直线与平面垂直教案教案.docx

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直线与平面垂直教案教案

课题

直线与平面垂直

教学

目标

1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

教学

重点

操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

教学

难点

操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

教具

教学课件,三角板，木棍

板书设计：

直线与平面垂直

1、直线与平面垂直的定义图像语言：

……例题：

……………符号语言：

……图形

2、

直线与平面垂直线线垂直线面垂直证明：

....

的判定定理.

文字语言：

………

教学

环节

教学过程

设计意图

1、复习

引入

问题：

空间中直线与平面有哪几种位置关系？

通过复习引入，寻找知识的最近发展区，让学生明确这节课将“研究什么”

2、直线与

平面垂

直定义

的建构

（本环节是教学的第一个重点，是后面探究活动的基础，分三步进行）

（1）创设情境—感知概念

①展示图片：

观察图片，引导学生寻找出其中线面垂直的位置关系。

（旗杆与地面）

②观察实例：

引导学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系，由此引出课题。

从到图片再到实际观察，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备

（2）观察归纳形成概念

1学生画图：

引导学生将桌面看成平面

，书脊看做直线

画出书脊与桌及书页与桌面交线位置关系的几何图形。

②思考：

（1）书脊AB与桌面上经过B点的直线有什么关系？

（2）书脊AB与桌面上不过B点的

直线有什么关系？

（3）书脊AB与桌面上的任意直线有什么关系？

③引导学生归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念。

1从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换。

2引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察直线和平面内直线的关系

③通过观察思考，感知直线与平面垂直的本质内涵。

充分发挥学生的主观能动性，提高抽象概括能力，让学生体验成功的喜悦。

定义：

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：

l⊥α.

.

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

（师生活动：

教师指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，并强调定义的条件和结论是一个等价关系，同时给出直线与平面垂直的记法。

）

（3）辨析讨论―深化概念

辨析1：

下列命题是否正确，为什么？

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。

（师生活动：

命题1学生回答后教师给出反例，动画演示。

）

通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。

由

（1）使学生明确定义中的“任意”和“无数”的不同。

由

（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化。

3、直线与平面垂直的判定定理的探究

（这个探究活动是本节课的关键所在，分三步进行：

）

（1）分析问题—猜想定理

探究：

如果直线l与平面α内的一条（两条或无数条）直线垂直，则直线l和平面α互相垂直?

通过借助三角板和木棍举出例子，教师随后出示演示过程。

学生猜想:

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

这个探究可以直接以判断1为反例进行判断，不仅深化了概念还可以引出线面垂直的判定定理，从而才想出定理

（2）动手操作验证定理

A.折纸实验：

如图，让学生拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：

过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：

问题③折痕AD与桌面垂直吗？

如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

（师生活动：

在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，教师以两位同学所折图形为例，以提问的方式让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直。

）

问题④由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化吗？

（即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？

）由此你能得到什么结论？

（师生活动：

师生共同分析折痕AD是BC边上的高时的实质：

AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD。

这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面。

）

B．多媒体演示翻折过程。

C．归纳出直线与平面垂直的判定

定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

用符号语言表示为：

通过实验操作，引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：

AD垂直桌面内两条相交直线。

问题④吸引学生注意力，为推出重点做准备。

B．增设动态演示模拟实验，让学生更加清楚看到“平面化”的过程，在已有数学知识的基础上加以确认定理

C．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性

（师生活动：

在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生用自己的语言表述，不完善的地方教师引导、补充完整，归纳出线面垂直的判定定理。

然后要求学生试用图形语言与符号语言来表示定理，指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

）

这不仅能提高学生的归纳能力，而且能让让学生观察、思考后，总结、归纳的知识更有利于学生掌握，从而形成新的认知结构和知识网络。

这样，可以增进学生热爱数学的情感，应用数学的信心和形成新的学习动力。

4、典型例题分析

例（3）如图（3），已知a∥b，a⊥α，求证：

b⊥α。

（课本

中的例1）

定义法证明由教师板书，为通过判定定理的蒸发直接在可见上展示。

（师生活动：

此题是课本

中的例1，有一定难度，教师引导学生分析思路，可用判定定理证，也可利用定义证，提示辅助线的添法，分析后让学生口述，由教师板书。

最后指出：

命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定方法。

）

本题即可应用定义来证明也可用判定定理来证明，做到了是学生了解定义和定理的初步应用。

此外通过这个例题还使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的转化与联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。

5、小结

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

请用自己的语言表述。

①定义法②判定定理

（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了那些数学思想方法？

线线垂直线面垂直

空间问题平面问题

通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯。

（师生活动：

学生发言，互相补充，教师以知识结构图归纳出判断直线与平面垂直的方法，可用定义，判定定理。

说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。

）

6、布置作业自主探究

1、如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BD，AD⊥DC，

求证：

AD⊥BC。

2、已知PA⊥平面ABC，AB是⊙的直径，C是圆上的任一点，

求证：

PC⊥BC．

3、如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形。

（选作）

通过练习，巩固本课所学知识，感悟其中蕴涵的转化数学思想，增强学生的应用意识。

必做题是线面垂直判定定理的应用。

选做题有助于培养学生的发散思维，为学有余力的学生安排的，这样，使不同程度的学生都有所获，同时还为下节课灵活运用线面垂直判定定理埋下伏笔。