六年级数学知识要点.docx
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六年级数学知识要点
六年级数学知识要点
一、数的整除
1、整数a除以整数b,除的商是整数而没有余数，a就是b倍数，b是a的约数。
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，一个数倍数的个数是无限的；一个数最大的约数是它本身，最小的约数是1，一个数约数的个数是有限的。
2、几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
几个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公倍数。
几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
3、较大数是较小数的倍数，较大数就是它们的最小公倍数，较小数就是它们的最大公因数。
4、互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
5、能被2整除的数叫做偶数，用2n表示，不能被2整除的数叫做奇数，用2n+1表示。
（n为自然数）。
相邻两个偶数（或奇数）相差2.
6、只有1和它本身两个因数的数叫做质数，除了1和它本身以外还有别的因数的数叫做合数。
1和0既不是质数也不是合数。
7、最小的自然数是0，最小的奇数是1，最小的质数是2，偶质数是2，最小的合数是4，最小的奇质数是3，最小的奇合数是9.
8、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，即能用2进行约分。
9、个位上是0或者5的数，都能被5整除，即能用5进行约分。
在约分时应注意利用
10、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
11、公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质，相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
二、几何知识
1、三角形按边分类：
不等边三角形，等腰三角形（等边三角形）。
按角分类：
锐角三角形，直角三角形、钝角三角形。
等边三角形的三个内角的度数都是60°，直角三角形的两锐角之和是90°。
三角形的内角和是180°。
一个三角形有三条高。
三角形具有稳定性。
2、四边形：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等。
内角和是360°。
一个平行四边形有无数条高。
（夹在平行线间的垂线段相等）
（2）有一个角是90°的平行四边形是长方形，长方形的四个角是90°，邻边互相垂直。
有两条对称轴。
（3）四边相等的长方形是正方形。
有4条对称轴。
（4）只有一组对边平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形。
3、圆：
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
画圆是两角间的距离就是圆的半径。
圆是轴对称图形，有无数条对称轴。
4、长方体的特征
六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
5、正方体的特征
六个面都是正方形六个面的面积相等12条棱，棱长都相等有8个顶点正方体可以看作特殊的长方体
6、圆柱的特征
圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高。
进一法：
实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。
这种取近似值的方法叫做进一法。
7、圆锥的特征
圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
测量圆锥的高：
先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
8、平行线：
同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
9、垂直：
两条直线相交成直角，像这样的两条直线，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
10、线和角
（1）线
直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
射线只有一个端点；长度无限。
线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。
平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
过直线外一点做已知直线的垂线（或平行线）只能做一条。
（2）角
（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
（2）角的分类锐角：
小于90°的角叫做锐角。
直角：
等于90°的角叫做直角。
钝角：
大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角：
角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。
平角180°。
周角：
角的一边旋转一周，与另一边重合。
周角是360°。
三、基本性质
1、除法的性质：
在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
O除以任何不是O的数都得O。
2、简便乘法：
被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。
3、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
4、比例的基本性质：
在比例里，两外项之积等于两内项之积。
5、等式的基本性质：
等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
6、一个数连续用两个数除，可以先把后两个数相乘，再用它们的积去除这个数，结果不变。
例：
90÷5÷6＝90÷（5×6）
7、比的基本性质:
比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
四、等式与方程
1、什么叫等式？
等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
2、什么叫方程式？
答：
含有未知数的等式叫方程式。
3、什么叫一元一次方程式？
答：
含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
五、分数
1、分数：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
2、分数的加减法则：
同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
3、分数大小的比较：
同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
4、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
5、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
6、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
7、真分数：
分子比分母小的分数叫做真分数。
8、假分数：
分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
9、带分数：
把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
10、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
11、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
12、分数的加、减法则：
同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
13、分数的乘法则：
用分子的积做分子，用分母的积做分母。
14、什么叫比：
两个数相除就叫做两个数的比。
如：
2÷5或3:
6或1/3
比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。
15、百分数：
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。
百分数也叫做百分率或百分比。
16、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100％就行了。
17、把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
18、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100％就行了。
19、把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
20、通分：
把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。
（通分用最小公倍数）
21、约分：
把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（约分用最大公约数）
22、最简分数：
分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
分数计算到最后，得数必须化成最简分数。
23、倒数
分数的倒数：
找一个分数的倒数，例如3/4把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。
则是4/33/4是4/3的倒数。
也可以说4/3是3/4的倒数。
整数的倒数：
找一个整数的倒数，例如12把12化成分数，即12/1再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。
则是1/1212是1/12的倒数。
也可以说1/12是12的倒数。
小数的倒数：
找一个小数的倒数，例如0.25把0.25化成分数，即1/4再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。
则是4/1再把4/1化成整数，即40.25是4的倒数。
也可以说4是0.25的倒数
24、百分率
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%
小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
六、比和比例
1、什么叫比例：
表示两个比相等的式子叫做比例。
如3:
6＝9:
18
2、解比例：
求比例中的未知项，叫做解比例。
如3:
χ＝9:
18
3、正比例：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。
如：
y/x=k（k一定）或kx=y
4、反比例：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。
如：
x×y=k（k一定）或k/x=y
5、比的意义:
两个数相除又叫做这两个数的比.
