等腰三角形综合讲义无答案.docx

1、等腰三角形综合讲义无答案等腰三角形综合知识点：1、等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等。(2)等腰三角形的顶角平分线、底边平分线、底边上的高重合（三线合一）。2、等腰三角形的判定：如果一个三角形只有两个角相等，那么这两个角所对的边相等(简称“等角对等边”)3、等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等；三个角都相等，且都等于60度。4、等边三角形的判定： (1)两条边相等的等腰三角形是等边三角形(2)有两个角等于60的三角形是等边三角形(3)有一个是60的等腰三角形是等边三角形5、直角三角形中30角对的边等于斜边的一半。等腰直角三角形（正方形） AB=AC、CE=AE=EB、A=B

2、=1=2=45黄金三角形顶角为36的等腰三角形性质：底角的角平分线把三角形分成两个等腰三角形等腰三角形的构造1.等腰三角形+平行线2.角平分线+平行线等腰三角形的存在性的确定如下图1、图2，在直线L上找一点P使ABP为等腰三角形。 图1 图2【主要数学思想】分类思想：主要用于等腰三角形；方程思想：主要用于计算边和角；化归思想：主要用于把梯形问题转化为三角形来处理。建模思想：主要用于建立等腰三角形模型题型一：等腰三角形的性质和判定综合应用【典型例题】例1在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足为D，过D作DEAC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长 例2：（2017青岛）如图，若将ABC绕

3、点O逆时针旋转90，则顶点B的对应点B1的坐标为（ ） A（4，2） B（2，4） C（4，2） D（2，4）例3：如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），BAC=90，AB=AC，直线AB交x轴于点P若ABC与ABC关于点P成中心对称，则点A的坐标为 例4：如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将ABC向左平移4个单位长度后得到的图形A1B1C1；（2）请画出ABC关于原点O成中心对称的图形A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标 例5：如图，网格纸上正方

4、形小格的边长为1图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段AB和点P，则点P所在的单位正方形区域是（ ） A1区 B2区 C3区 D4区题型二：旋转与几何综合【例题精讲】例1：如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60，得到正方形DEFG，此时点G在AC上，连接CE，则CE+CG=（ ） 例2：如图，将ABC绕点B顺时针旋转60得DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD下列结论一定正确的是（ ） AABD=E BCBE=C CADBC DAD=BC例3：如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到COD，若

5、AOB=15，则AOD= ， 度 例4：如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：BE=DG；BEDG；DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论是 （填序号）专题1：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半应用1如图1，在ABC中，CFAB，BEAC，M、N分别是BC与EF的中点，试说明：MNEF 图1 图22如图2，在ABC中，CFAB于点F，BEAC于点E，M为BC的中点，EF5，BC8，则EFM的周长是 ( )A21 B18 C13 D153. 如图3，在四边形ABCD中，ABCADC90，M、N分别AC、BD的中点求证：MNBD4.

6、如图，CD、CF分别是ABC的角平分线和外角平分线，且CDAB，取AC中点E，连接DE交CF于点F，求证DE=EF.专题2：在直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半1. （2015秋宜春校级期中）如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=120，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE=2cm，则BC=_cm2. （2014秋兴化市校级月考）如图，RtABC中ACB=90，DE垂直平分AC交AB于E，A=30，DE=4，则BE=_3. 如图，ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，C=15，BAD=60若CD=1，求AB的长度_专题3：等腰三角形的高1. 在ABC

7、中，ABAC，P是直线BC上任一点，PEAB于点E，PFAC于点F，BDAC于点D.（1）如图1，当点P在线段BC上时，试说明PE、PF、BD的关系并证明。（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，试说明PE、PF、BD的关系并证明。2. （太仓期中）ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DEAB于点E，DFAC于点F，BNAC于点N，则DE、DF、BN三者的数量关系为 ；【变式训练】1.如图，将ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B处，此时，点A的对应点A恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（ ） ABCB=ACA BACB=2BCBCA=BAC DBC平分BBA2.如

8、图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB，使点B的对应点B落在x轴的正半轴上，则点B的坐标是（ ）A（5，0） B（8，0） C（0，5） D（0，8）3.如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到COD，若AOB=15，则AOD的度数是 4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形ABCD若点B的对应点B落在边CD上，则BC的长为 等腰三角形的存在性问题解题策略专题攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边

9、画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验例题解析例 如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果DOP是等腰三角形，求点P的坐标图1-1例 如图2-1，在矩形ABCD中，AB6，BC8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动在P、Q两点移动的过程中，当

10、PQC为等腰三角形时，求t的值图2-1例 如图3-1，直线y2x2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果APQ是等腰三角形，求点P的坐标图3-1例 如图4-1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0, m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D当APD是等腰三角形时，求m的值图4-1例 如图5-1，已知ABC中，ABAC6，BC8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，ADEB设BD的长为x，如果ADE为等腰三角形，求x的值课后习题一、夯实基础1如图，在A

11、BC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BMCN9，则线段MN的长为()A6 B7 C8 D92若等腰三角形的顶角为80，则它的底角是()A20 B50 C60 D803如图，AEBD，C是BD上的点，且ABBC，ACD110，则EAB_度4、如图，ABC的周长为30 cm，把ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE4 cm，则ABD的周长是()A22 cm B20 cm C18 cm D15 cm二、能力提升5如图，坐标平面内有一点A(2，1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶

12、点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()A2 B3 C4 D56如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB1 000米，BC600米，AC800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在()AAB中点 BBC中点CAC中点 DC的平分线与AB的交点7在ABC中，B和C的平分线交于点F，过点F作DFBC，交AB于点D，交AC于点E，若BDCE9，则线段DE的长为()A9 B8 C7 D68如图，P，Q是ABC边BC上的两点，且QCAPAQBPPQ，则BAC()A125 B130 C90 D120三

13、、课外拓展9如图，在ABC中，BC8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则ADE的周长等于_10如图，已知ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CGCD，DFDE，则E_度11已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是_四、中考链接12.如图，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于O，ACBD.求证：(1)BCAD；(2)OAB是等腰三角形13. 已知，如图，延长ABC的各边，使得BFAC，AECDAB，顺次连接D，E，F，得到DEF为等边三角形求证：(1)AEFCDE；(2)ABC为等边三角形14. 如图，在RtABC中，C90，CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求B的度数15.如图所示，在ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD.(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形