选修21第三章空间向量及其运算知识点docx.docx
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选修21第三章空间向量及其运算知识点docx
3.1空间向量及其运算知识点
1.空间向量的有关概念
⑴空间向量：
在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.
⑵单位向量：
模为1的向量称为单位向量
⑶相等向量：
方向相同且模相等的向量.
⑷共线向量：
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.
⑸共面向量：
平行于同一个平面的向量.
2.空间向量的加法、减法与数乘运算
向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则
向量加法的多边形法则：
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量
UUUUuUUUIrJUUllUUUUIrJ
OAI=OA+AIA2+A2A3+…+An-1An-
运算律：
①加法交换律：
a+b=b+a②加法结合律：
（a+b）+C=a+（b+C）③数乘分配律：
λ（+b）=λaλb.
3.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
（1）共线向量定理
对空间任意两个向量a,b（b≠0）,a//b的充要条件是存在实数λ使得a=λb
推论：
I点P在直线AB上的充要条件I是：
UJlIUUI
存在实数λ使得AP=AAB①
UIUUUrUUJ
或对空间任意一点0,有OP=OAAB②
UIUUUrUUr
或对空间任意一点0,有OP=XOAyOB其中X+y=1③
UUJUUrUlUIUrUIUUlUUUrUIU
【推论③推导过程：
OP=OA∙AB=OA■（AOOB）=（I-∙）OA■OB】
（2）共面向量定理
如果两个向量a,b不共线，那么P与a,b共面的充要条件是存在唯一有序实数对（x,y）使P=xa+yb
推论：
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是
UUJUUJUUU
存在唯一有序实数对（x,y）使AP=XAByAC,
UiUUUrUUJUUU
或对空间任意一点0,有OP=OA∙XAByAC
UlUUUrUlUUlU
或对空间任意一点0,有OP=XOAyOB■ZOC,其中X+y+Z=1
UUJUUrUIUUUUUIrUUJUui
【推论③推导过程：
OP=OAXAByAC=（1-x-y）OAXOByOC】
（3）空间向量基本定理
如果三个向量a,b,C不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛x,y,z｝,使得P=xa+yb+ZC
基底：
把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
4.空间向量的数量积及运算律
（1）数量积及相关概念
1两向量的夹角：
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作OA=a,OB=b,则∠AQB叫做向量a与b的夹
角，记作〈a,b>,其范围是0≤≤∏若〈a,b>=∏,则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
2两向量的数量积：
已知空间两个非零向量a,b,向量a,b的数量积记作ab,且ab=∣a∣∣b∣cos.
⑵空间向量数量积的运算律：
①结合律：
（λι）b=λab）;②交换律：
ab=ba;③分配律：
a（b+C）=ab+ac.
5.空间向量的坐标表示及应用
设a=（aι,a2,a3）,b=（bi,b2,b3）
（1）数量积的坐标运算：
ab=a1b1+a2b2+a3b3.
（2）共线与垂直的坐标表示：
a/b?
a=λ?
ai=λ1,a?
=λba3=λ3（λ∈R）,a⊥b?
ab=0?
aibi+a2b2+a3b3=0（a,b均为非零向量）.
（3）模、夹角和距离公式：
∣a∣='∙.Faa=■：
Jai+a2+a3,
abaibi+a?
b2+a3b3
C0S〈a，b〉IaIlbla2+a2+a2∙b2+b2+b3.
设A（ai,bi,Ci）,B（a2,b2,C2）,贝UdAB=l→B∣=.a2—ai2+b2—g2+c?
—Ci2.
6.用空间向量解决几何问题的一般步骤:
（1）适当的选取基底{a,b,c};
（2）用a,b,C表示相关向量；
（3）通过运算完成证明或计算问题.
题型一空间向量的线性运算
用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系.
M,N分别是OA,BC的中点，G是厶ABC的重心，用基向量（DA,OB,OC表示MG,
→→→i→2→i→2→→i→2i→→→i→i→i→
解析：
MG=MA+AG=^OA+3AN=?
OA+§（ON—OA）=?
0A+^（OB+OC）—OA]=—§0A+§0B+§0C.
→→→1→1→1→1→1→1→1→
OG=OM+MG=^OA—6OA+§0B+3OC=^OA+-OB+§OC.
→I→→→UiUUUDUUIUUUIU
例2：
如图所示，ABCD—A1BiCiDi中，ABCD是平行四边形.若AE=-EC,A→F=2FD,且EF=XAB+yAD+zAA1,
试求X、y、Z的值.
