秋九年级数学上册第1章二次函数专题训练巧用抛物线对称性解题新版浙教版.docx

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秋九年级数学上册第1章二次函数专题训练巧用抛物线对称性解题新版浙教版

　巧用抛物线对称性解题

►　类型之一　二次函数与三角形的综合

图3－ZT－1

1．如图3－ZT－1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D（0，1），P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________．

2．如图3－ZT－2，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，求过点B，C，E的抛物线的函数表达式．

图3－ZT－2

3．如图3－ZT－3，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连结AB，AC，BC.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）判断△ABC的形状．

图3－ZT－3

4．如图3－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－1，0），B（5，0）两点，已知C（0，5），M为它的顶点．

（1）求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；

（2）求△MAB的面积；

（3）求△MCB的面积．

图3－ZT－4

5．如图3－ZT－5，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；

（3）设

（1）中的抛物线上有一个动点P，且点P在x轴上方．若S△PAB＝8，请求出此时点P的坐标．

图3－ZT－5

6．如图3－ZT－6，一小球从斜坡上点O抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝－x2＋4x刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象最高点P的坐标；

（2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连结抛物线的最高点P与点O，A得△POA，求△POA的面积；

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（点M与点P不重合），使△MOA的面积等于△POA的面积，请直接写出点M的坐标．

图3－ZT－6

►　类型之二　二次函数与特殊四边形的综合

图3－ZT－7

7．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC（如图3－ZT－7），使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）

A．－B．－C．－2D．－

8．如图3－ZT－8，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．

图3－ZT－8

图3－ZT－9

9．二次函数y＝x2的图象如图3－ZT－9，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为__________．

10．如图3－ZT－10，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－x＋2过点B（1，0）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标；

（3）以AC为边在第二象限画正方形ACPQ，求P，Q两点的坐标．

图3－ZT－10

11．如图3－ZT－11，已知抛物线y＝－x2－x＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.

（1）求点A，B，C的坐标．

（2）E是此抛物线上的点，F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积．

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图3－ZT－11

详解详析

1．（1＋，2）或（1－，2）

[解析]∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，

∴点P在线段CD的垂直平分线l上．

如图，作CD的垂直平分线交抛物线于点P1，P2，交y轴于点E，则E为线段CD的中点．

∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，

∴C（0，3），而D（0，1），∴点E的坐标为（0，2），

∴点P的纵坐标为2.

在y＝－x2＋2x＋3中，令y＝2，可得－x2＋2x＋3＝2，解得x＝1±，

∴点P的坐标为（1＋，2）或（1－，2）．

2．解：

如图，过点D作DG⊥x轴于点G.

∵OA＝8，AC＝AB＝10，

∴A（0，－8），BO＝OC＝6，

∴B（6，0），C（－6，0）．

∵S△COE＝S△ADE，

∴S△CBD＝S△AOB＝×8×6＝24，

∴×BC×＝24，解得＝4，

∴D为AB的中点，∴D（3，－4）．

联合C点坐标可求得直线CD的函数表达式为y＝－x－，

∴E.

设过B，C，E三点的抛物线的函数表达式为y＝a（x＋6）（x－6），

将E代入，得a＝，

∴过点B，C，E的抛物线的函数表达式为y＝（x＋6）（x－6）＝x2－.

3．解：

（1）把A（3，0），B（4，1）代入y＝ax2＋bx＋3中，得

解得

∴该二次函数的表达式为y＝x2－x＋3.

（2）△ABC是直角三角形．

理由：

过点B作BD⊥x轴于点D，

易知点C的坐标为（0，3），∴OA＝OC，

∴∠OAC＝45°.

又∵点B的坐标为（4，1），

∴AD＝BD，

∴∠DAB＝45°，

∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，

∴△ABC是直角三角形．

4．解：

（1）∵A（－1，0），B（5，0），

∴可设表达式为y＝a（x＋1）（x－5）．

将C（0，5）代入，得a＝－1，

∴抛物线的函数表达式为y＝－（x＋1）（x－5）＝－x2＋4x＋5.

∴M（2，9）．

（2）S△MAB＝AB·＝×6×9＝27.

（3）过点M作MD⊥y轴于点D，

则S△MCB＝S梯形MDOB－S△DCM－S△COB＝×（2＋5）×9－×2×4－×5×5＝15.

5．解：

（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，

∴方程x2＋bx＋c＝0的两根为x＝－1或x＝3，

∴－1＋3＝－b，－1×3＝c，

∴b＝－2，c＝－3，

∴该抛物线的函数表达式是y＝x2－2x－3.

