85 直线平面垂直的判定及性质Word格式.docx

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A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

选B　根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．

2．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（　　）

选A　A选项中，∵CD⊥平面ABM，∴CD⊥AB；

B选项中，AB与CD成60°

角；

C选项中，AB与CD成45°

D选项中，∠MAB是AB与CD所成的角，其角的正切值为，故选A.

3．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________．

由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行．再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出两个平面垂直相交．

答案：

垂直相交

4．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

由线面垂直知，图中直角三角形为4个．

4

三、精研高考题点，提升备考知能

线面垂直的判定与性质

[典例]　如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°

，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD.

（1）求证：

AB∥平面PDC；

（2）求证：

BC⊥平面PAC.

[证明]　

（1）∵AB∥CD，CD⊂平面PDC，

AB⊄平面PDC，

∴AB∥平面PDC.

（2）在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，

∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，

在Rt△BEC中，∠ABC＝45°

，∴CE＝BE＝1，

CB＝，

在Rt△ACE中，AC＝＝，

∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，

又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥PA，

而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

[方法指导]

证明线面垂直的常用方法

（1）利用线面垂直的判定定理．

（2）利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．

（3）利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．

（4）利用面面垂直的性质定理．　　

[变式训练]

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°

，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.

SD⊥平面ABC；

（2）若AB＝BC，求证：

BD⊥平面SAC.

证明：

（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.

在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.

又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.

（2）因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.

由

（1）知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.

面面垂直的判定与性质

[典例]　如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

[证明]　

（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以平面ABED为平行四边形．

所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

（3）因为AB⊥AD，而且平面ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD，

所以PA⊥CD.

又PA∩AD＝A，

所以CD⊥平面PAD.

所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF.所以CD⊥EF.

又EF∩BE＝E，

所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.

1．面面垂直的证明方法

（1）定义法：

利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．

（2）定理法：

利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．

2．三种垂直关系的转化

3．面面垂直性质的应用

（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．

（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．　　

[变式训练]

已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且AD＝AA1，点F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点．

MF∥平面ABCD；

（2）求证：

平面AFC1⊥平面ACC1A1.

（1）如图，延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.

∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．

又M是线段AC1的中点，

∴MF∥AN.

又MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，

∴MF∥平面ABCD.

（2）连接BD，由题知A1A⊥平面ABCD，

又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.

又∵AC∩A1A＝A，AC⊂平面ACC1A1，A1A⊂平面ACC1A1，

∴BD⊥平面ACC1A1.

在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，

∴四边形DANB为平行四边形．

∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.

又∵NA⊂平面AFC1，

∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.

直线、平面垂直的综合

[典例]　如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，N为AB上一点，且BN＝.

（1）证明：

MN∥平面PAC.

（2）证明：

BC⊥平面POM.

（3）若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．

[解]　

（1）证明：

因为BM＝BN＝，

所以＝，所以MN∥AC.

又MN⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以MN∥平面PAC.

因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，则AO⊥OB.

因为∠BAD＝，故OB＝AB·

sin＝1，

又因为BM＝，且∠OBM＝，

在△OBM中，

OM2＝OB2＋BM2－2OB·

BM·

cos∠OBM

＝12＋2－2×

1×

×

cos＝.

所以OB2＝OM2＋BM2，即OM⊥BM，即OM⊥BC.

又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.

从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，

所以BC⊥平面POM.

（3）由

（2）得，OA＝AB·

cos∠OAB＝2×

设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.

由△POM也是直角三角形，

故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋.

连接AM，在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·

cos∠ABM＝22＋2－2×

2×

由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，

则PA2＋PM2＝AM2，

即a2＋3＋a2＋＝，

解得a＝，a＝－（舍去），即PO＝.

此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝·

AO·

OB＋·

OM＝×

1＋×

＝.

所以四棱锥PABMO的体积

VPABMO＝·

S四边形ABMO·

PO＝×

垂直关系综合问题的解题方法

（1）对于三种垂直的综合问题，一般通过做辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．

（2）对于垂直与平行结合的问题，应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．

（3）对于垂直与体积的综合问题，在求棱锥体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．　　

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点．

CD∥平面PAB；

PE⊥AD；

（3）若CA＝CB，求证：

平面PEC⊥平面PAB.

（1）因为底面ABCD是菱形，所以CD∥AB.

又因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以CD∥平面PAB.

（2）因为PA＝PB，点E是AB的中点，

所以PE⊥AB.

因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，

因为AD⊂平面ABCD，

所以PE⊥AD.

（3）因为CA＝CB，点E是AB的中点，

所以CE⊥AB.

由

（2）知PE⊥AB.

又CE∩PE＝E，

所以AB⊥平面PEC，

又因为AB⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PEC.

四、高考真题方向，比努力更重要

1．（2015·

浙江高考）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.（　　）

A．若l⊥β，则α⊥β　　　　　B．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m

选A　∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β（面面垂直的判定定理），故A正确．

2．（2013·

浙江高考）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

选C　逐一判断可知，选项A中的m，n可以相交，也可以异面；

选项B中的α与β可以相交；

选项D中的m与β的位置关系可以平行、相交、m在β内．

3.（2015·

全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.

平面AEC⊥平面BED；

（2）若∠ABC＝120°

，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

解：

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.

又BD∩BE＝B，

故AC⊥平面BED.

又AC⊂平面AEC，

所以平面AEC⊥平面BED.

（2）设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°

，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.

因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.

由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，

可得BE＝x.

由已知得，三棱锥EACD的体积

V三棱锥EACD＝×

·

AC·

GD·

BE＝x3＝，

故x＝2.