J3∣
-→-→-→-→i-→i-→-→
•解连接AF,EF=EA+AF.∙.∙EA=—3AC=—^（AB+AD）
→→→→→→i→→i→→2UUU
AF=AD+DF=AD—FD=AD—^AiD=AD一（（AiA+AD）=—AD
333
iUUr→→→iUUIUiUUUiUUirAiAEF=EA+AF=ADAAiAB
3333
题型二共线定理应用
向量共线问题：
充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a与b共线.
a与b,化简得出a=■b,从而得出a//b,即
点共线问题：
证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明
→→
A、B、C三点共线，即证明AB与AC共线.
求证：
E,F,B三点共线.
M,N分别是AC,BF的中点，判断CE与MN
UUrUIrUUr
CE=CBBE
τUUUUUUUIrUUIUιUUIUUIr1UIrUUr1UIlUUurUIr1UUr1UIr1UUr
MN=MCCBBNACCB（BABE）（ACBA）CBBECBBE
222222
→→→→→→
∙∙∙CE=2MN,∙∙∙CE//MN,即CE与MN共线.
→→→
2
E在AiDi上，且AiE=2EDι,F在对角线AiC上，且AiF=^FC.
3
→→
•EF=2EB.所以E,F,B三点共线.
题型三共面定理应用
→→点共面问题：
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明PA=XPB
→
+yPC,或对空间任一点
→→→→→→→→
O,有OP=OA+XPB+yPC或OP=XOA+yOB+ZOC（X+y+Z=1）即可
→→→→
2i2
例5:
已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外一点0,若OP=-OA+-OB+；0C,则点P是否与A、B、C555
一定共面？
试说明理由.
U2UlrIUIU2UUU2UUlUIr1UUUUlr2UUUUrUIU2UIr1Ulr2UUU
解析：
∙∙∙OP=—OA+—OB+-OC=—（OP+PA）+-（OP+PB）+-（OP+PC）=OP+-PA+-PB+—PC553553553
→→→
12
∙∙∙AP=EAB+7AC,故A、B、CP四点共面∙
55
例6:
如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD,点E、F、G、H分别为
△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心，应用向量共面定理证明：
E、F、G、H四点共面.
证明：
分别延长PEPRPGPH交对边于MNQR.
∙∙∙E、F、GH分别是所在三角形的重心，∙∙∙M、N、Q、R为所在边的中点
→→→→→→→→
2222
顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形，且有PE=-PM,PF=§PN,PG=-PQ,PH=~PR.
→→→→→→→→→→→→→→→→
222222233233
.∙.EG=PG-PE=3PQ-3PM=3MQ=3（MN+MR）=3（PN-PM）+§（PR—PM）=3（?
PF-^PE）+^（-PH—2PE）
→→
=EF+EH.∙由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.
→→→
例7:
正方体ABCD-AiBiCiDi中，E,F分别是BBi和AiDi的中点，求证向量AiB,BiC,EF是共面向量.
→→→→→→→→→→
-→1—→111
证明：
女口图所示，EF=EB+BAj+AjF=^B1B-"B+^AjDj=-（B1B+BC）-A1B=^BjC-AjB.
→→→
由向量共面的充要条件知AjB,BjC,EF是共面向量.
题型四空间向量数量积的应用
例8:
①如图所示，平行六面体
ABCD—AiBiCiDi中，以顶点A为端点的三条棱长都为i,且两两夹角为60°
⑴求ACi的长；
（2）求BDi与AC夹角的余弦值.
解析：
（J）记AB=a,AD=b,AAJ=c,则Ial=Ibl=ICl=J,〈a,b〉=〈b,c>==60°
」」J
∙ab=bC=ca=;
2'
∣ACjf=（a+b+c）?
=a+b+C+2（ab+bc+Ca）=J+J+J+2×?
+?
+?
=6,∙|ACjI=V6,
即ACJ的长为:
：
：
：
；；6.
（2）BDJ=b+C-a,AC=a+b,∙∙IBDJI=2,∣Aθ∣=.3,BDJAC=（b+C-a）（a+b）=b2-a2+ac+bC=J.∙cos=BDJAC=二6.∙AC与BDJ夹角的余弦值为二6
→→66
IBDjIIACI
②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则AEAF的值为（）
A.a2B.；a2C；a2D^a2
→→→
解析：
设AB=a,AC=b,AD=c,则Ial=Ibl=ICl=a,且a,b,C三向量两两夹角为60°
→→→→
1111112212AE=2（a+b）,AF=尹二AEAF=2（a+b）^c=4（aC+bC）=4（acos60°acos60）=4a.