（2）∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－4）．

（3）设点P的纵坐标为yP，

∵S△PAB＝8，

∴AB·|yP|＝8.

∵AB＝3＋1＝4，

∴|yP|＝4，

∴yP＝±4.

∵点P在x轴上方，

∴yP＝4.

把yP＝4代入表达式，得4＝x2－2x－3，

解得x＝1±2，

∴点P的坐标为（1＋2，4）或（1－2，4）．

6．解：

（1）∵y＝－x2＋4x＝－（x2－4x）＝－（x2－4x＋4）＋4＝－（x－2）2＋4，

∴最高点P的坐标为（2，4）．

（2）点A的坐标满足方程组

解得或

∴点A的坐标为.

（3）如图，过点P作PB⊥x轴交OA于点B，则点B的坐标为（2，1），∴PB＝3，

∴S△POA＝S△OPB＋S△APB＝×3×2＋×3×＝.

（4）如图，过点P作PM∥OA交抛物线于点M，连结OM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的函数表达式为y＝x＋b，

∵直线PM过点P（2，4），

∴×2＋b＝4，解得b＝3，

∴直线PM的函数表达式为y＝x＋3.

根据题意，可列方程组

解得或

∴点M的坐标为.

7．D　[解析]如图，过点B作BE⊥x轴于点E，连结OB.

依题意得∠AOE＝75°，

∠AOB＝45°，

∴∠BOE＝30°.

∵OA＝1，∴OB＝.

∵∠OEB＝90°，

∴BE＝OB＝，∴OE＝，

∴点B的坐标为.

将其代入y＝ax2（a＜0），得a＝－.

故选D.

8．－2　[解析]连结BC，与AO交于点D.

观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a<0，c>0.

由图象可知，点A是抛物线的顶点，设点A的坐标为（0，c），则OA＝c，

∵四边形ABOC是正方形，

∴AO＝BC，AD＝OD，△ABD，△ACD是等腰直角三角形，

∴AD＝OD＝.

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴BD＝.

∵BD＝，OD＝，

∴点B的坐标为（－，）．

将点B的坐标代入二次函数表达式y＝ax2＋c，可得＝a＋c，

整理，得ac＝－2.

9．2　[解析]连结BC交OA于点D.

∵四边形OBAC为菱形，

∴BC⊥OA.

∵∠OBA＝120°，∴∠OBD＝60°，

∴OD＝BD.

设BD＝t，则OD＝t，

∴B.

把B（t，t）代入y＝x2，得t＝t2，

解得t1＝0（舍去），t2＝1.

∴BD＝1，OD＝，

∴BC＝2BD＝2，OA＝2OD＝2，

∴菱形OBAC的面积为×2×2＝2.

10．解：

（1）将B（1，0）代入y＝ax2－x＋2，得a－＋2＝0，∴a＝－，

∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－x＋2.

（2）当y＝0时，－x2－x＋2＝0，

解得x1＝1，x2＝－3.

当x＝0时，y＝2，

∴抛物线与x轴的另一交点A的坐标为（－3，0），与y轴的交点C的坐标为（0，2）．

（3）如图，过点P，Q分别作PH⊥y轴，QG⊥x轴，H，G分别为垂足．

∵四边形ACPQ是正方形，

∴易知△AOC≌△QGA≌△CHP，

∴AO＝QG＝CH＝3，OC＝GA＝HP＝2，

∴P（－2，5），Q（－5，3）．

11．解：

（1）当x＝0时，y＝2，

∴C（0，2）．

当y＝0时，－x2－x＋2＝0，

解得x1＝－4，x2＝2，

∴B（－4，0），A（2，0）．

（2）易得对称轴为直线x＝－1.

当AB为对角线时，如图①，

图①

由点F的横坐标为－1，易知点E的横坐标也是－1，

∴E（－1，），

∴▱AEBF的面积为AB×××2＝；

当AB为边时，如图②，

图②

∵AB＝6，∴EF＝6，

∴E（5，－）或E′（－7，－），

∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积为AB×＝6×＝.

综上，以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积为或.

（3）存在，设点M的坐标为（－1，t）．

∵A（2，0），C（0，2），

∴AC＝2，MC＝，AM＝.

①当AC＝MC时，2＝，

解得t＝2±，

即M（－1，2＋）或M（－1，2－）；

②当MC＝AM时，＝，解得t＝－1，即M（－1，－1）；

③当AC＝AM时，2＝，此方程无解．

综上，此抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标为（－1，2＋）或（－1，2－）或（－1，－1）．