等腰三角形综合讲义无答案.docx

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等腰三角形综合讲义无答案

等腰三角形综合

知识点：

1、等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边平分线、底边上的高重合（三线合一）。

2、等腰三角形的判定：

如果一个三角形只有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（简称“等角对等边”）

3、等边三角形的性质：

等边三角形的三条边都相等；三个角都相等，且都等于60度。

4、等边三角形的判定：

（1）两条边相等的等腰三角形是等边三角形．

（2）有两个角等于60°的三角形是等边三角形．

（3）有一个是60°的等腰三角形是等边三角形．

5、直角三角形中30°角对的边等于斜边的一半。

等腰直角三角形（正方形）

AB=AC、CE=AE=EB、∠A=∠B=∠1=∠2=45°

黄金三角形

顶角为36°的等腰三角形

性质：

底角的角平分线把三角形分成两个等腰三角形

等腰三角形的构造

1.等腰三角形+平行线

2.角平分线+平行线

等腰三角形的存在性的确定

如下图1、图2，在直线L上找一点P使△ABP为等腰三角形。

图1图2

【主要数学思想】

分类思想：

主要用于等腰三角形；

方程思想：

主要用于计算边和角；

化归思想：

主要用于把梯形问题转化为三角形来处理。

建模思想：

主要用于建立等腰三角形模型

题型一：

等腰三角形的性质和判定综合应用

【典型例题】

例1．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．

例2：

（2017•青岛）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对应点B1的坐标为（）

A．（﹣4，2）B．（﹣2，4）C．（4，﹣2）D．（2，﹣4）

例3：

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为．

例4：

如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）

（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；

（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

例5：

如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）

A．1区B．2区C．3区D．4区

题型二：

旋转与几何综合

【例题精讲】

例1：

如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（）

例2：

如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）

A．∠ABD=∠EB．∠CBE=∠CC．AD∥BCD．AD=BC

例3：

如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=，度．

例4：

如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：

①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论是（填序号）

专题1：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半应用

1如图1，在△ABC中，CF⊥AB，BE⊥AC，M、N分别是BC与EF的中点，试说明：

MN⊥EF

图1图2

2如图2，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（）

A．21　　　B．18　　　C．13　　　D．15

3.如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别AC、BD的中点．求证：

MN⊥BD．

4.如图，CD、CF分别是△ABC的角平分线和外角平分线，且CD⊥AB，取AC中点E，连接DE交CF于点F，求证DE=EF.

专题2：

在直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半

1.（2015秋•宜春校级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE=2cm，则BC=______cm．

2.（2014秋•兴化市校级月考）如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，DE=4，则BE=______．

3.如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=15°，∠BAD=60°．若CD=1，求AB的长度______．

专题3：

等腰三角形的高

1.在△ABC中，AB＝AC，P是直线BC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，BD⊥AC于点D.

（1）如图1，当点P在线段BC上时，试说明PE、PF、BD的关系并证明。

（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，试说明PE、PF、BD的关系并证明。

2.（太仓期中）△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE、DF、BN三者的数量关系为；

【变式训练】

1.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）

A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠B

C．∠B′CA=∠B′ACD．B′C平分∠BB′A′

2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（）

A．（5，0）B．（8，0）C．（0，5）D．（0，8）

3.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是．

4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为．

等腰三角形的存在性问题解题策略

专题攻略

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：

分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：

罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

例题解析

例❶如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为（3,4），点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．

图1-1

例❷如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

图2-1

例❸如图3-1，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．

图3-1

例❹如图4-1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0,m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．当△APD是等腰三角形时，求m的值．

图4-1

例❺如图5-1，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，如果△ADE为等腰三角形，求x的值．

课后习题

一、夯实基础

1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平

分线交于点E，过点

E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为（　　）

A．6B．7C．8D．9

2．若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　）

A．20°B．50°C．60°D．80°

3．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝______度．

4、如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△

ABD的周长是（　　）

A．22cmB．20cmC．18cmD．15cm

二、能力提升

5．如图，坐标平面内有一点A（2，－1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

6．如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（　　）

A．AB中点B．BC中点C．AC中点

D．∠C的平分线与AB的交点

7．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（　　）

A．9B．8C．7D．6

8．如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝（　　）

A．125°

B．130°C．90°D．120°

三、课外拓展

9．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于__________．

10．如图，已知△A

BC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．

11．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是__________．

四、中考链接

12.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.

求证：

（1）BC＝AD；

（2）△OAB是等腰三角形．

13.已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．

求证

：

（1）△AEF≌△CDE；

（2）△ABC为等边三角形．

14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

15.如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：

①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）；

（2）选择第

（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．