题型五空间向量坐标运算
DC,DP所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（）
A.（1,1,1）B∙Q,1,1）C.（1,1,3）D.（1,1,2）
例10:
已知a=（2,—1,3）,b=（—1,4,-2）,C=（7,5,λ∙若a,b,C三向量共面，则实数
C（3,2,4）,试求△ABC的面积
例11:
已知△ABC的顶点A（1,1,1）,B（2,2,2）,
→→→→→→
AB=（1,1,1）,AC=（2,1,3）,|AB|=3,|AC|=14,ABAC=2+1+3=6,
∙cosA=8S〈AB,ac>=36l4=ζ.∙SinA=I-；；='
||AC|∙nA=1×.3×帀×*=于.
例12：
已知a=（λ÷1,0,2）,b=（6,2μ—1,2λ,若a//b,贝Uλ与μ的值可以是（）
A.2,
1
2
B.—
11
3，2
C.—
3,2
D.2,2
λ+1
2
fλ=2,
'λ=—3,
解析
由题意知：
6
=2λ,
解得1
或1
2—
1=0,
μ=2
尸
例13:
已知空间中三点A（—2,0,2）,B（—1,1,2）,C（—3,0,4）,设a=→,b=AC.,若ka+b与ka—2b互相垂直，
求实数k的值.
方法一一ka+b=（k—1,k,2）.ka—2b=（k+2,k,—4）,且ka+b与ka—2b互相垂直，
•••（k—1,k,2）（k+2,k,—4）=（k—1）（k+2）+k2—8=0,∕∙k=2或一5,方法二由⑵知|a∣=^2,∣b∣=承,ab=—1,•（ka+b）（ka—2b）=k2a2—kab—2b2=2k2+k—10=0,得k=2或一∣.
例14:
已知空间三点A（0,2,3）,B（—2,1,6）,C（1,—1,5）.
（1）求以AB,→C为边的平行四边形的面积；
⑵若IaI=,3,且a分别与AB,AC垂直，求向量a的坐标.
解
（1）cos〈AB,AC〉===3筲=-7-=1∙.∙.Sin〈AB,心=写,
∣→∣Ac∣1422
•以AB,AC为边的平行四边形的面积为S=2×1∣A→||ACISin〈AB,AC>=14×^3=7,3.
X2+y2+z2=3X=1x=—1
（2）设a=（x,y,Z）,由题意得2x—y+3z=0,解得fy=1或fy=—1,
以—3y+2z=0L=1[z=—1
21
例15:
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在Aq、AC上，且ApE=3A1D,AF=-AC,贝U（）
A.EF至多与A1D、AC之一垂直B.EF与A1D、AC都垂直C.EF与BDp相交D.EF与BDj异面
解析：
设AB=1,以D为原点，DA所在直线为X轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为Z轴建立空间直角坐标
（11伦1∖→
系，贝yA1（1,0,1）,D（0,0,0）,A（1,0,0）,C（0,1,0）,E3,0，3，F3,30,B（1,1,0）,D1（0,0,1）,A1D=（—1,0,—1）,AC=（—1,1,0）,EF=1,3—1,B→1=（—1,—1,1）,EF=—3B→1,A→DEF=ACEF=0,从而EF//BD1,EF丄AQ,EF丄AC.
→→
例16:
已知0（0,0,0）,A（1,2,3）,B（2,1,2）,P（1,1,2）,点Q在直线OP上运动，当QAQB取最小值时，点Q的坐标是.
→→→→
解析：
设OQ=QP=（λ,λ2λ,贝UQA=（1—人2—λ3—2λ,QB=（2—λ1—λ2—2λ.
∙∙∙QAQB=（I-^2-λ÷（2-如-λ+（3-叩-2λ=6λ-16λ÷10=6（λ-$—2
→→→
二当λ=4时，QAQB取最小值为-此时,OQ=（4，3，3），
综合练习
、选择题
1、下列命题：
其中不正确.的所有命题的序号为•
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB÷BC+CD÷DA=0;②IaHb=|a÷b∣是a、b共线的充要条件；
3若a、b共线，则a与b所在直线平行；
4对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若OP=XOA÷yOB÷ZOC（x、y、z∈R）,贝UP、A、B、C四点共
面.