6.比、分数与除法的关系：
a:
b=
=a÷b（b≠0）
7、.求比值和化简比的联系与区别：
求比值比的前项除以比的后项所得的商叫做比值。
①前项除以后项②前项和后项都乘或除以相同的数（0除外）一个数（整数、小数、分数）
化简比把两个数的比化成最简单的整数比一个最简比
8、最简比:
前项和后项的最大公约数只有1的比叫最简比。
9、图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。
图上距离：
实际距离=比例尺
七、小数
1小数的意义 ：
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
纯小数：
整数部分是零的小数，叫做纯小数。
例如：
0.25、0.368都是纯小数。
带小数：
整数部分不是零的小数，叫做带小数。
例如：
3.25、5.26都是带小数。
有限小数：
小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：
41.7、25.3、0.23都是有限小数。
无限小数：
小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例如：
4.33……3.1415926……
无限不循环小数：
一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。
例如：
∏
循环小数：
一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
例如：
3.555……0.0333……12.109109……
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如：
3.99……的循环节是“9”，0.5454。
。
。
。
。
。
的循环节是“54”。
纯循环小数：
循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
例如：
3.111……0.5656……
混循环小数：
循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
3.1222……0.03333……
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
3、一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
八、单位间进率
名数；数和单位名称合起来叫做名数。
单名数：
只含有一种单位名称的名数叫单名数。
复名数：
含有两种或两种以上单位名称的名数叫复名数。
高级单位的名数化成低级单位的名数×进率 低级单位的名数化成高级单位的名数÷进率
1公里＝1千米1千米＝1000米1米＝10分米1分米＝10厘米1厘米＝10毫米
1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米
1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米
1吨＝1000千克1千克=1000克=1公斤=2市斤1公顷＝10000平方米。
1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米
九、常见的数量关系：
1、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度
2、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价
3、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
十、小学数学图形计算公式
1、正方形：
周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a
2、正方体：
表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6=6a²
体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a=a³
3、长方形：
周长=（长+宽）×2C=2（a+b）面积=长×宽S=ab
4、长方体：
（1）表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2S=2（ab+ah+bh）
（2）体积=长×宽×高V=abh
5、三角形：
面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底
三角形底=面积×2÷高
6、平行四边形：
面积=底×高s=ah
7、梯形：
面积=（上底+下底）×高÷2s=（a+b）×h÷2
8、圆形：
（1）周长=直径×π=2×π×半径
C=πd=2πr
（2）面积=半径×半径×π
9、圆柱体：
（1）侧面积=底面周长×高
（2）表面积=侧面积+底面积×2（3）体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径
10、圆锥体：
体积=底面积×高÷3圆环R－外圆半径S＝π（
-
）r－内圆半径
11、总数÷总份数＝平均数
12、和差问题的公式（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数
13、和倍问题和÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数（或者和－小数＝大数）
14、差倍问题差÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数（或小数＋差＝大数）
15、相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
16、追击问题
追击距离＝速度差×追击时间追击时间＝追击距离÷速度差
速度差＝追击距离÷追击时间
17、流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝（顺流速度＋逆流速度）÷2
水流速度＝（顺流速度－逆流速度）÷2
18、浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
19、利润与折扣问题
利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝（售出价÷成本－1）×100%
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×（1－5%）
十一、数的互化
1.小数化成分数：
原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
2.分数化成小数：
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。
3.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4.小数化成百分数：
只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
5.百分数化成小数：
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
6.分数化成百分数：
通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
7.百分数化成小数：
先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
十二、简单的统计
1、统计表
（1）意义把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。
（2）组成部分一般分为表格外和表格内两部分。
表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
（3）种类单式统计表：
只含有一个项目的统计表。
复式统计表：
含有两个或两个以上统计项目的统计表。
百分数统计表：
不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。
2、统计图
（1）条形统计图用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。
优点：
很容易看出各种数量的多少。
（2）折线统计图用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
优点：
不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
（3）扇形统计图用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
优点：
很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
十三、纳税与利息
纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额……）的比率叫做税率。
6、利息存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
典型应用题
1、盈亏问题：
是在等分除法的基础上发展起来的。
他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
解题关键：
盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
解题规律：
总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足
第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足
例参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组10人，则多25支，如果小组有12人，色笔多余5支。
求每人分得几支？
共有多少支色铅笔？
分析：
每个同学分到的色笔相等。
这个活动小组有12人，比10人多2人，而色笔多出了（25-5）=20支，2个人多出20支，一个人分得10支。
列式为（25-5）÷（12-10）=10（支）10×12+5=125（支）。
2、年龄问题：
将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。
解题关键：
年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
例父亲48岁，儿子21岁。
问几年前父亲的年龄是儿子的4倍？
分析：
父子的年龄差为48-21=27（岁）。
由于几年前父亲年龄是儿子的4倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1）倍。
这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的4倍。
列式为：
21-（48-21）÷（4-1）=12（年）
3、鸡兔问题：
已知“鸡兔”的总头数和总腿数。
求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。
通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题
解题关键：
解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。
解题规律：
（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
例鸡兔同笼共50个头，170条腿。
问鸡兔各有多少只？
兔子只数（170-2×50）÷2=35（只）
鸡的只数50-35=15（只）
4、工程问题：
是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。
它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
解题关键：
把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。
数量关系式：
工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率工作总量÷工作效率和=合作时间
5、还原问题：
已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
解题关键：
要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：
从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
解答还原问题时注意观察运算的顺序。
若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
例某小学三年级四个班共有学生168人，如果四班调3人到三班，三班调6人到二班，二班调6人到一班，一班调2人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
分析：
当四个班人数相等时，应为168÷4，以四班为例，它调给三班3人，又从一班调入2人，所以四班原有的人数减去3再加上2等于平均数。
四班原有人数列式为168÷4-2+3=43（人）
一班原有人数列式为168÷4-6+2=38（人）；二班原有人数列式为168÷4-6+
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