1）求过顶点A的双曲线解析式；（2）若开口向上的抛物线C2与 C1 的形状、大小完全相同，并且C2的顶点P 始终在 C1 上，证明：抛物线C2一定经过A点；（3）设（ 2）中的抛物线C2的对称轴PF与 x 轴交于 F 点，且与双曲线交于E点，当 D、O、E、F 四点组成的四边形的面积为 16.5 时，先求出 P 点坐标，并在直线 y=x 上求一点 M，使 |MD-MP|的值最大3） 若点 D 是第二象限内点，以10、如图,已知抛物线（1）.求此抛一 交 点 为 C ， 求 点 C 关 于 直 线经 过 A（3 ， 0） ，

18、 B（0 ， 4） ， 物线解析式 AB 的 对 称 点 C 的 坐 标D 为圆心的圆分别与x 轴、 y 轴、直线 AB 相切于点 E、F、 H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得 | PH PA| 的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。好题赏析：ABCD 内的一点，求 PA PBPC 的最小值ABE 是等边三角形， M为对角线 BD（不含 B点）上任意 将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM 1）求证： AMB ENB；2）当 M点在何处时， AMCM 的值最小；当 M点在何处时， AM BM CM 的值最小，并说明理由；3）当 AM

19、 BM CM 的最小值为 1 时，求正方形的边长B 到原点的最大距离是变式： 如图四边形 ABCD 是菱形，且 ABC60， ABE是等边三角形， M 为对角线 BD（不含 B点）上 任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是 （） 若菱形 ABCD 的边长为 1，则 AM CM 的最小值 1； AMB ENB； S 四边形 AMBE=S 四边形 ADCM ；连接 AN，则 AN BE； 当AM BM CM的最小值为 2时，菱形 ABCD 的边长为 2A B C三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该

20、条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知 的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到 线的距离垂线段最短的基本依据解决。1、如图，在 ABC中， C=90，AC=4，BC=2，点 A、C分别在 x 轴、y 轴上，当点 A在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 （）2、CAB已知 : 在 ABC中， BC=a，AC=b，以 AB为边作等边三角形 ABD. 探究下列问题 :（1）

21、如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB的两侧时， a=b=3，且 ACB=60，则 CD= ；（2）如图 2，当点 D 与点 C 位于直线 AB的同侧时， a=b=6，且 ACB=90，则 CD= ；（3）如图 3，当 ACB变化, 且点 D与点 C位于直线 AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的 ACB的度3、在 RtABC 中， ACB=90， tan BAC =. 点 D在边 AC上（不与A， C重合），连结 BD，F为 BD中点.1 ） 若 过 点 D 作 DE AB 于 E ， 连 结 CF 、 EF 、 CE ， 如 图 1求证： BE-DE=2CF ；（3）若 BC=6，点

22、 D 在边 AC的三等分点处，将线段 AD 绕点 A旋转，点 F始终为 BD 中点， 长度的最大值4、如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形， M为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM. 求证： AMB ENB； 当 M点在何处时， AM CM的值最小；当 M点在何处时， AM BMCM的值最小，并说明理由； 当 AM BMCM的最小值为 时，求正方形的边长 .5、如图，二次函数 y=-x 2+bx+c 与 x 轴交于点 B 和点 A（-1，0），与 y 轴交于点 C ，与一次函数 y=x+a 交 于 点 A 和 点 D （ 1 ） 求 出 a 、 b 、 c 的 值 ； （2） 若直线 AD 上方 的 抛 物线存 在点 E， 可使得 EAD 面 积最大 ，求 点 E 的坐 标； （3）点 F 为线段 AD 上的一个动点，点 F到（ 2）中的点 E 的距离与到 y 轴的距离之和记为 d， 求 d 的最小值及此时点 F 的坐标