5设命题P:
a,b,C是三个非零向量；命题q:
{a,b,c}为空间的一个基底，则命题P是命题q的充要条件
解析：
选②③④⑤，①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有|a|÷|b|=|a÷b|;③中a、
b所在直线可能重合；④中需满足x÷y÷Z=1,才有PA、BC四点共面；⑤只有不共面的三个非零向量才能作
为空间的一个基底，应改为必要不充分条件
C.12
D.144
=（PA÷AB÷BC）=PA2÷AB2÷BC2÷2ABBC=36÷36÷36÷2×36cos60O=144∕∙|PC|=12证明设AB=a,AC=b,AD=c,则BG=BA÷AG=BA÷3AM=—a÷1（a÷b÷c）=—3a÷1b÷~.c,
44',444
BN=BA÷AN=BA÷3（AC÷AD）=—a÷fb÷fc=IBG.∕∙BN^BG,即B、G、N三点共线.
2
5、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,点M在A®上且AM=IMC1,N为B1B的中点，贝UIMNI为（）
AL
解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系DXyZ，则A（a,0,0），C*0，a,a），Na.
ABCD—A1B1C1D1中，向量Ab,AD,AA1两两的夹角均为60°,且IABI=1,∣AD∣=2,IAAII=3,则
88、平行六面体
设M（x,
T点M在AC1上且AM=2MC1,∙（x—a,y,Z）=*（—x,a—y,a—Z）
设AB=a,AD=b,AA1=c,则AC1=a÷b÷c,AC12=a2÷b2÷c2÷2ab÷2bc÷2Ca=25,IAC1I=5」
9、在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（）
---------------
11
A.OM=3OA—2OB—OCB.OM÷OA÷OB÷OC=0C.MA÷MB÷MC=0D.OM=4OB—OA÷^OC
———
解析：
C中MA=—MB—MC.故M、A、B、C四点共面.
二、填空题
10、同时垂直于a=（2,2,1）和b=（4,5,3）的单位向量是.
p2+q2+r2=1,
2p+2q+r=0,
4p+5q+3r=0,
1
P=3，
—2
解得q=—£，
I2
r=3，
1
P=—3,或q=|,
所求向量为3,—3,3或—3，3,—3.
2
11.
若向量a=（1,λ2）,b=（2,—1,2）且a与b的夹角的余弦值为鲁，则λ=
12.在空间直角坐标系中，以点A（4,1,9）∖B（10,—1,6）、C（x,4,3）为顶点的厶ABC是以BC为斜边的等腰直角三角
形，则实数X的值为
解析由题意知ABAC=O,IAiBl=ACI,可解得X=2.
13.已知a+3b与7a—5b垂直，且a—4b与7a—2b垂直，则〈a,b>=I
解析由条件知（a+3b）（7a—5b）=7|a|2+16ab—15|b|2=0,及（a—4b）（7a—2b）=7|a|2+8|b|2—30ab=0.两式相减，得46ab=23|b|2,二ab=2|b|2.
14.如图所示，已知二面…l—e的平面角为θθ∈0,Π,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内，BC在I上,
CD在平面α内，若AB=BC=CD=1,贝UAD的长为
—→2—→—→—→2=—→2—→2—→2—→—→—→—→—→—→
解析:
AD2=（AB+BC+CD）AB2+BC2+CD2+2ABCD+2ABBC+2BCCD=1+1+1+2cos（—θ）=3—2cosθ
15.已知a=（1—1,1—t,t）,b=（2,t,t）,则|b—a|的最小值为.
解析b—a=（1+t,2t-1,0）,••|b—a|=^（1+tf+（2t—1Y=^^5[^t—5/+5,•当t=5时，|b—a取得最小值.
三、解答题
16、如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是
（1）AP=
C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ:
QA1=4:
1,设AB=a,AD=b,AAI=C用基底｛a,b,c｝表示以下向量:
1→→1→→1
2（AC+AA1）=2（aB+AD+aA〔）=2（a+b+C）.
-→1-→-→1-→-→-→1
（2）AM=2（AC+AD1）=2（AB+2AD+AA”=?
（a+2b+C）.
17、如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM:
GA=1:
3.
=Ca=0.
⑴证明：
设CA=a,CB=b,CC'=c,根据题意，|aI=IbI=ICl且ab=bC
∙∙∙CE=b+∣C,A→D=—C+1b-2a.ΛCE∙A→D=—∣c2+1b2=0,∙'∙CE丄At）,即CE丄AD.
b+2C=2C2=∙2∣a∣2,
⑵A→'=—a+c,∙∙∙|AC'I=2|a|,品=^^∣A→'∙CE=（—
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